数值积分 数值积分是计算数学中用于近似计算定积分值的一类方法。当被积函数的原函数难以用初等函数表示，或者被积函数本身没有解析表达式（仅由实验测量数据点给出）时，数值积分方法就显得尤为重要。 1. 基本思想：从离散到连续 定积分的几何意义是函数曲线与x轴所围成的曲边梯形的面积。数值积分的基本思想，就是将这个连续的曲边梯形分割成许多个容易计算面积的小曲边梯形（或其它简单图形），然后用这些小图形的面积之和来近似整个积分值。 具体来说，首先在积分区间 [ a, b ] 上插入一系列点，称为“节点”： a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < xₙ = b 这样就将区间分成了 n 个子区间。然后，在每个子区间上，用一个简单的函数（通常是多项式）来近似代替被积函数 f(x)。因为简单函数的积分很容易计算，所以我们可以得到每个子区间上积分的近似值。最后，将所有子区间上的近似积分值加起来，就得到了整个定积分的近似值。 2. 插值型求积公式的构建 最常用的一类数值积分公式是“插值型求积公式”。其构建步骤如下： 步骤一：多项式插值 在选定的节点 x₀, x₁, ..., xₙ 上，构造一个 n 次插值多项式 Pₙ(x)，使得 Pₙ(x) 在这些节点上的函数值与 f(x) 相等，即 Pₙ(xᵢ) = f(xᵢ) (i=0,1,...,n)。 步骤二：用插值多项式近似被积函数 我们用这个简单的多项式 Pₙ(x) 来近似复杂的被积函数 f(x)，即 f(x) ≈ Pₙ(x)。 步骤三：计算近似积分 将近似关系代入定积分： I = ∫[a,b] f(x) dx ≈ ∫[a,b] Pₙ(x) dx 步骤四：得到求积公式 可以证明，积分 ∫[a,b] Pₙ(x) dx 可以表示为节点处函数值 f(xᵢ) 的线性组合： ∫[a,b] Pₙ(x) dx = Σ [i=0 到 n] Aᵢ f(xᵢ) 其中，系数 Aᵢ 被称为“求积系数”，它只与节点位置有关，而与函数 f(x) 的具体形式无关。这个公式就是最基本的插值型求积公式。 3. 一个简单而重要的例子：梯形公式 这是当 n=1（即只取区间两个端点 a 和 b 作为节点）时的情况。 节点 ： x₀ = a , x₁ = b 插值多项式 ：过点 (a, f(a)) 和 (b, f(b)) 的直线（一次多项式）。 几何意义 ：用梯形的面积来近似曲边梯形的面积。 公式推导 ： 这个梯形的面积为： 面积 = (上底 + 下底) * 高 / 2 = [f(a) + f(b)] * (b - a) / 2 因此，梯形公式为： ∫[a,b] f(x) dx ≈ (b - a)/2 * [f(a) + f(b)] 4. 提高精度：复合求积公式 简单的梯形公式在区间较大时误差可能很大。为了提高精度，我们很自然地想到先将大区间细分，然后在每个小区间上应用简单的积分公式，最后求和。这就是“复合求积公式”的思想。 复合梯形公式 ： 将区间 [ a, b] 等分为 n 个小区间，每个小区间长度为 h = (b-a)/n。节点为 xᵢ = a + i*h (i=0,1,...,n)。 在每个小区间 [ xᵢ, xᵢ₊₁ ] 上应用梯形公式，然后将所有结果相加： ∫[a,b] f(x) dx ≈ h/2 * [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + ... + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)] 这个公式就像把整个曲边梯形分割成很多个小梯形后再求和，精度比单一梯形公式显著提高。 5. 衡量方法好坏：误差与代数精度 如何判断一个数值积分公式的优劣？两个关键指标是： 截断误差 ：近似值与真实积分值之间的差距。对于插值型求积公式，其误差通常与步长 h 的某次幂成正比，记为 O(hᵏ)。k 越大，意味着当步长减半时，误差会以更快的速度减小，方法越好。 代数精度 ：一个数值积分公式如果能对次数不超过 m 的所有多项式都精确成立（即误差为零），而对 m+1 次多项式不精确成立，则称该公式具有 m 次代数精度。代数精度越高，公式逼近复杂函数的能力一般越强。例如，梯形公式具有 1 次代数精度。 通过以上步骤，我们从最基本的几何概念出发，逐步构建了数值积分的基本框架，并介绍了最简单实用的方法及其改进策略和评价标准。