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**迭代法** 1. **基本概念：从“猜”答案说起** 想象一下，你需要解一个方程，比如 x³ - x - 1 = 0。你很难直接找到一个精确的解。迭代法的核心思想是：我们先“猜”一个近似的答案（称为初始近似值），然后通过一个固定的、可以重复执行的步骤（称为迭代格式），用这个近似值去计算出一个新的、更精确的近似值。接着，再用这个新值去计算下一个，如此反复，就像一步一步地逼近最终目标。 2. **核心要素：如何“猜”得更好** 一个迭代方法包含三个关键部分： *

2025-10-26 00:42:23

马尔可夫链

**马尔可夫链** 我们来学习概率论中一个描述“记忆缺失”随机过程的重要概念：马尔可夫链。 **第一步：核心思想——马尔可夫性** 想象一个系统，它随着时间在多个可能的状态间切换。比如，每天的天气可以是“晴”、“阴”、“雨”三种状态之一。马尔可夫链的核心特性叫做“马尔可夫性”或无记忆性。它的定义是： **系统在下一时刻的状态，只依赖于当前时刻的状态，而与过去的历史状态无关。** 用数学语言表达就是：设 `X_n` 表示系统在时刻 `n` 的状态。那么，对于任何时刻 `n` 和任何可能的

2025-10-25 22:19:41

偏微分方程数值解

**偏微分方程数值解** **1. 偏微分方程基础** 偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是包含未知函数及其偏导数的方程。它用于描述自然界中连续介质的变化规律，例如流体流动、热传导、电磁场等。一个PDE的一般形式为： \[ F(x_1, ..., x_n, u, \frac{\partial u}{\partial x_1}, ..., \frac{\partial u}{\partial x_n}, \frac{\partial^2 u}{\p

2025-10-25 21:58:51

网络流问题

**网络流问题** 网络流问题是研究如何在一个有向图中优化某种流体的传输。我们可以从最基础的概念开始。首先，想象一个有向图，它由一些节点（比如城市）和连接这些节点的有向边（比如单向道路）组成。其中有两个特殊的节点：一个称为“源点”，代表流的起点（比如水库）；另一个称为“汇点”，代表流的终点（比如用户集中的地方）。每条有向边都有一个“容量”，表示这条边所能允许通过的最大流量（比如道路的通行能力）。网络流问题的核心目标是，在不超过每条边容量的前提下，找出从源点到汇点的最大可能流量。这就是最

2025-10-25 20:34:28

**对偶理论** 1. **基本概念** 对偶理论是线性规划的核心内容之一，它指出每一个线性规划问题（称为**原问题**）都对应一个与之密切相关的另一个线性规划问题（称为**对偶问题**）。原问题与对偶问题在数学模型、解的性质和经济解释上存在紧密联系。例如，若原问题是最大化目标函数，则对偶问题通常是最小化目标函数，且约束条件与原问题的变量方向相反。 2. **数学模型的对偶关系** 考虑标准形式的原问题： \[ \begin{align*} \tex

2025-10-25 19:52:27

**条件期望** 1. **基本概念：从条件概率到条件期望** 首先，我们回顾一下条件概率。事件A在事件B发生的条件下的概率，记为 P(A|B)，其公式为 P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。这个公式量化了在已知部分信息（B发生）后，我们对事件A发生可能性的重新评估。现在，我们将这个“在已知条件下重新评估”的思想应用到随机变量的平均值上。随机变量X的期望值E(X)是其所有可能取值以其概率为权重的加权平均，代表了X的“平均”水平或长期中心值。条件期望，

2025-10-25 17:13:31

中心极限定理

**中心极限定理** 首先，我们来理解中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）要解决的核心问题。在现实生活中，我们经常需要研究一些随机变量，比如一个城市所有成年人的身高、一批灯泡的使用寿命，或者一次调查中的评分。这些随机变量的总体分布可能是任意的，不一定是标准的正态分布。中心极限定理则告诉我们，无论总体的原始分布形状如何，当我们从总体中反复抽取样本，并计算这些样本的平均值时，这些样本平均值的分布会呈现出一种惊人的规律性。为了让你彻底理解，我们分步进行： **第

2025-10-25 17:08:09

**数值积分** 数值积分是计算数学中用于近似计算定积分值的一类方法。当被积函数的原函数难以用初等函数表示，或者被积函数本身没有解析表达式（仅由实验测量数据点给出）时，数值积分方法就显得尤为重要。 **1. 基本思想：从离散到连续** 定积分的几何意义是函数曲线与x轴所围成的曲边梯形的面积。数值积分的基本思想，就是将这个连续的曲边梯形分割成许多个容易计算面积的小曲边梯形（或其它简单图形），然后用这些小图形的面积之和来近似整个积分值。具体来说，首先在积分区间 [a, b] 上插入一系列点

2025-10-25 16:41:43

**整数规划** 1. **基本概念** 整数规划是数学规划的一个重要分支，其核心特点是要求全部或部分决策变量的取值为整数。在标准的线性规划问题中，决策变量可以取任何实数。然而，在实际问题中，很多决策对象是不可分割的，例如需要安排多少台机器、派遣多少名员工、在某个地点是否建厂（是或否，对应0或1），这些都需要整数解。整数规划就是在包含线性约束条件和线性目标函数的基础上，增加了变量的整数性约束。 2. **问题分类** 根据整数性约束的范围，整数规划主要分为两类： * *

2025-10-25 16:31:14

**线性规划** 线性规划是运筹学中研究最早、发展最成熟、应用最广泛的一个分支。它主要研究在**一组线性约束条件**下，如何找到**一个线性目标函数**的**最大值**或**最小值**问题。简单来说，就是在某些限制条件下，寻找最优的决策方案。为了让您清晰地理解，我们将按照以下步骤展开： ### 第一步：核心组成部分任何一个线性规划问题都包含三个不可或缺的要素： 1. **决策变量**：这是我们需要寻找的未知数，通常用 \( x_1, x_2, ..., x_n \) 表示。它们代

2025-10-25 16:09:50

**大数定律** 我们先从一个简单的例子开始。想象一下，你有一枚均匀的硬币，正面和反面出现的概率都是50%。如果你只抛10次，可能会出现7次正面、3次反面，正面出现的频率是70%，这和50%的理论概率相差很大。但如果你抛1000次、10000次，甚至一百万次，你会发现正面出现的频率会越来越接近50%。这种“频率稳定性”的直觉，就是大数定律的核心思想。 **第一步：核心概念——频率的稳定性** 大数定律描述的是大量重复随机试验的结果所呈现出的稳定性。它告诉我们，随着试验次数（通常用 n 表示

2025-10-25 16:04:28

鞅（Martingale）

好的，我们开始学习一个新的词条：**鞅（Martingale）**。鞅是概率论中描述“公平游戏”的一个核心概念，它在随机过程理论、金融数学和统计分析中有着极其重要的应用。我们将从最基本的概念开始，逐步深入。 ### 步骤一：直观理解——“公平游戏” 想象一个简单的赌博游戏，比如抛一枚均匀的硬币（正反面概率各为50%）。你每次下注1元猜正面： - 猜对了，你赢1元。 - 猜错了，你输1元。这个游戏的关键特性是“公平性”。无论你玩了多久，也无论你之前的输赢情况如何，你下一局游戏的**期望

2025-10-24 09:23:39

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