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随机规划中的序贯决策与强化学习

**随机规划中的序贯决策与强化学习** **1. 基本概念引入** 随机规划中的序贯决策是指在多个时间阶段上，决策者根据当前状态和随机观测信息逐步做出决策的过程。强化学习（Reinforcement Learning, RL）则是一种通过智能体与环境的交互学习最优策略的机器学习方法。两者的结合旨在解决随机环境下多阶段决策问题，尤其是当模型（如状态转移概率、奖励函数）未知时，通过数据驱动的方式优化长期目标。 **2. 序贯决策问题的建模框架** - **状态空间**：描述系统在每一阶段

2025-11-09 08:31:49

好的，我们接下来深入探讨一个概率论中用于描述随机变量“尾部”行为的重要概念。 **重尾分布** 我们来一步步理解这个概念。 ### 1. 核心思想：什么是“重尾”？想象一下我们有两个随机变量，比如： * **变量A**：代表一个普通人的年收入。 * **变量B**：代表一个城市一年中发生的地震的震级。对于变量A，出现一个比平均收入高10倍或100倍的人虽然罕见，但概率是存在的。对于变量B，发生一次比常见震级高得多的特大地震（比如9级以上）的概率虽然极低，但绝非为零。 “重

2025-11-09 05:47:26

马尔可夫链的耦合时间

好的，我们接下来学习词条： **马尔可夫链的耦合时间** ### 第一步：直观理解“耦合”的概念想象一下，你有两个完全独立的、但在统计上完全相同的马尔可夫链，比如两个相同的棋盘游戏，由两个玩家在不同的桌子上玩。这两个游戏（马尔可夫链）都从不同的起点开始。 * **耦合** 的核心思想是：设计一种特殊的规则，让这两个原本独立的链在未来某个**随机时间**点上**相遇**或**耦合**。一旦它们相遇，我们就让它们从那个时间点开始，保持**完全同步**地走下去。 * 这个“相遇”的时

2025-11-09 04:11:46

数值双曲型方程的计算声学应用中的边界元方法

**数值双曲型方程的计算声学应用中的边界元方法** 计算声学旨在通过数值手段模拟声波的传播、散射和辐射现象。这类问题常由双曲型偏微分方程（如波动方程）描述。边界元方法（Boundary Element Method, BEM）是一种基于积分方程的技术，特别适用于计算声学中的无界域问题（如开放空间中的声场），因为它能自然满足远场辐射条件。 ### 1. **波动方程与边界积分公式** 声波在均匀介质中的传播由**波动方程**描述： \[ \nabla^2 p - \frac{1

2025-11-09 04:06:18

计算数学中的不确定性量化

好的，我们开始学习一个新的词条。 **计算数学中的不确定性量化** 不确定性量化是计算数学中一个至关重要的交叉学科领域，它致力于系统地分析、量化和减少数学模型中存在的不确定性对数值模拟结果的影响。 --- ### **第一步：理解“不确定性”的来源** 在科学和工程计算中，我们通过数学模型（通常是偏微分方程）来描述物理现象。然而，从建立模型到获得最终数值解的全过程，充满了各种不确定性： 1. **参数不确定性**：模型中的某些输入参数可能无法精确已知。例如，模拟大气流动时，湍流粘度

2025-11-09 03:23:52

随机规划中的多阶段随机规划与策略空间分解

**随机规划中的多阶段随机规划与策略空间分解** 随机规划中的多阶段随机规划与策略空间分解是处理涉及多个决策阶段且每个阶段面临随机性问题的核心方法。该方法旨在将复杂的多阶段问题分解为更易管理的子问题，通过对策略空间的结构化处理来优化决策。 **第一步：理解多阶段随机规划的基本框架** 多阶段随机规划考虑一个包含 \(T\) 个决策阶段的问题。在每个阶段 \(t\)（\(t=1, \dots, T\)），决策者首先观察到随机变量 \(\xi_t\) 的实现（例如市场需求或资源价格），然后根据当

2025-11-09 02:41:25

随机变量的变换的随机加权方法

**随机变量的变换的随机加权方法** 随机加权方法是一种处理随机变量变换后分布的技术，特别适用于复杂或难以直接解析推导的情形。它通过引入随机权重来近似变换后的分布特性。下面我们逐步展开这一概念。 **第一步：基本思想与动机** 假设我们有一个随机变量 \(X\)，其概率密度函数为 \(f_X(x)\)，以及一个变换函数 \(Y = g(X)\)。当 \(g\) 非线性或高维时，\(Y\) 的分布可能难以直接求解。随机加权方法的核心思想是：通过生成一组与 \(X\) 相关的随机权重 \(W_i

2025-11-09 02:30:52

随机变量的变换的矩匹配方法

**随机变量的变换的矩匹配方法** 随机变量的变换是概率论中的核心问题之一，其目标是找到新随机变量的分布特性。矩匹配方法是一种通过匹配矩（如均值、方差等）来近似变换后分布的技术，尤其适用于解析解难以直接求得的情况。下面逐步展开讲解。 --- ### 1. **矩的基本概念回顾** **矩**是描述随机变量分布特征的数字指标。对于随机变量 \(X\)，其 \(k\) 阶原点矩定义为 \(\mathbb{E}[X^k]\)，一阶矩即均值 \(\mu\)，二阶中心矩为方差 \(\si

2025-11-09 02:25:38

随机变量的变换的Mellin变换方法

**随机变量的变换的Mellin变换方法** 1. **基本概念引入** Mellin变换是积分变换的一种形式，对于非负随机变量 \( X \) 的概率分布研究具有重要作用。其定义如下：若 \( X \) 为非负随机变量，其概率密度函数为 \( f_X(x) \)，则 Mellin 变换 \( M_X(s) \) 定义为： \[ M_X(s) = \mathbb{E}[X^{s-1}] = \int_0^{\infty} x^{s-1} f_X(x) \, dx, \]

2025-11-09 01:16:54

随机规划中的序贯随机拟蒙特卡洛方法

**随机规划中的序贯随机拟蒙特卡洛方法** 1. **基本概念引入** 序贯随机拟蒙特卡洛方法是一种结合了**拟蒙特卡洛**的低偏差采样和**序贯蒙特卡洛**的动态采样机制的数值技术，用于求解随机规划中涉及高维积分或动态决策的问题。其核心思想是：通过确定性低差异序列（如Sobol序列、Halton序列）替代传统蒙特卡洛的随机采样，在序贯决策过程中更高效地逼近期望目标函数或风险约束。 2. **拟蒙特卡洛的底层原理** - 传统蒙特卡洛使用伪随机数，样本分布可能存在聚类或间

2025-11-09 00:13:51

数值双曲型方程的计算量子力学应用

**数值双曲型方程的计算量子力学应用** 计算数学在量子力学中的应用主要涉及求解描述量子系统演化的偏微分方程，如薛定谔方程。这类方程具有双曲型特征，其数值解法需兼顾量子力学的基本性质（如概率守恒、幺正性）和数值稳定性。以下将循序渐进地介绍其核心概念与方法。 ### 1. **量子力学中的双曲型方程基础** 量子系统的演化由**含时薛定谔方程**描述： \[ i\hbar \frac{\partial \psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = \ha

2025-11-08 23:20:29

随机变量的变换的S变换方法

**随机变量的变换的S变换方法** 我们将循序渐进地学习“随机变量的变换的S变换方法”。这个方法主要用于分析随机变量（特别是其和或加权和）的分布。 **第一步：理解核心问题——随机变量之和的分布** 假设我们有两个相互独立的随机变量 \( X \) 和 \( Y \)，它们的概率密度函数（PDF）分别为 \( f_X(x) \) 和 \( f_Y(y) \)。我们想知道它们的和 \( Z = X + Y \) 的分布。一个经典的求解方法是使用卷积公式： \[ f_Z(z) = (f_X

2025-11-08 22:59:05

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