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**代理优化** 代理优化是一种用于处理计算昂贵黑箱函数优化的方法。当目标函数或约束条件的每次评估都需要耗费大量计算资源（如复杂仿真、物理实验）时，代理优化通过构建计算廉价的替代模型（即代理模型）来指导搜索过程，从而减少对真实昂贵函数的调用次数。 **1. 基本思想与问题背景** - 核心问题：优化目标函数 \( f(x) \)，其中 \( x \) 是决策变量，但每次计算 \( f(x) \) 的成本极高（例如耗时数小时）。 - 直接应用传统优化算法（如梯度下降）可能不可行，因为需要大量函

2025-11-07 09:40:57

随机变量的变换的Stieltjes积分方法

**随机变量的变换的Stieltjes积分方法** 1. **基础概念回顾与问题引入** 在概率论中，我们经常需要计算随机变量函数的期望，例如 \(E[g(X)]\)。若 \(X\) 是连续型随机变量，其概率密度函数为 \(f(x)\)，则期望可表示为黎曼积分： \[ E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) \, dx. \] 但若 \(X\) 的分布函数 \(F(x)\) 不可导（如离散型或混合型随机变

2025-11-07 07:55:52

数值双曲型方程的计算弹性波传播应用

**数值双曲型方程的计算弹性波传播应用** 好的，我们开始学习“数值双曲型方程的计算弹性波传播应用”。这是一个将数值方法应用于模拟固体材料中地震波等弹性波传播的交叉学科领域。 ### 第一步：理解弹性波的基本物理弹性波是应力扰动在弹性介质（如地球内部、金属结构、生物组织）中传播的形式。它与我们在流体中讨论的声波或激波有本质区别： * **核心物理量**：在三维各向同性弹性介质中，描述波传播的不是单一的速度，而是两个关键变量：**位移** \( \mathbf{u}(x, y, z,

2025-11-07 07:13:43

线性互补问题

**线性互补问题** 线性互补问题是数学规划中的一个基本问题，它研究的是在特定线性约束下，两组变量之间需要满足的一种互补关系。其标准形式是寻找向量 \( z \in \mathbb{R}^n \) 和 \( w \in \mathbb{R}^n \)，使得： \[ w = Mz + q, \quad w \geq 0, \quad z \geq 0, \quad z^T w = 0, \] 其中 \( M \) 是一个 \( n \times n \) 的实矩阵，\( q \) 是一个 \(

2025-11-07 07:03:04

随机变量的变换的鞍点近似方法

**随机变量的变换的鞍点近似方法** 鞍点近似是一种用于近似概率分布或累积分布函数尾部概率的渐近方法，特别适用于处理独立随机变量和或似然函数的计算。其核心思想是利用被积函数的指数形式，通过将积分路径变形，使其通过被积函数在复平面上的一个临界点（即鞍点），从而获得高精度的近似。 1. **基本动机** * 在许多实际问题中，例如计算独立同分布随机变量和的尾部概率 \( P(S_n > x) \)（其中 \( S_n = X_1 + \dots + X_n \)），其精确表达式可能

2025-11-07 06:57:49

随机变量的变换的鞍点近似方法

**随机变量的变换的鞍点近似方法** 我们来学习随机变量的变换的鞍点近似方法。这是一种在概率论和统计学中用于近似计算概率分布尾部概率或变换后分布的函数形式的强大技巧，尤其在处理独立随机变量和或似然函数时非常有用。 1. **核心思想与动机** 鞍点近似的核心目标是提供一个比中心极限定理更精确的近似，尤其是在分布的尾部区域。中心极限定理给出的正态近似在分布的中间部分（均值附近）通常很好，但在尾部（远离均值的极端值区域）可能误差很大。鞍点近似通过利用随机变量的矩生成函数，能够提供一种在

2025-11-07 06:52:36

随机变量的变换的鞍点近似方法

**随机变量的变换的鞍点近似方法** 鞍点近似是一种用于逼近概率分布函数或累积量生成函数反变换的渐近方法，特别在计算罕见事件的概率或分布的尾部概率时非常有效。它通过复变函数理论中的鞍点技巧，找到被积函数指数部分最速下降的路径，从而获得高精度的近似。 **1. 基本思想与动机** 考虑随机变量 \( X \) 的矩生成函数 \( M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] \)，其累积量生成函数为 \( K_X(t) = \log M_X(t) \)。\( X \) 的概率密度函数

2025-11-07 06:36:31

数值抛物型方程的有限体积法

**数值抛物型方程的有限体积法** 好的，我们开始学习“数值抛物型方程的有限体积法”。这个方法结合了有限差分法的直观和有限元法处理复杂几何区域的优势，是计算流体力学和传热学等领域中求解抛物型方程（如热传导方程、对流-扩散方程）的核心技术。 **第一步：理解物理背景与控制方程** 我们从一个典型的抛物型方程——瞬态热传导方程开始： \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u + S \] 这里： - \( u \) 是待求解的

2025-11-07 06:31:16

数值抛物型方程的初边值问题

**数值抛物型方程的初边值问题** 好的，我们开始学习“数值抛物型方程的初边值问题”。这个词条是计算数学中偏微分方程数值解的核心内容之一，它将我们之前讨论的许多概念（如有限差分法、稳定性分析）应用到一个具体而重要的框架中。 ### 第一步：理解“抛物型方程”及其“初边值问题”的物理与数学背景首先，我们需要明确研究对象。 1. **什么是抛物型方程？** * 最经典、最简单的例子是**热传导方程**（或称扩散方程）。在一维空间中，它表示为： `∂u/∂t =

2025-11-07 04:38:56

随机变量的变换的傅里叶变换方法

**随机变量的变换的傅里叶变换方法** 随机变量的变换是概率论中的一个核心问题，即给定一个随机变量 \(X\) 及其概率分布，以及一个函数 \(g\)，如何求随机变量 \(Y = g(X)\) 的分布。我们已经讨论过多种方法，如分布函数法、矩生成函数法、雅可比行列式法等。傅里叶变换方法为此提供了另一种强大工具，尤其擅长处理独立随机变量和的分布问题。 **第一步：理解傅里叶变换在概率论中的化身——特征函数** 1. **核心思想**：傅里叶变换是分析函数频率成分的强大数学工具。在概率论中，

2025-11-07 03:29:04

随机变量的变换的Jacobian方法

**随机变量的变换的Jacobian方法** Jacobian方法是概率论中用于求解随机变量变换后概率分布的核心技术，特别适用于多维连续型随机变量的变换。它通过计算变换的雅可比行列式来建立变换前后概率密度函数的关系。第一步：理解基本问题设X = (X₁, X₂, ..., Xₙ)是一个n维连续型随机向量，其联合概率密度函数为f_X(x)。考虑变换Y = g(X)，其中g: ℝⁿ → ℝⁿ是一个可逆的向量值函数。我们的目标是求出Y的联合概率密度函数f_Y(y)。第二步：雅可比行列式的定

2025-11-07 00:44:23

随机变量的变换的指数族分布方法

**随机变量的变换的指数族分布方法** **第一步：指数族分布的基本定义** 指数族分布是一类重要的概率分布，其概率密度函数（或概率质量函数）可以写成以下形式： \[ f(x \mid \boldsymbol{\theta}) = h(x) \exp\left( \boldsymbol{\eta}(\boldsymbol{\theta})^\top \mathbf{T}(x) - A(\boldsymbol{\theta}) \right) \] 其中： - \( \bol

2025-11-07 00:01:48

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