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随机变量的变换

**随机变量的变换** 随机变量的变换是概率论中的一个基本概念，它研究的是当一个随机变量通过一个函数映射后，新生成的随机变量的分布特性。这在统计学、信号处理、金融工程等领域有广泛应用，例如当我们对数据进行标准化、取对数或进行其他函数操作时。 1. **基本概念与问题定义** 假设我们有一个随机变量 \( X \)，其概率分布是已知的（例如，已知其概率密度函数PDF或概率质量函数PMF）。现在我们定义一个新的随机变量 \( Y \)，它是 \( X \) 的一个函数：\( Y = g

2025-10-30 20:21:15

序列二次规划

**序列二次规划** 序列二次规划是求解非线性约束优化问题的重要数值方法。我将从问题背景出发，逐步解释其核心思想和算法流程。 1. **问题形式** 考虑一般形式的非线性约束优化问题： \[ \begin{aligned} \min \quad & f(\mathbf{x}) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(\mathbf{x}) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & c_i(\mathb

2025-10-30 18:36:41

信赖域方法

**信赖域方法** 信赖域方法是一类用于求解非线性优化问题的数值算法，特别适用于目标函数或约束条件为复杂非线性的情形。其核心思想是：在每次迭代中，在当前迭代点附近的一个小区域（即“信赖域”）内，用一个简单的模型（通常是二次模型）来近似原始复杂函数，然后在这个信赖域内求解该近似模型的极小值点，从而得到候选迭代点。通过比较候选点处实际函数的下降量与近似模型的预测下降量，来决定是否接受该候选点，并动态调整信赖域的大小。 1. **基本思想与动机** 在优化问题中，我们常常需要最小化一个非

2025-10-30 18:20:47

随机变量的特征函数

**随机变量的特征函数** 1. **定义与基本形式** 随机变量 \( X \) 的特征函数定义为复数域上的函数： \[ \phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}], \quad t \in \mathbb{R}, \] 其中 \( i \) 是虚数单位。对于离散型随机变量，这是一个求和：\( \phi_X(t) = \sum_k e^{itx_k} P(X=x_k) \)；对于连续型随机变量，这是一个积分：\( \phi_X(t

2025-10-30 17:27:49

随机变量的分位数

**随机变量的分位数** 1. **基本概念：从分位数到随机变量** 分位数是一个描述概率分布位置的概念。一个非常熟悉的特例是**中位数**，它将一个数据集或一个概率分布分成两个相等的部分：恰好有50%的数据小于或等于中位数，50%的数据大于或等于中位数。类似地，我们可以定义四分位数（将数据分为四等份）、百分位数等。在概率论中，我们将这个概念推广到任何随机变量上。对于一个随机变量X，它的分位数提供了一个框架，让我们能够讨论X的取值落在某个特定值以下的概率。 2. **分位数的精确

2025-10-30 16:23:49

多臂老虎机问题

**多臂老虎机问题** 1. **问题定义** 多臂老虎机问题（Multi-Armed Bandit Problem, MAB）是概率论与决策理论中的经典模型，用于描述在不确定性下的资源分配问题。假设一个赌场中有多台老虎机（即“臂”），每台老虎机每次被拉动时以一定概率提供奖励，但玩家不知道每台机器的奖励概率分布。目标是通过有限次数的尝试，最大化累计奖励。该问题本质上是**探索（尝试新机器）**与**利用（选择当前已知收益最高的机器）**之间的权衡。 2. **核心挑战：探索-利用困境**

2025-10-30 15:46:37

随机变量的分位数

**随机变量的分位数** 我将为您详细讲解随机变量的分位数。这是一个连接概率分布与描述性统计的重要概念，广泛应用于统计推断、风险管理和数据分析中。 **第一步：分位数的基本定义与动机** 首先，我们考虑一个实际问题：如何描述一组数据或一个概率分布的“位置”？平均值（期望）是一个中心位置的度量，但它容易受极端值影响，且无法告诉我们数据在不同百分位上的情况。例如，在教育测试中，我们不仅关心平均分，更关心“排名前10%的分数是多少”或“中位数分数是多少”。分位数就是用来解决这类问题的。对于一

2025-10-30 14:05:26

随机梯度下降法

**随机梯度下降法** 我们先从最基础的优化问题背景开始。考虑无约束优化问题 min f(x)，其中目标函数 f(x) 往往是大量函数之和的形式，例如在机器学习中常见的经验风险最小化问题：f(x) = (1/m) Σ_{i=1}^m L_i(x)。这里 m 是训练样本的总数，L_i(x) 是模型参数为 x 时在第 i 个样本上的损失函数。 **第一步：经典梯度下降法** 为了求解该问题，最直接的方法是**批量梯度下降法**。其迭代格式为： x_{k+1} = x_k - α_k ∇f(x_k

2025-10-30 13:59:59

约束优化问题的积极集方法

**约束优化问题的积极集方法** 1. **基本概念与问题背景** 积极集方法是求解约束优化问题的一类重要算法，特别适用于不等式约束问题。考虑标准形式： \[ \begin{aligned} \min_{\mathbf{x}} \quad & f(\mathbf{x}) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(\mathbf{x}) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ & h_j(

2025-10-30 13:23:07

最优性条件

**最优性条件** 最优性条件是优化理论中的核心概念，用于判断一个解是否为局部或全局最优解。它通过分析目标函数和约束在候选解处的性质（如梯度、海森矩阵等）来提供理论判据。以下从基础到深入逐步展开说明： --- ### 1. 无约束优化的最优性条件 **问题形式**：最小化函数 \( f(x) \)，其中 \( x \in \mathbb{R}^n \)，无约束。 - **一阶必要条件**：若 \( x^* \) 是局部极小点，且 \( f \) 在该点可微，则梯度必须

2025-10-30 12:09:19

随机变量的概率母函数

**随机变量的概率母函数** 概率母函数是研究非负整数值随机变量的重要工具，它通过幂级数的形式包含了随机变量概率分布的全部信息。 1. **定义** 设 \( X \) 是一个取非负整数值的随机变量，其概率分布为 \( P(X=k) = p_k, k=0,1,2,\dots \)。\( X \) 的概率母函数（Probability Generating Function, PGF）定义为： \[ G_X(s) = E[s^X] = \sum_{k=0}^{\inf

2025-10-30 11:11:30

增广拉格朗日法

**增广拉格朗日法** 1. **基本思想与动机** 增广拉格朗日法是一种求解约束优化问题的方法，尤其适用于等式约束问题。它的核心思想是通过在标准拉格朗日函数中增加一个惩罚项，将约束问题转化为一系列无约束子问题。这种方法结合了拉格朗日乘子法的收敛性和罚函数法的数值稳定性，能够避免罚函数法中惩罚参数趋于无穷时导致的数值困难。 2. **问题形式与函数构造** 考虑等式约束问题： \[ \min f(x) \quad \text{s.t.} \quad h_i(x) = 0 \ (i

2025-10-30 10:02:38

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