爱豆文档 - 信息安全文档下载平台 - idocdown.com （部分文档，免费下载）

. . . . . .

数值双曲型方程的特征线法

**数值双曲型方程的特征线法** 特征线法是求解双曲型偏微分方程的一种基础且重要的解析与数值技术。其核心思想是利用双曲型方程的内在特性，将偏微分方程转化为沿特定曲线（即特征线）上的常微分方程来求解。这种方法不仅能提供清晰的物理图像（如描述波传播的路径），还能构造出高精度的数值格式。 **第一步：理解双曲型方程与特征的概念** 1. **双曲型方程**：最简单的例子是一维线性对流方程： \[ \frac{\partial u}{\partial t} + a \frac{\

2025-10-31 21:14:05

随机变量的分位数函数

**随机变量的分位数函数** 1. **基本概念：从分位数到分位数函数** 首先，我们回顾一下分位数的概念。对于一个随机变量 \(X\)，它的 \(p\) 分位数（其中 \(p\) 是一个介于0和1之间的数，即 \(p \in (0, 1)\)）是一个数值，记作 \(q_p\)。这个数值满足随机变量 \(X\) 的值小于或等于 \(q_p\) 的概率至少为 \(p\)，同时其值大于或等于 \(q_p\) 的概率至少为 \(1-p\)。更精确的数学定义为： \[ P(X

2025-10-31 20:15:36

**次梯度法** 1. **基本概念与动机** 在凸优化中，梯度下降法要求函数可微，但实际问题中许多凸函数不可微（如L1范数、最大值函数）。次梯度法扩展了梯度概念，用于解决不可微凸函数的优化问题。次梯度定义为：若函数 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是凸函数，则向量 \( g \in \mathbb{R}^n \) 是 \( f \) 在点 \( x \) 的次梯度，当且仅当对所有 \( y \) 满足 \[ f(y) \ge

2025-10-31 19:33:25

最优解的最优性条件

**最优解的最优性条件** 我们先从最优解的基本概念开始。一个优化问题的最优解是指在该问题的可行域内，能够使目标函数取得最小值（或最大值）的点。最优性条件则是用来判断和描述一个点是否为最优解的一系列准则。这些条件为我们设计算法和验证解的最优性提供了理论基础。第一步，我们考虑最简单的情况：无约束优化问题。其数学形式为 min f(x)，其中 x ∈ Rⁿ。假设函数 f 是可微的。如果一个点 x* 是局部最优解，那么在该点处，目标函数 f 的梯度必须为零，即 ∇f(x*) = 0。这个条件被称

2025-10-31 18:24:31

**代理成本** 代理成本是运筹学中研究委托-代理关系所产生额外成本的一个概念。当一方（委托人）委托另一方（代理人）执行某项任务时，由于双方目标不一致和信息不对称，会产生利益冲突和效率损失，这些损失的总和即为代理成本。 **1. 基本概念与问题背景** * **委托-代理关系**：这是一种契约关系，其中委托人（如企业所有者）雇佣或授权代理人（如职业经理人）来代表其执行任务和进行决策。 * **核心问题**：委托人和代理人的**目标通常不一致**。委托人追求自身利益最大化（如股东财富最

2025-10-31 17:42:25

数值双曲型方程的有限元法

**数值双曲型方程的有限元法** 有限元法是一种功能强大的数值技术，用于求解由偏微分方程描述的物理问题。它尤其擅长处理复杂的几何区域。我们将从最基础的概念开始，逐步深入到如何将其应用于双曲型方程。 1. **基本概念：从强形式到弱形式** 偏微分方程最初的形式，例如守恒律方程 ∂u/∂t + ∂f(u)/∂x = 0，被称为**强形式**。它要求解在每一点都满足方程。有限元法的第一步是将这个强形式转化为**弱形式**。弱形式通过降低对解的光滑性要求，为数值方法打开了大门。

2025-10-31 16:44:29

数值双曲型方程的时间积分方法

**数值双曲型方程的时间积分方法** 1. **基本概念** 时间积分方法专注于求解双曲型方程中时间变量的离散化。考虑一维线性双曲方程： \[ \frac{\partial u}{\partial t} + a \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \] 其中 \(a\) 为常数波速。在空间离散（如有限差分法）后，方程转化为常微分方程组： \[ \frac{d\mathbf{u}}{dt} = \mathb

2025-10-31 16:18:05

数值双曲型方程的间断有限元方法

**数值双曲型方程的间断有限元方法** 1. **基本概念与动机** 间断有限元方法是一种结合有限元法和有限体积法特点的数值方法，尤其适用于求解双曲型守恒律方程（如流体力学中的欧拉方程）。其核心思想是：在单元局部使用高阶多项式逼近解，但允许单元间的解出现间断，通过数值通量处理间断处的信息传递。与传统连续有限元相比，DG方法天然适合捕捉激波等间断解，且易于实现并行计算。 2. **方法的核心步骤** - **区域离散与函数空间**：将计算区域划分为互不重叠的单元（如一维区间

2025-10-31 16:12:50

马尔可夫链

**马尔可夫链** **1. 基础概念** 马尔可夫链是一种描述系统状态随时间演变的随机过程，其核心特性是**马尔可夫性**：系统下一时刻的状态仅取决于当前状态，而与过去状态无关。数学表示为： \[ P(X_{t+1} = x_{t+1} \mid X_t = x_t, X_{t-1} = x_{t-1}, \dots, X_0 = x_0) = P(X_{t+1} = x_{t+1} \mid X_t = x_t) \] 其中 \(X_t\) 表示时刻 \(t\) 的状态，状

2025-10-31 15:41:00

机会约束规划

**机会约束规划** 机会约束规划是处理含有随机参数的优化问题的一种方法，其核心思想是要求约束条件以一定的概率成立，而不是绝对成立。这对于存在不确定性的现实问题建模非常有用。 1. **基本概念与动机** * 在许多实际优化问题中（如供应链管理、金融投资），模型的某些参数（如产品需求、资产收益率）是随机变量，而非确定值。 * 如果我们要求约束条件对于这些随机变量的所有可能取值都成立，可能会得到一个非常保守甚至无解的方案。例如，要求库存量永远不低于一个极高波动的需求，

2025-10-31 11:59:46

数值双曲型方程的谱方法

**数值双曲型方程的谱方法** 谱方法是求解偏微分方程的一类高精度数值方法，特别适用于光滑解问题。其核心思想是用全局光滑函数（如三角函数、正交多项式）的线性组合来逼近解。下面逐步展开说明： --- ### 1. **基本思想：从有限维逼近出发** 与有限差分法或有限元法不同，谱方法不依赖局部离散网格，而是将解展开为一系列基函数的全局和： \[ u_N(x) = \sum_{k=0}^{N} a_k \phi_k(x) \] 其中 \(\phi_k(x)\) 是选定的基函数（如傅

2025-10-31 11:49:26

最优性条件的积极约束与正则性

**最优性条件的积极约束与正则性** 我们先从约束优化问题的基本形式开始。考虑问题： \[ \begin{aligned} \min_{x} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ & h_j(x) = 0, \quad j = 1, \dots, p, \end{aligned} \] 其中 \(f, g_i, h_j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)

2025-10-31 11:33:24

跳转到页