随机变量的变换的Stieltjes积分方法

1. 基础概念回顾与问题引入
   在概率论中，我们经常需要计算随机变量函数的期望，例如 \(E[g(X)]\)。若 \(X\) 是连续型随机变量，其概率密度函数为 \(f(x)\)，则期望可表示为黎曼积分：

\[ E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) \, dx. \]

但若 \(X\) 的分布函数 \(F(x)\) 不可导（如离散型或混合型随机变量），密度函数 \(f(x)\) 可能不存在。此时，需要一种更通用的积分工具——Stieltjes积分。

2. Stieltjes积分的定义
   设 \(g(x)\) 是连续函数，\(F(x)\) 是单调不减的右连续函数（如分布函数）。Stieltjes积分定义为黎曼-斯蒂尔杰斯和的极限：

\[ \int_a^b g(x) \, dF(x) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n g(x_i^*) [F(x_i) - F(x_{i-1})], \]

其中区间 \([a, b]\) 被划分为若干子区间，\(x_i^*\) 为每个子区间内的任一点。该积分统一处理了连续、离散及混合分布的情况：

• 若 \(F(x)\) 可导，则 \(dF(x) = f(x)dx\)，退化为黎曼积分。
• 若 \(X\) 是离散型随机变量，取值点为 \(\{x_i\}\) 且概率为 \(p_i\)，则积分化为求和：

\[ \int g(x) \, dF(x) = \sum_i g(x_i) p_i. \]

3. 在概率论中的应用
   Stieltjes积分允许我们统一表示任意随机变量的期望：

\[ E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \, dF(x), \]

其中 \(F(x)\) 是 \(X\) 的分布函数。例如：

• 若 \(X \sim \text{Uniform}(0,1)\)，则 \(dF(x) = dx\)，积分即为普通定积分。
• 若 \(X\) 是伯努利随机变量（\(P(X=1)=p\)），则 \(dF(x)\) 在 \(x=0\) 和 \(x=1\) 处有跳跃，积分结果为 \(g(0)(1-p) + g(1)p\)。

4. 变换方法的推广
   对于随机变量 \(Y = g(X)\) 的分布，Stieltjes积分可推导其期望：

\[ E[Y] = \int_{-\infty}^{\infty} y \, dF_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \, dF_X(x), \]

无需显式求出 \(Y\) 的分布 \(F_Y(y)\)。这一性质在涉及复杂变换时尤为有效，例如当 \(g(x)\) 不可逆或 \(X\) 为混合分布时，传统变换方法（如Jacobian）可能失效，而Stieltjes积分仍适用。

5. 与其他工具的联系
   Stieltjes积分是勒贝格-斯蒂尔杰斯积分的前身，后者在测度论中进一步推广了积分概念。在概率论中，它无缝衔接了黎曼积分与离散求和，为处理混合型随机变量提供了严谨的数学基础，也是特征函数、矩生成函数等工具的理论支撑。