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自适应网格方法

**自适应网格方法** 自适应网格方法是一种在数值计算中动态调整网格分布的技术，其核心目标是通过在解变化剧烈的区域（如边界层、激波、奇点附近）加密网格，在变化平缓的区域稀疏网格，以高效平衡计算精度与成本。下面逐步介绍其核心思想、关键技术指标和典型算法流程。 --- ### 1. **问题背景与动机** 许多物理问题（如流体力学、材料断裂）的解具有局部奇异性或剧烈梯度。若使用均匀网格，为捕捉细节需全局加密网格，导致计算量激增。自适应方法通过**局部网格加密/粗化**，使网格分布与

2025-10-28 05:45:08

数值并行计算

**数值并行计算** 数值并行计算是研究如何将大型数值计算问题分解为多个子任务，并在多个处理器（核心）上同时执行这些子任务，以显著减少计算时间的学科。它是解决现代科学与工程中大规模计算挑战的核心技术。 **第一步：理解并行计算的基本动机** 许多复杂的数值问题，如模拟全球气候、分析天体物理现象或计算飞机周围的流体流动，都需要处理海量的数据和执行数万亿次运算。在单个处理器上，这类计算可能需要数月甚至数年才能完成。并行计算的核心思想是“人多力量大”：将一个大问题分解成许多可以同时处理的小部分，

2025-10-28 04:10:23

马尔可夫链的状态分类

好的，我们接下来学习词条：**马尔可夫链的状态分类**。 **马尔可夫链的状态分类** 马尔可夫链的状态分类是分析链的长期行为和结构的基础。它帮助我们理解从某个状态出发，系统最终会如何演化。 **第一步：可达与互通** 1. **可达** * **定义**：如果存在某个正整数 \( n \geq 0 \)，使得从状态 \( i \) 经过 \( n \) 步转移到状态 \( j \) 的概率大于零，即 \( P_{ij}^{(n)} > 0 \)，则称状态 \( j \)

2025-10-28 03:22:49

启发式算法

**启发式算法** 启发式算法是一类通过经验、直观或探索性方法寻找复杂优化问题满意解的算法。它们不保证找到最优解，但能在合理时间内获得高质量解，尤其适用于NP难问题或大规模问题。 **1. 基本概念与动机** - **问题背景**：许多实际优化问题（如旅行商问题、调度问题）属于NP难问题，精确算法（如分支定界法）在问题规模较大时计算时间无法承受。 - **核心思想**：放弃理论上的最优性保证，利用问题特征设计规则或策略，快速寻找近似最优解。例如，贪心策略每次选择当前最优步骤，模拟退火算法允许

2025-10-28 02:02:51

数值流体力学

**数值流体力学** 数值流体力学是计算数学中研究用数值方法模拟流体运动规律的分支领域。它将流体力学基本方程（如Navier-Stokes方程）离散化，通过计算机求解流场的各种物理量（如速度、压力、温度）的分布和演化。 **第一步：理解核心控制方程** 流体运动遵循物理守恒定律，其数学描述是核心。 1. **质量守恒（连续性方程）**：描述了流体质量既不会凭空产生也不会消失。其微分形式为 ∂ρ/∂t + ∇·(ρ**u**) = 0，其中 ρ 是密度，**u** 是速度矢量。这意味着在流场

2025-10-28 00:26:59

随机数生成

**随机数生成** 我们来探讨概率论与统计中一个至关重要且应用广泛的概念：随机数生成。 1. **核心概念：什么是随机数？** * 在最理想的情况下，一个**随机数序列** 是指一个数列，其中每个数都是不可预测的，并且这个序列不呈现出任何可辨别的模式或规律。它就像无数次抛掷一个完美、均匀的骰子所得到的结果序列。 * 随机数有两个关键特性： * **均匀性**：每个可能出现的数字（在指定范围内）都有相等的机会被抽到。 * **独

2025-10-27 21:53:52

数值椭圆型方程

**数值椭圆型方程** 数值椭圆型方程是计算数学中研究椭圆型偏微分方程数值解的分支。椭圆型方程通常描述稳态或平衡态物理过程，如稳态热传导、静电势分布、弹性力学平衡等。其一般形式为： \[ -\nabla \cdot (a(\mathbf{x}) \nabla u) + c(\mathbf{x}) u = f(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in \Omega, \] 附带边界条件（如狄利克雷或诺伊曼条件）。由于解析解通常难以获得，数值方法成为关键工具。以下从问

2025-10-27 21:33:06

马尔可夫链的不可约性

**马尔可夫链的不可约性** 1. **基本概念引入** 马尔可夫链的不可约性描述了链中状态之间的连通性。具体来说，如果从任意状态 \(i\) 出发，经过有限步到达任意状态 \(j\) 的概率均大于零（即状态间可相互通达），则该链是**不可约的**。反之，若存在某些状态无法互通，则链是**可约的**。 - 形式化定义：对状态空间中的任意状态 \(i\) 和 \(j\)，若存在某个整数 \(n \geq 0\) 使得 \(P_{ij}^{(n)} > 0\)（\(P_{ij}

2025-10-27 19:31:33

马尔可夫链的细致平衡条件

**马尔可夫链的细致平衡条件** 1. **基本概念回顾与问题引入** 首先，我们回顾马尔可夫链的平稳分布概念。对于一个马尔可夫链，如果存在一个概率分布 π，使得 π = πP（其中 P 是转移概率矩阵），那么 π 就被称为该马尔可夫链的平稳分布。当链满足一定条件（如不可约、非周期）时，从任意初始状态出发，经过长时间演化后，链处于各个状态的概率分布就会收敛到这个平稳分布 π。现在，我们面临一个实际问题：给定一个转移概率矩阵 P，我们如何找到其对应的平稳分布 π？或者反过来，

2025-10-27 19:10:06

拉格朗日乘子法

**拉格朗日乘子法** 拉格朗日乘子法是一种求解约束优化问题的经典方法，尤其适用于等式约束问题。它的核心思想是将约束条件融入目标函数中，从而将约束问题转化为无约束问题来求解。下面我们逐步展开讲解。 --- ### 第一步：理解约束优化问题的基本形式考虑以下等式约束优化问题： \[ \begin{aligned} \min \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x) = 0, \quad i = 1, 2, \dots, m \end{aligne

2025-10-27 19:04:48

马尔可夫链的极限定理

**马尔可夫链的极限定理** 接下来，我们将循序渐进地探讨马尔可夫链的极限定理。这个定理是研究马尔可夫链长期行为的一个核心结果，它描述了在什么条件下，一个马尔可夫链的状态分布会收敛到一个唯一的极限分布（即平稳分布），并且这个极限分布不依赖于链的初始状态。 1. **回顾：平稳分布与收敛性** 首先，我们需要回顾两个你已经学过的关键概念。 * **平稳分布**：对于一个马尔可夫链，如果存在一个概率分布 π，使得 π = πP（其中 P 是转移概率矩阵），那么 π 被称为该

2025-10-27 18:48:57

最速下降法

**最速下降法** 最速下降法，也称为梯度下降法，是一种用于寻找可微函数局部最小值的迭代优化算法。其核心思想非常直观：在每一步迭代中，沿着当前点函数值下降最快的方向，即负梯度方向，前进一段距离，逐步逼近最小值点。让我们来详细分解这个过程： 1. **基本概念：梯度** * 想象你站在一座形状复杂的山上，四周雾气弥漫，你只能感受到脚下山坡的倾斜程度。你的目标是尽快下到山谷（寻找最小值点）。 * **梯度**就是一个数学工具，它精确地描述了你脚下这一点“最陡峭”的上

2025-10-27 18:22:20

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