这个性质使得求解独立同分布随机变量和的分布变得非常简便。

随机变量的概率母函数 概率母函数是研究非负整数值随机变量的重要工具，它通过幂级数的形式包含了随机变量概率分布的全部信息。 定义 设 \( X \) 是一个取非负整数值的随机变量，其概率分布为 \( P(X=k) = p_ k, k=0,1,2,\dots \)。\( X \) 的概率母函数（Probability Generating Function, PGF）定义为： \[ G_ X(s) = E[ s^X] = \sum_ {k=0}^{\infty} p_ k s^k \] 其中，\( s \) 是一个使得该级数收敛的实数（通常考虑 \( |s| \leq 1 \) 的情况，因为此时级数绝对收敛）。概率母函数本质上是序列 \( \{p_ k\} \) 的生成函数。 基本性质 归一性 ：在 \( s=1 \) 处，概率母函数的值恒为1，即 \( G_ X(1) = \sum_ {k=0}^{\infty} p_ k = 1 \)。 概率恢复 ：概率分布 \( p_ k \) 可以通过对概率母函数求导并赋值来恢复。具体地，\( p_ k = \frac{G_ X^{(k)}(0)}{k!} \)，其中 \( G_ X^{(k)}(0) \) 是 \( G_ X(s) \) 在 \( s=0 \) 处的 \( k \) 阶导数。这体现了概率母函数“生成”概率的特性。 矩的计算 ：概率母函数可以方便地计算随机变量的各阶阶乘矩。特别地，一阶阶乘矩就是期望：\( E[ X] = G'_ X(1) \)。更高阶的矩（如方差）也可以通过求导得到。 独立随机变量和 概率母函数在处理独立随机变量和的问题上表现出极大的优势。设 \( X_ 1, X_ 2, \dots, X_ n \) 是相互独立的非负整数值随机变量，它们的和为 \( S_ n = X_ 1 + X_ 2 + \dots + X_ n \)。则 \( S_ n \) 的概率母函数是各个随机变量概率母函数的乘积： \[ G_ {S_ n}(s) = G_ {X_ 1}(s) G_ {X_ 2}(s) \cdots G_ {X_ n}(s) \] 这个性质使得求解独立同分布随机变量和的分布变得非常简便。 与其他生成函数的关系 概率母函数与之前学过的特征函数和矩母函数有密切联系。对于非负整数值随机变量，其特征函数 \( \phi_ X(t) = E[ e^{itX}] = G_ X(e^{it}) \)，其矩母函数 \( M_ X(t) = E[ e^{tX}] = G_ X(e^{t}) \)。因此，概率母函数可以看作是特征函数或矩母函数的一种特殊形式，专门为离散型随机变量（尤其是非负整数值）设计，在处理此类问题时更为直接和便捷。