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随机变量的熵

**随机变量的熵** 首先，我们来理解“熵”这个基本概念。在最广泛的语境下，熵是衡量一个系统“无序程度”或“不确定性”的度量。这个概念起源于热力学，后来被引入信息论，成为信息论的核心基石。在概率论与统计学中，我们将其应用于随机变量，用来量化这个随机变量结果的不确定性。 **第一步：从不确定性到信息量** 想象一个简单的随机实验，比如抛一枚均匀的硬币。这个实验有两个等可能的结果：正面或反面。在结果揭晓之前，我们对其结果具有不确定性。现在，考虑另一个实验：预报明天的天气，结果可能是“晴”、“多

2025-10-30 09:41:25

数值椭圆型方程

**数值椭圆型方程** 数值椭圆型方程是计算数学中研究椭圆型偏微分方程数值解法的分支。椭圆型方程广泛出现在物理、工程等领域，如稳态热传导、静电势分布、弹性力学平衡问题等。其典型特点是解具有整体依赖性（无时间变量）和光滑性，数值方法需处理边界条件与区域几何的复杂性。 **1. 椭圆型方程基础** 椭圆型偏微分方程的一般形式为： \[ -\nabla \cdot (a(\mathbf{x}) \nabla u) + c(\mathbf{x}) u = f(\mathbf{x}), \quad \

2025-10-30 08:10:57

支持向量机

**支持向量机** 支持向量机是一种基于统计学习理论的监督学习算法，主要用于分类和回归任务。其核心思想是寻找一个最优超平面，使得两类数据点之间的间隔最大化。下面逐步展开讲解： --- ### **1. 线性可分情况与最大间隔原理** 假设训练数据 \(\{(x_i, y_i)\}\) 中 \(y_i \in \{-1, +1\}\)，且数据线性可分。目标是找到一个超平面 \(w^T x + b = 0\)，使得所有样本满足： \[ y_i (w^T x_i + b) \ge

2025-10-30 07:17:42

最优传输理论

**最优传输理论** 1. **问题背景与直观理解** 最优传输理论研究的核心问题是：如何以最小的“总成本”将一堆物质（或一种概率分布）重新配置成另一堆物质（或另一种概率分布）。最经典的例子是：假设有若干个仓库（每个仓库有不同数量的沙子）和若干个建筑工地（每个工地需要特定数量的沙子），如何安排从每个仓库到每个工地的运输量，使得总的运输距离（成本）最小。这里的“成本”可以泛化为任意衡量两点间差异的函数。 2. **数学形式化：Monge 问题** 法国数学家加斯帕尔

2025-10-30 07:02:05

马尔可夫链的逆过程

**马尔可夫链的逆过程** **步骤1：马尔可夫链的基本回顾** 马尔可夫链是一类特殊的随机过程，其核心特性是“无记忆性”或马尔可夫性。具体来说，一个离散时间、离散状态的马尔可夫链的未来状态的条件概率分布，只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。我们用 \( X_0, X_1, X_2, \ldots \) 表示状态序列，其马尔可夫性可以表示为： \( P(X_{n+1} = j | X_n = i, X_{n-1}, \ldots, X_0) = P(X_{n+1} = j | X_n = i

2025-10-30 05:43:43

马尔可夫链的转移概率矩阵

**马尔可夫链的转移概率矩阵** **第一步：基本定义与背景** 马尔可夫链的转移概率矩阵是描述马尔可夫链动态行为的核心工具。马尔可夫链是一种随机过程，其未来状态仅依赖于当前状态，而与过去状态无关（马尔可夫性）。若链的状态空间是离散的（如有限集 \(\{1, 2, ..., n\}\)），则转移概率矩阵 \(P\) 是一个方阵，其元素 \(P_{ij}\) 表示从状态 \(i\) 一步转移到状态 \(j\) 的概率，即： \[ P_{ij} = \mathbb{P}(X_{t+1} =

2025-10-30 05:28:01

**鲁棒优化**（Robust Optimization）是一种处理不确定优化问题的方法，其核心思想是在参数不确定但属于某个已知集合的情况下，寻找一个解，使得该解在任何可能参数实现下都满足约束条件，并且优化最坏情况下的性能。鲁棒优化特别适用于那些参数不确定性可能对系统性能产生严重影响的应用场景。下面我将循序渐进地讲解鲁棒优化的相关知识。 ### **第一步：理解不确定优化问题** 在传统优化问题中，目标函数和约束条件的参数通常是已知且固定的。然而，在实际应用中，参数往往存在不确定性，例如需求波

2025-10-30 04:40:32

数值区域分解方法

**数值区域分解方法** **基本概念** 数值区域分解方法是一种用于求解偏微分方程的高性能计算技术。其核心思想是将复杂的计算区域划分为若干个子区域，在每个子区域上独立求解问题，然后通过子区域间的信息交换来协调全局解。这种方法特别适合并行计算，能有效处理复杂几何和不同物理特性的耦合问题。 **数学原理** 1. 区域划分：将全局区域Ω划分为若干子区域{Ω_i}，子区域间存在重叠或非重叠的边界Γ_ij 2. 子问题求解：在每个子区域上独立离散化原偏微分方程，形成局部代数系统 3. 界面条件：在

2025-10-30 02:38:37

数值稳定性分析

**数值稳定性分析** 数值稳定性分析是计算数学中研究算法对舍入误差敏感性的重要分支。当一个数值算法在计算过程中，初始误差或舍入误差的传播不会导致结果严重失真时，我们称该算法是数值稳定的。 ### 1. 误差来源与分类 - **舍入误差**：计算机用有限位数表示实数时产生的误差（如浮点数精度限制）。 - **截断误差**：用近似公式代替精确数学表达式时引入的误差（如泰勒展开截断）。 - **初始误差**：输入数据本身可能包含误差（如测量误差）。 ### 2. 稳定性

2025-10-30 02:17:27

随机变量的矩生成函数

**随机变量的矩生成函数** 我们来学习概率论中一个非常强大的工具：矩生成函数。它提供了一种统一的方法来研究随机变量的所有矩，并且在许多高级问题中非常有效。 **第一步：矩生成函数的定义** 设 \( X \) 是一个随机变量。它的矩生成函数（Moment Generating Function, MGF）定义为函数 \( M_X(t) \)： \[ M_X(t) = E[e^{tX}] \] 其中，\( E[\cdot] \) 表示期望，\( t \) 是一个实数。这个期望值可能并不总是

2025-10-30 00:58:27

随机变量的分位数

**随机变量的分位数** 我们从一个简单的概念开始：假设你有一组考试成绩，比如全班同学的数学分数。如果老师说“90分是这次考试的‘标杆’分数，因为有一半的同学考得比它高，一半比它低”，这个“标杆”分数——90分——在统计学上就有一个正式的名称，我们称之为“中位数”。中位数是分位数家族中最著名的一个成员。 1. **分位数的基本思想** 分位数的核心思想是将数据或概率分布按比例划分。想象一下，你将所有数据从小到大排成一列。分位数就是这列数据上的一个“切割点”，这个点将数据分割成特定的

2025-10-29 22:45:38

最优性条件

**最优性条件** 1. **基本概念引入** 最优性条件是数学规划中用于判断一个解是否是最优解的一组必要条件或充分条件。在求解最优化问题时，我们不仅需要找到满足约束的点，还需要确认该点是否为目标函数的极值点（如最小值或最大值）。最优性条件为这种判断提供了理论依据。 2. **无约束问题的一阶必要条件** 对于无约束优化问题 \(\min f(x)\)，若 \(x^*\) 是局部最优解且 \(f\) 在 \(x^*\) 处可微，则必须满足 **一阶必要条件**：梯度为零，

2025-10-29 21:58:13

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