数值双曲型方程的间断有限元方法

1. 基本概念与动机
   间断有限元方法是一种结合有限元法和有限体积法特点的数值方法，尤其适用于求解双曲型守恒律方程（如流体力学中的欧拉方程）。其核心思想是：在单元局部使用高阶多项式逼近解，但允许单元间的解出现间断，通过数值通量处理间断处的信息传递。与传统连续有限元相比，DG方法天然适合捕捉激波等间断解，且易于实现并行计算。

2. 方法的核心步骤

   • 区域离散与函数空间：将计算区域划分为互不重叠的单元（如一维区间、二维三角形）。在每个单元内，解用局部多项式（如Legendre多项式）逼近，多项式阶数决定精度。单元间无需连续性约束。
   • 弱形式构建：对守恒律方程 \(\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{f}(u) = 0\) 在单元上乘以测试函数 \(\phi\)，分部积分后得到弱形式。由于解间断，通量项 \(\mathbf{f}(u)\) 在单元边界处被替换为数值通量（如Lax-Friedrichs、HLLC通量），依赖相邻单元的解值。
   • 时间离散：空间离散后得到常微分方程组，通常采用强稳定性保持的Runge-Kutta方法（SSP-RK）推进时间步，确保非线性稳定性。

3. 数值通量的关键作用
   数值通量是DG方法的稳定性保障，它通过近似Riemann解处理单元界面的信息流动。例如，Lax-Friedrichs通量定义为：

\[ \hat{\mathbf{f}}(u^-, u^+) = \frac{1}{2} [\mathbf{f}(u^-) + \mathbf{f}(u^+) - \alpha (u^+ - u^-)] \]

其中 \(u^-, u^+\) 分别为界面两侧解值，\(\alpha\) 为局部波速上界。这种设计抑制非物理振荡，并满足熵条件。

4. 限制器与高阶精度保持
   在激波附近，高阶多项式可能产生Gibbs振荡。DG方法通过斜率限制器（如MUSCL限制器）或加权基本无振荡限制器（WENO）局部降低阶数，保持解单调性。对于光滑区域，则保留高阶精度，实现“高分辨率-无振荡”的平衡。

5. 优势与挑战

   • 优势：高精度、易于自适应加密（hp自适应）、并行效率高。
   • 挑战：计算成本随多项式阶数增长，限制器设计对复杂问题仍具难度。近年发展中的隐式DG方法和杂交DG方法正致力于提升计算效率。