随机变量的变换的Jacobian方法 Jacobian方法是概率论中用于求解随机变量变换后概率分布的核心技术，特别适用于多维连续型随机变量的变换。它通过计算变换的雅可比行列式来建立变换前后概率密度函数的关系。 第一步：理解基本问题 设X = (X₁, X₂, ..., Xₙ)是一个n维连续型随机向量，其联合概率密度函数为f_ X(x)。考虑变换Y = g(X)，其中g: ℝⁿ → ℝⁿ是一个可逆的向量值函数。我们的目标是求出Y的联合概率密度函数f_ Y(y)。 第二步：雅可比行列式的定义 对于变换Y = g(X)，其雅可比矩阵J是一个n×n矩阵，其中第(i,j)元素为∂y_ i/∂x_ j。雅可比行列式det(J)衡量了变换g在点x处的局部体积伸缩率。当|det(J)| > 1时，变换扩张体积；当|det(J)| < 1时，变换压缩体积。 第三步：一维情况的特殊形式 当n=1时，变换Y = g(X)的雅可比行列式简化为|dg/dx|。此时概率密度函数的变换公式为f_ Y(y) = f_ X(x)/|dg/dx|，其中x = g⁻¹(y)。这可以视为多维情况在n=1时的特例。 第四步：多维变换公式 对于可逆变换Y = g(X)，其逆变换存在且记为X = h(Y)。则Y的联合概率密度函数为： f_ Y(y) = f_ X(h(y)) × |det(J_ h(y))| 其中J_ h是逆变换h的雅可比矩阵。这个公式通过雅可比行列式|det(J_ h)|来修正概率密度，以反映变换导致的体积变化。 第五步：计算雅可比行列式的步骤 明确原变量X与新变量Y之间的变换关系 求出逆变换X = h(Y) 计算逆变换的雅可比矩阵J_ h = [ ∂x_ i/∂y_ j ] 计算雅可比行列式|det(J_ h)| 将结果代入变换公式 第六步：实际应用示例 考虑二维情况：(X₁, X₂)变换为(Y₁, Y₂)，其中Y₁ = X₁ + X₂，Y₂ = X₁ - X₂。逆变换为X₁ = (Y₁ + Y₂)/2，X₂ = (Y₁ - Y₂)/2。雅可比矩阵为： J = [ ∂x₁/∂y₁ ∂x₁/∂y₂; ∂x₂/∂y₁ ∂x₂/∂y₂] = [ 1/2 1/2; 1/2 -1/2 ] 雅可比行列式|det(J)| = |(-1/4) - (1/4)| = 1/2。因此f_ Y(y₁, y₂) = f_ X((y₁+y₂)/2, (y₁-y₂)/2) × 1/2。 第七步：注意事项与限制条件 Jacobian方法要求变换g必须是连续可微的双射（一一对应）。当变换不可逆时，需要将定义域划分为若干区域，使变换在每个区域上可逆，然后对结果求和。雅可比行列式必须处处不为零，否则公式在零点处不适用。