自适应网格方法 自适应网格方法是一种在数值计算中动态调整网格分布的技术，其核心目标是通过在解变化剧烈的区域（如边界层、激波、奇点附近）加密网格，在变化平缓的区域稀疏网格，以高效平衡计算精度与成本。下面逐步介绍其核心思想、关键技术指标和典型算法流程。 1. 问题背景与动机 许多物理问题（如流体力学、材料断裂）的解具有局部奇异性或剧烈梯度。若使用均匀网格，为捕捉细节需全局加密网格，导致计算量激增。自适应方法通过 局部网格加密/粗化 ，使网格分布与解的特性匹配，从而以较少网格点达到较高精度。 2. 关键技术要素 （1）误差指示子（Error Indicator） 用于量化每个网格单元对数值误差的贡献，常见类型包括： 残差型指示子 ：基于微分方程残差的大小。 梯度型指示子 ：通过解的一阶或二阶导数判断变化剧烈程度。 后验误差估计 ：通过局部误差传播模型给出严格误差界。 （2）网格调整策略 h-自适应 ：通过分裂或合并网格单元改变网格尺寸（如四边形网格一分为四）。 r-自适应 ：保持网格单元数量不变，通过移动节点位置聚集到关键区域。 p-自适应 ：在固定网格上调整局部插值多项式阶数（常见于有限元法）。 3. 自适应循环流程 典型自适应计算包含以下迭代步骤： 在当前网格上求解问题 （如用有限元法或有限体积法）。 计算误差指示子 ，标记需要加密或粗化的网格单元。 根据标记调整网格 ，生成新网格并插值旧解到新网格（称为解转移）。 检查收敛性 （如全局误差满足阈值或网格变化小于容差），否则返回步骤1。 4. 数学示例：一维自适应网格 考虑方程 \( u''(x) = f(x) \)，在解曲率大的区域需更高分辨率。设误差指示子为 \( \eta_ i = |u_ i''| \)，若 \( \eta_ i > \theta_ {max} \) 则加密该处网格，若 \( \eta_ i < \theta_ {min} \) 则合并相邻网格。通过多次迭代，网格点逐渐聚集到梯度大的区域。 5. 挑战与扩展 网格质量维护 ：自适应过程中需避免出现畸形单元（如大长宽比）。 动态问题 ：随时间演化的问题（如移动边界）需结合时空自适应。 并行化 ：动态网格负载平衡是高性能计算中的难点。 自适应网格方法与多重网格法、有限元法等技术结合，已成为计算数学中解决多尺度问题的重要工具。