马尔可夫链的不可约性

1. 基本概念引入
   马尔可夫链的不可约性描述了链中状态之间的连通性。具体来说，如果从任意状态 \(i\) 出发，经过有限步到达任意状态 \(j\) 的概率均大于零（即状态间可相互通达），则该链是不可约的。反之，若存在某些状态无法互通，则链是可约的。

   • 形式化定义：对状态空间中的任意状态 \(i\) 和 \(j\)，若存在某个整数 \(n \geq 0\) 使得 \(P_{ij}^{(n)} > 0\)（\(P_{ij}^{(n)}\) 表示从 \(i\) 到 \(j\) 的 \(n\) 步转移概率），则链不可约。

2. 不可约性的直观理解

   • 将状态空间视为一张有向图，状态是节点，转移概率是边。不可约性等价于该图是强连通的：从任一节点出发均可到达其他所有节点。
   • 例如，一个马尔可夫链若存在两个互不连通的子集（如状态 \(\{1,2\}\) 和 \(\{3,4\}\) 之间无转移路径），则是可约的。

3. 不可约性与马尔可夫链性质的关系

   • 平稳分布存在性：不可约链若为有限状态，则必存在唯一的平稳分布。
   • 极限行为：不可约性结合非周期性（见后续词条）可保证链收敛到平稳分布（参考已讲过的“马尔可夫链的收敛定理”）。
   • 常返性：不可约链中所有状态要么都是常返的，要么都是暂态的（参考已讲过的“马尔可夫链的常返性与暂态性”）。

4. 判定方法举例

   • 通过检查转移矩阵的幂是否均无零元（但实际中常通过图连通性判断）。
   • 例：转移矩阵 \(P = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.3 & 0.7 \end{bmatrix}\) 对应的链不可约，因为 \(P\) 本身所有元素均正；而 \(P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0.2 & 0.8 \end{bmatrix}\) 可约，因状态1无法返回状态2。

5. 推广与注意事项

   • 不可约性不依赖于初始状态，是链的全局性质。
   • 对于无限状态链，需考虑状态空间的拓扑结构（如随机游走在整数轴上是否不可约取决于步长分布）。
   • 不可约性是分析马尔可夫链长期行为的基础，常与周期性、遍历性结合使用（后续词条可能涉及）。