随机变量的特征函数
字数 1517 2025-10-30 17:43:44

随机变量的特征函数

  1. 定义与基本形式
    随机变量 \(X\) 的特征函数定义为复数域上的函数：

\[ \phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}], \quad t \in \mathbb{R}, \]

其中 \(i\) 是虚数单位。对于离散型随机变量，这是一个求和：\(\phi_X(t) = \sum_k e^{itx_k} P(X=x_k)\)；对于连续型随机变量，这是一个积分：\(\phi_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f_X(x) \, dx\)。这本质上是概率分布（或密度函数）的傅里叶变换。

  1. 核心性质
    特征函数具有几个关键性质，使其成为强大的分析工具：
  • 有界性：\(|\phi_X(t)| \leq \phi_X(0) = 1\)。
  • 一致连续性：\(\phi_X(t)\) 在整个实数轴 \(\mathbb{R}\) 上一致连续。
    • 唯一性定理：随机变量的概率分布由其特征函数唯一确定。如果两个随机变量的特征函数处处相等，则它们同分布。
  • 线性变换：若 \(Y = aX + b\)，则 \(\phi_Y(t) = e^{ibt} \phi_X(at)\)。
  • 独立性：若 \(X\) 和 \(Y\) 独立，则 \(X+Y\) 的特征函数为 \(\phi_{X+Y}(t) = \phi_X(t) \phi_Y(t)\)。
  1. 与矩的关系
    特征函数与随机变量的矩（如果存在）有紧密联系。对特征函数在 \(t=0\) 处求导，可以得到各阶矩：

\[ \mathbb{E}[X^k] = \frac{1}{i^k} \left. \frac{d^k}{dt^k} \phi_X(t) \right|_{t=0}. \]

例如，一阶矩（期望）为 \(\mathbb{E}[X] = -i \phi_X'(0)\)，二阶矩为 \(\mathbb{E}[X^2] = -\phi_X''(0)\)。因此，特征函数也被称为矩生成函数（如果矩生成函数存在，特征函数总是存在）。

  1. 逆转公式与连续性定理
  • 逆转公式：给定特征函数 \(\phi(t)\)，可以通过一个积分公式（逆转公式）恢复出其对应的分布函数 \(F(x)\)。这从理论上保证了分布与特征函数的一一对应关系。
  • 连续性定理（莱维连续性定理）：一列分布函数 \(\{F_n(x)\}\) 弱收敛于某分布函数 \(F(x)\) 的充分必要条件是，其对应的特征函数序列 \(\{\phi_n(t)\}\) 逐点收敛于一个在 \(t=0\) 处连续的函数 \(\phi(t)\)，并且 \(\phi(t)\) 正好是极限分布 \(F(x)\) 的特征函数。这个定理是特征函数在概率论极限理论中应用的核心。
  1. 应用：中心极限定理的证明
    特征函数是证明中心极限定理最简洁有力的工具。其基本思路是：考虑标准化后的独立同分布随机变量和 \(S_n^* = (S_n - n\mu)/(\sigma\sqrt{n})\)，计算其特征函数 \(\phi_{S_n^*}(t)\)。利用特征函数的性质，证明当 \(n \to \infty\) 时，\(\phi_{S_n^*}(t)\) 收敛于标准正态分布的特征函数 \(e^{-t^2/2}\)。最后，应用连续性定理，即可得出 \(S_n^*\) 依分布收敛于标准正态分布。
随机变量的特征函数 定义与基本形式 随机变量 \( X \) 的特征函数定义为复数域上的函数： \[ \phi_ X(t) = \mathbb{E}[ e^{itX} ], \quad t \in \mathbb{R}, \] 其中 \( i \) 是虚数单位。对于离散型随机变量，这是一个求和：\( \phi_ X(t) = \sum_ k e^{itx_ k} P(X=x_ k) \)；对于连续型随机变量，这是一个积分：\( \phi_ X(t) = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{itx} f_ X(x) \, dx \)。这本质上是概率分布（或密度函数）的傅里叶变换。 核心性质 特征函数具有几个关键性质，使其成为强大的分析工具： 有界性 ：\( |\phi_ X(t)| \leq \phi_ X(0) = 1 \)。 一致连续性 ：\( \phi_ X(t) \) 在整个实数轴 \( \mathbb{R} \) 上一致连续。 唯一性定理 ：随机变量的概率分布由其特征函数唯一确定。如果两个随机变量的特征函数处处相等，则它们同分布。 线性变换 ：若 \( Y = aX + b \)，则 \( \phi_ Y(t) = e^{ibt} \phi_ X(at) \)。 独立性 ：若 \( X \) 和 \( Y \) 独立，则 \( X+Y \) 的特征函数为 \( \phi_ {X+Y}(t) = \phi_ X(t) \phi_ Y(t) \)。 与矩的关系 特征函数与随机变量的矩（如果存在）有紧密联系。对特征函数在 \( t=0 \) 处求导，可以得到各阶矩： \[ \mathbb{E}[ X^k] = \frac{1}{i^k} \left. \frac{d^k}{dt^k} \phi_ X(t) \right|_ {t=0}. \] 例如，一阶矩（期望）为 \( \mathbb{E}[ X] = -i \phi_ X'(0) \)，二阶矩为 \( \mathbb{E}[ X^2] = -\phi_ X''(0) \)。因此，特征函数也被称为矩生成函数（如果矩生成函数存在，特征函数总是存在）。 逆转公式与连续性定理 逆转公式 ：给定特征函数 \( \phi(t) \)，可以通过一个积分公式（逆转公式）恢复出其对应的分布函数 \( F(x) \)。这从理论上保证了分布与特征函数的一一对应关系。 连续性定理 （莱维连续性定理）：一列分布函数 \( \{F_ n(x)\} \) 弱收敛于某分布函数 \( F(x) \) 的充分必要条件是，其对应的特征函数序列 \( \{\phi_ n(t)\} \) 逐点收敛于一个在 \( t=0 \) 处连续的函数 \( \phi(t) \)，并且 \( \phi(t) \) 正好是极限分布 \( F(x) \) 的特征函数。这个定理是特征函数在概率论极限理论中应用的核心。 应用：中心极限定理的证明 特征函数是证明中心极限定理最简洁有力的工具。其基本思路是：考虑标准化后的独立同分布随机变量和 \( S_ n^* = (S_ n - n\mu)/(\sigma\sqrt{n}) \)，计算其特征函数 \( \phi_ {S_ n^ }(t) \)。利用特征函数的性质，证明当 \( n \to \infty \) 时，\( \phi_ {S_ n^ }(t) \) 收敛于标准正态分布的特征函数 \( e^{-t^2/2} \)。最后，应用连续性定理，即可得出 \( S_ n^* \) 依分布收敛于标准正态分布。