更常见且等价的定义是：

随机变量的分位数 我们从一个简单的概念开始：假设你有一组考试成绩，比如全班同学的数学分数。如果老师说“90分是这次考试的‘标杆’分数，因为有一半的同学考得比它高，一半比它低”，这个“标杆”分数——90分——在统计学上就有一个正式的名称，我们称之为“中位数”。中位数是分位数家族中最著名的一个成员。 分位数的基本思想 分位数的核心思想是将数据或概率分布按比例划分。想象一下，你将所有数据从小到大排成一列。分位数就是这列数据上的一个“切割点”，这个点将数据分割成特定的比例。 中位数（0.5分位数） ：正如开头例子所讲，它将数据分成两等份，50%的数据小于或等于它，50%的数据大于或等于它。 四分位数 ：这是另一个常见的分位数，它将数据分成四等份。 第一四分位数（Q1，下四分位数，0.25分位数） ：有25%的数据小于或等于它。 第二四分位数（Q2，中位数，0.5分位数） ：有50%的数据小于或等于它。 第三四分位数（Q3，上四分位数，0.75分位数） ：有75%的数据小于或等于它。 从样本到总体：随机变量的分位数 上面我们讨论的是有限个数据样本（如全班成绩）的分位数。现在我们将这个概念推广到无限的、理论上的总体，也就是 随机变量 。 设 \( X \) 是一个随机变量，其累积分布函数为 \( F(x) = P(X \leq x) \)。 对于任意一个概率值 \( p \)（其中 \( 0 < p < 1 \)），随机变量 \( X \) 的 p-分位数 （或称 100p-百分位数 ）是一个数，记作 \( q_ p \)。它的定义是，随机变量 \( X \) 的值小于或等于 \( q_ p \) 的概率恰好为 \( p \)。用分布函数表示为： \[ P(X \leq q_ p) = F(q_ p) = p \] 换句话说，分位数 \( q_ p \) 是方程 \( F(x) = p \) 的解。 分位数的计算与可能的不唯一性 在理想情况下，分布函数 \( F(x) \) 是严格单调递增的，那么对于每一个 \( p \)，方程 \( F(x) = p \) 有唯一解 \( x \)。这个解就是唯一的分位数 \( q_ p \)。 然而，当分布函数在某些区间上是“平”的（即常数）或者有跳跃时，分位数可能不唯一。为了解决这个问题，我们通常采用一个更精确、更通用的定义： p-分位数 \( q_ p \) 是满足以下两个条件的最小的数 \( x \)： \[ P(X \leq x) \geq p \quad 且 \quad P(X \geq x) \geq 1-p \] 更常见且等价的定义是： \[ q_ p = \inf \{ x: F(x) \geq p \} \] 这个定义可以处理所有情况（连续、离散、混合型分布），并且能保证分位数的唯一性。我们称这个唯一的 \( q_ p \) 为 下分位数 或 标准分位数 。 特殊分位数与示例 中位数 ：当 \( p = 0.5 \) 时，\( q_ {0.5} \) 就是中位数。它是衡量数据中心位置的一个重要指标，对极端值不敏感。 标准正态分布的分位数 ：标准正态分布 \( N(0,1) \) 的分位数 \( z_ p \) 非常重要。例如，\( z_ {0.975} \approx 1.96 \)。这意味着对于一个标准正态随机变量，有 97.5% 的概率其取值会小于或等于 1.96。这在假设检验和置信区间构造中至关重要。 分位数的应用与重要性 分位数在统计学和概率论中应用极其广泛： 描述数据分布 ：箱线图就是利用最小值、Q1、中位数、Q3、最大值这五个分位数来直观展示数据的分布、中心位置、离散程度和潜在异常值。 风险度量 ：在金融领域， 风险价值（VaR） 本质上就是一个分位数。例如，5%的VaR就是指在未来一段时间内，有95%的把握损失不会超过这个值（即损失分布的0.05分位数）。 非参数统计 ：当总体分布未知时，分位数（如中位数）比均值等基于矩的统计量更稳健。 生成随机变量 ：在随机模拟中，如果已知一个随机变量的分位数函数（即累积分布函数的反函数），我们可以通过生成均匀分布的随机数来轻松生成服从该分布的随机变量。