数值双曲型方程的计算声学应用中的边界元方法
计算声学旨在通过数值手段模拟声波的传播、散射和辐射现象。这类问题常由双曲型偏微分方程（如波动方程）描述。边界元方法（Boundary Element Method, BEM）是一种基于积分方程的技术，特别适用于计算声学中的无界域问题（如开放空间中的声场），因为它能自然满足远场辐射条件。
1. 波动方程与边界积分公式
声波在均匀介质中的传播由波动方程描述：
\[\nabla^2 p - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0, \]
其中 \(p\) 为声压，\(c\) 为波速。通过傅里叶变换将时间域转换为频率域，得到亥姆霍兹方程：
\[\nabla^2 p + k^2 p = 0, \quad k = \frac{\omega}{c}, \]
\(k\) 为波数，\(\omega\) 为角频率。边界元方法的核心是将亥姆霍兹方程转化为边界积分方程。利用格林函数（自由场基本解）：
\[G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \frac{e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}, \]
通过格林第二恒等式，将域内声压表示为边界上的积分：
\[p(\mathbf{r}) = \int_{\partial \Omega} \left[ G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') \frac{\partial p}{\partial n} - p(\mathbf{r}') \frac{\partial G}{\partial n} \right] dS', \]
其中 \(\partial \Omega\) 为边界，\(\frac{\partial}{\partial n}\) 表示法向导数。
2. 离散化与线性系统构建
边界元方法仅需对边界进行离散化（如使用三角或四边形单元），显著降低问题维度。在边界上离散积分方程：
- 将边界划分为 \(N\) 个单元，在每个单元上假设声压 \(p\) 和法向速度 \(v_n = \frac{\partial p}{\partial n}\) 为常数或线性变化。
- 通过配置点法（如将节点取为单元中心或顶点），将积分方程转化为线性系统：
\[\mathbf{H} \mathbf{p} = \mathbf{G} \mathbf{v}_n, \]
其中 \(\mathbf{H}, \mathbf{G}\) 为稠密矩阵，元素由格林函数及其法向导数的积分计算得到。
3. 奇异性处理与数值积分
格林函数在 \(\mathbf{r} = \mathbf{r}'\) 时具有奇异性，需特殊处理：
- 弱奇异积分（如 \(1/r\) 型奇异性）：采用极坐标变换或专用高斯积分公式。
- 强奇异积分（如 \(1/r^2\) 型）：通过刚体运动法或极限逼近技术避免直接计算。
4. 频域与时域边界元方法
- 频域BEM：直接求解亥姆霍兹方程，适用于稳态声场分析（如固定频率的声辐射）。
- 时域BEM：通过卷积积分直接求解时间域波动方程，需处理时空因果关系和数值稳定性问题（如采用时间步进算法）。
5. 计算声学中的优势与挑战
优势：
- 自动满足远场辐射条件，无需人工截断计算域。
- 高精度模拟复杂几何边界上的声散射（如汽车、飞机舱室噪声）。
挑战： - 矩阵稠密性导致存储和计算成本为 \(O(N^2)\)，需结合快速多极子方法（FMM）加速。
- 高频问题时需加密网格（通常要求单元尺寸 \(\leq \lambda/6\)，\(\lambda\) 为波长），计算量剧增。
6. 应用案例
- 声学隐身设计：通过边界元优化表面阻抗，减少目标声散射。
- 环境噪声预测：模拟城市建筑群中的噪声传播路径。
- 医学超声：计算人体组织边界上的声场分布，用于治疗规划。
通过边界元方法，计算声学能够高效处理开放域中的波传播问题，并结合模型降阶、快速算法等进一步拓展其应用范围。