最优传输理论 问题背景与直观理解 最优传输理论研究的核心问题是：如何以最小的“总成本”将一堆物质（或一种概率分布）重新配置成另一堆物质（或另一种概率分布）。最经典的例子是：假设有若干个仓库（每个仓库有不同数量的沙子）和若干个建筑工地（每个工地需要特定数量的沙子），如何安排从每个仓库到每个工地的运输量，使得总的运输距离（成本）最小。这里的“成本”可以泛化为任意衡量两点间差异的函数。 数学形式化：Monge 问题 法国数学家加斯帕尔·蒙日于1781年首次形式化该问题。设 \( X \) 和 \( Y \) 是两个度量空间，\( \mu \) 是 \( X \) 上的概率分布（代表沙子的初始分布），\( \nu \) 是 \( Y \) 上的概率分布（代表目标分布）。给定一个成本函数 \( c(x, y) \)（如两点间的距离）。Monge 问题旨在寻找一个映射 \( T: X \to Y \)，将 \( \mu \) “推前”为 \( \nu \)（记作 \( T_ \# \mu = \nu \)），并最小化总成本： \[ \inf_ {T: T_ \# \mu = \nu} \int_ X c(x, T(x)) \, d\mu(x)。 \] 这个问题的难点在于映射 \( T \) 必须是确定性的（每个源点 \( x \) 只能映射到一个目标点 \( y \)），且需要满足整体质量守恒约束，这可能导致解不存在或寻找极其困难。 松弛与推广：Kantorovich 问题 20世纪中叶，苏联数学家列昂尼德·坎托罗维奇对问题进行了关键松弛。他不再要求每个源点映射到单一目标点，而是允许“分拆运输”：一个仓库的沙子可以运往多个工地。这引入了“传输计划”的概念，即一个在乘积空间 \( X \times Y \) 上的联合概率分布 \( \pi \)，其边缘分布分别为 \( \mu \) 和 \( \nu \)。Kantorovich 问题表述为： \[ \inf_ {\pi \in \Pi(\mu, \nu)} \int_ {X \times Y} c(x, y) \, d\pi(x, y)， \] 其中 \( \Pi(\mu, \nu) \) 是所有边缘分布为 \( \mu \) 和 \( \nu \) 的联合分布的集合。这是一个线性规划问题，在更宽松的条件下保证了解的存在性。 关键工具：对偶理论 Kantorovich 问题拥有一个强大的对偶形式。对偶问题寻找一对函数 \( \varphi: X \to \mathbb{R} \) 和 \( \psi: Y \to \mathbb{R} \)，满足 \( \varphi(x) + \psi(y) \le c(x, y) \)（称为 \( c \)-变换条件），并最大化： \[ \sup \left\{ \int_ X \varphi \, d\mu + \int_ Y \psi \, d\nu \right\}。 \] 强对偶定理表明，原问题的最小总成本等于对偶问题的最大值。这对偶函数 \( \varphi \) 和 \( \psi \) 可以解释为“势函数”，分别代表源点和目标点的“价格”或“势能”。 特殊情形与解析解：Brenier 定理 当成本函数为欧几里得距离的平方 \( c(x, y) = \|x - y\|^2 \) 且分布 \( \mu \) 绝对连续时，存在一个非常优美的结果（Brenier 定理）。最优传输映射 \( T \) 存在且唯一，并且可以表示为一个凸函数 \( \phi \) 的梯度：\( T(x) = \nabla \phi(x) \)。这个凸函数与对偶势函数密切相关，并且满足著名的 Monge-Ampère 偏微分方程。 计算与算法 在实际计算中，当分布由离散点集（经验分布）表示时，Kantorovich 问题成为一个经典的线性规划问题。但对于大规模问题，专用的算法更高效，其中最著名的是 熵正则化方法 和 Sinkhorn 算法 。该方法通过引入一个小的熵正则项将问题变得严格凸，从而可以用迭代的矩阵缩放算法快速求解，其计算复杂度远低于一般的线性规划求解器。 现代应用 最优传输已远远超越了最初的运输问题，成为数据科学、机器学习、计算机图形学和经济学等多个领域的核心工具。 计算机视觉与图像处理 ：用于图像匹配、颜色校正和形态学分析，通过计算图像像素分布间的“距离”（如推土机距离）。 机器学习 ：生成模型（如生成对抗网络）中衡量生成分布与真实数据分布的差异；领域自适应中对齐不同特征空间的数据分布。 计算几何 ：用于形状匹配和插值，通过最优传输映射可以实现一个形状到另一个形状的光滑形变。 经济学与金融学 ：模拟匹配市场、资产定价和风险度量。