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**泊松过程** 好的，我们开始学习“泊松过程”。这是一个在概率论中用于建模随机事件在时间或空间中发生次数的经典随机过程。我们将从最基础的概念开始，逐步深入。 ### 第一步：核心思想与直观理解想象一个场景：你正在观察一个服务台，比如银行的柜台或客服热线。客户到达的时间是完全随机的，没有固定的模式。你想研究在任意一段时间内（比如10分钟），有多少客户会到达。 **泊松过程就是用来描述这类“随机事件流”的数学模型。** 它的核心特征是：事件的发生是**独立**且**以恒定平均速率**发生

2025-11-01 22:04:22

近似动态规划

**近似动态规划** 1. **基本概念** 近似动态规划是解决高维或复杂随机动态规划问题的计算方法论。传统动态规划在状态空间较大时面临"维数灾难"，即计算和存储成本随维度指数增长。ADP通过近似值函数或策略来降低计算负担，其核心思想是用参数化函数（如线性模型、神经网络）逼近真实值函数，从而在可承受的计算成本下得到近似最优策略。 2. **值函数逼近** ADP的关键步骤是构建值函数近似 \(\tilde{V}(s, \theta)\)，其中 \(s\) 为状态，\(\theta\)

2025-11-01 20:24:26

增广拉格朗日法

**增广拉格朗日法** 增广拉格朗日法是一种求解约束优化问题的数值算法。它结合了拉格朗日乘子法的思想（通过引入乘子将约束问题转化为无约束问题）和罚函数法的思想（通过在目标函数中添加约束违反的惩罚项来迫使迭代点趋向可行域），旨在克服单纯罚函数法可能遇到的数值困难（如病态条件）以及拉格朗日乘子法在无约束子问题求解上的不稳定性。 **第一步：问题背景与动机** 考虑如下等式约束优化问题： \[ \begin{aligned} \min_{\mathbf{x}} \quad & f(\mathbf

2025-11-01 20:19:18

数值双曲型方程的边界条件处理

**数值双曲型方程的边界条件处理** 数值双曲型方程的边界条件处理是计算数学中一个至关重要的环节。双曲型方程描述的是以有限速度传播的波动或对流现象，其解的特性强烈依赖于边界条件的正确施加。一个不恰当的边界处理会立即污染整个计算域的解，导致计算失败。下面我们循序渐进地学习其核心知识。 **第一步：理解双曲型方程的特征理论** 1. **核心概念：特征线**。双曲型方程的解沿着特定的曲线（特征线）传播信息。对于线性方程组，特征线的方向由系统的特征值决定。例如，一维线性双曲方程组 `U_t +

2025-11-01 19:10:44

数值双曲型方程的拟线性与非线性理论

**数值双曲型方程的拟线性与非线性理论** **1. 基本概念：从线性到非线性** 数值双曲型方程可分为线性、拟线性与非线性的。线性方程（如波动方程）的解具有叠加性，系数与解无关；拟线性方程中，系数依赖于解但最高阶导数仍为线性（例如 \(u_t + u u_x = 0\)）；非线性方程则可能包含解的高阶非线性项（如守恒律方程 \(u_t + f(u)_x = 0\)，其中 \(f(u)\) 非线性）。非线性问题的核心挑战是解可能产生间断（激波）或稀疏波，需引入弱解概念。 **2.

2025-11-01 17:19:58

半无限规划

**半无限规划** 半无限规划（Semi-Infinite Programming, SIP）是数学规划的一个分支，它研究的是决策变量有限维，但约束条件无限多个的优化问题。其一般形式为： \[ \min f(x) \quad \text{s.t.} \quad g(x, y) \leq 0, \ \forall y \in Y, \] 其中 \( x \in \mathbb{R}^n \) 是决策变量，\( Y \) 是一个无限集合（如区间或紧集）。这类问题常见于工程设计、经济模型和鲁棒优化中

2025-11-01 14:47:02

随机变量的条件概率与条件分布

**随机变量的条件概率与条件分布** 我们来探讨随机变量理论中一个核心概念：条件概率与条件分布。这个概念是理解随机变量之间依赖关系的基础。 **第一步：从事件的条件概率到随机变量的条件分布** 1. **回顾事件的条件概率**：首先，我们回忆一下两个事件A和B的条件概率定义为 P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，前提是P(B) > 0。这个公式量化了在已知事件B发生的条件下，事件A发生的可能性。 2. **引入随机变量**：现在，我们将事件的概念推广到随机变量。考虑两个随机

2025-11-01 13:49:39

随机占线问题

**随机占线问题** **第一步：基本概念与问题背景** 随机占线问题研究决策者在信息不完全的情况下，面对按随机顺序到达的请求序列，需即时决定是否接受当前请求（占用资源），且无法回溯更改已拒绝的请求。其核心特征是"占线"性：决策者必须在未知未来请求信息时做出不可逆选择。典型例子包括： - **租房问题**：房东需在连续多天内决定是否接受当前租客报价，拒绝后该报价失效。 - **秘书问题**：从随机顺序面试的候选人中选择最佳者，拒绝后无法召回。 - **资源分配**：服务器需实时接受或拒绝随机到

2025-11-01 13:02:14

近似动态规划

**近似动态规划** 我将为您系统讲解近似动态规划（Approximate Dynamic Programming, ADP）这一解决高维动态规划问题的核心方法。 **1. 动态规划的"维数灾难"问题** 动态规划（DP）通过贝尔曼方程（Bellman equation）来求解多阶段决策问题的最优策略。其核心是价值函数（value function），表示从某个状态开始所能获得的最大期望总回报。传统DP算法（如值迭代、策略迭代）需要遍历所有状态并计算其精确价值函数。然而，当状态变量维度较高时

2025-11-01 11:00:42

数值双曲型方程的迎风方法

**数值双曲型方程的迎风方法** 1. **基本概念与动机** 迎风方法是一种专门用于求解双曲型偏微分方程的数值离散技术。其核心思想源于双曲型方程的一个关键物理特性：信息沿特征线传播。对于线性方程，信息传播方向由方程中的对流速度（或波速）决定。迎风方法的基本动机是：在离散微分算子时，差分格式应该反映信息传播的物理方向。具体而言，在空间某一点的导数离散，应该使用位于该点"上游"（即信息传来的方向）的节点值，而不是简单地使用中心差分。这样做可以增强数值格式的稳定性，并更好地捕捉解的物理行

2025-11-01 08:53:38

马尔可夫链的耦合方法

**马尔可夫链的耦合方法** 耦合方法是一种分析马尔可夫链收敛性的重要技术，其核心思想是通过构造两个或多个具有相同转移概率但初始状态不同的马尔可夫链，并让它们在某个时刻后保持一致，从而研究原链的收敛速度和平稳分布性质。 ### 1. **基本定义与直观理解** - **耦合**：设 \( X_n \) 和 \( Y_n \) 是两个定义在同一概率空间上的马尔可夫链，且均服从相同的转移概率矩阵 \( P \)。若存在一个随机时间 \( T \)（称为耦合时间），使得对所有 \( n

2025-11-01 08:01:01

投影梯度法

**投影梯度法** 投影梯度法是一种用于求解约束优化问题的迭代算法，特别适用于约束集具有简单几何结构（如闭凸集）的情况。其核心思想是将标准的梯度下降步骤与一个投影操作相结合，确保每次迭代后的解都落在可行域内。 1. **问题背景与基本思想** * 考虑一个带约束的优化问题：minimize f(x)，满足 x ∈ C，其中 C 是一个闭凸集（例如，一个盒子约束、一个仿射空间、一个概率单纯形等）。 * 如果我们直接对 f(x) 使用梯度下降法：x_{k+1} = x_

2025-11-01 07:55:45

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