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随机规划中的分布鲁棒优化

**随机规划中的分布鲁棒优化** 分布鲁棒优化是随机规划的一个分支，它处理的是当随机变量的概率分布不完全已知，而是属于一个不确定集合（称为模糊集或ambiguity set）时的决策问题。与传统的随机规划假设分布已知，或鲁棒优化只考虑有界不确定性不同，DRO寻求在模糊集内最坏可能分布下的最优决策，从而为分布不确定性提供一种稳健性保证。 1. **核心思想与动机** * **问题根源**：在经典随机规划中，我们通常假设随机参数的概率分布是精确已知的。然而，现实中，分布往往需要通过

2025-11-05 03:08:59

随机规划中的序贯决策与学习

**随机规划中的序贯决策与学习** **1. 基本概念引入** 序贯决策与学习是随机规划中处理动态不确定性问题的核心方法。它研究决策者如何在多个阶段中，基于逐步获得的信息调整策略，以优化长期目标。例如，在资源分配或投资计划中，决策者需根据实时观测的数据（如市场需求、价格波动）不断更新行动。与静态随机规划不同，序贯决策强调“决策-观测-学习-再决策”的循环过程。 **2. 核心要素与建模框架** 问题通常建模为多阶段随机规划，包含以下要素： - **决策阶段**：时间被离散为

2025-11-05 01:48:44

随机变量的混合分布

**随机变量的混合分布** 我们来学习随机变量的混合分布。这个概念描述的是，一个随机变量的分布是由多个其他分布“混合”而成的。我会从基本概念开始，逐步深入到它的性质和应用。 **第一步：理解混合分布的基本思想** 想象一个场景：我们有一个装有两种不同颜色小球（红球和蓝球）的袋子。但红球和蓝球来自两个不同的工厂，每个工厂生产的小球重量分布不同。现在我们执行以下操作： 1. 首先，随机选择一个工厂（比如，有60%的概率选择工厂A，40%的概率选择工厂B）。 2. 然后，从被选中的工厂生产的

2025-11-05 01:17:19

数值双曲型方程的计算守恒性

**数值双曲型方程的计算守恒性** 计算守恒性是数值方法，特别是用于求解双曲型守恒律方程的方法，所追求的一个关键数学性质。它要求数值格式在离散层面上严格保持原物理守恒律的积分形式。 1. **基本概念：物理守恒律的积分形式** 许多物理过程，如流体力学、电磁学、波传播，都遵循守恒律，其一般形式可写为偏微分方程（PDE）： \[ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{F}(\math

2025-11-05 00:50:42

随机规划中的风险共享与合作博弈

**随机规划中的风险共享与合作博弈** 我们先从随机规划的基本概念说起。随机规划是处理含有随机变量的优化问题的分支。在实际中，多个决策者（称为“参与者”）可能共同面临一个不确定的环境，他们的决策会相互影响，并且不确定性会给他们带来风险。这就自然地引入了“风险共享”的概念。 **第一步：理解风险共享** 想象一下，有几个农民，他们的收成都依赖于不确定的天气。如果一个农民的庄稼歉收，他将面临巨大的经济损失。风险共享就是一种机制，允许这些农民之间达成协议，例如，在收成好的年份，收成好的农民补贴收成

2025-11-04 23:25:43

数值双曲型方程的计算浅水波应用

**数值双曲型方程的计算浅水波应用** 好的，我们开始学习“数值双曲型方程的计算浅水波应用”这个词条。浅水波方程是计算数学中一个极其重要的应用模型，它完美地体现了双曲型方程的核心特性，并为理解更复杂的流体动力学问题提供了基础。 ### 第一步：理解物理背景——什么是浅水波？想象一个广阔但水很浅的区域，比如湖泊、近海或 tsunami（海啸）传播的深海区域。在这些情况下，水的深度远小于其水平尺度。浅水波理论的核心假设是：水体的压力分布近似于静水压力，这意味着水粒子主要做水平运动，垂直方向的

2025-11-04 23:04:26

**代理优化** 代理优化是一种基于模型的最优化方法，适用于目标函数或约束函数计算成本高昂、存在噪声或难以求导的复杂优化问题。其核心思想是：构建一个计算成本较低的代理模型（或称元模型、响应面模型）来近似真实函数，通过在该代理模型上进行优化来指导对真实函数的评估，从而以较少的真实函数评估次数找到高质量的解。 **1. 基本思想与动机** 在许多工程和科学领域（如飞机机翼设计、仿真模型参数标定），一次真实的目标函数评估可能需要运行耗时数小时甚至数天的物理实验或高保真计算机仿真。直接应用传统的迭代

2025-11-04 22:48:19

随机规划中的分布鲁棒优化

**随机规划中的分布鲁棒优化** 分布鲁棒优化是随机规划的一个分支，它处理的是目标函数或约束中涉及随机变量，但该随机变量的概率分布并非完全已知，而是属于一个预先指定的不确定集合（称为模糊集）的优化问题。其目标是在最坏的分布下寻求最优决策，从而对分布的不确定性具有鲁棒性。 1. **基本概念与动机** * **问题根源**：在经典的随机规划中，我们通常假设随机变量的概率分布是精确已知的。然而，在实际问题中（如金融、供应链管理），我们往往只能通过有限的历史数据来估计分布，或者分布本

2025-11-04 22:16:02

数值双曲型方程的计算流体力学应用

**数值双曲型方程的计算流体力学应用** 计算流体力学（CFD）是计算数学在流体力学中的直接应用，其核心是通过数值方法求解描述流体运动的控制方程。这些方程通常是一组非线性双曲型或混合型偏微分方程。下面我们将循序渐进地探讨其核心知识。 **第一步：控制方程——流体运动的数学描述** CFD的基石是Navier-Stokes (N-S) 方程组。对于可压缩流动，它包含质量守恒（连续性方程）、动量守恒和能量守恒方程。为了理解计算的核心挑战，我们通常从一个简化但保留了双曲特性的模型开始，即欧拉方程组

2025-11-04 22:10:43

数值双曲型方程的Godunov方法

**数值双曲型方程的Godunov方法** 1. **基本思想与动机** 在计算双曲型守恒律方程时，一个核心挑战是如何精确地捕捉解中可能出现的间断（如激波和接触间断）。Godunov方法的核心思想是：在每个时间步，将数值解近似为一系列常数片（即每个网格单元内解为常数），从而在每个相邻单元的交界面上构成一个局部的一维黎曼问题。然后，精确地或近似地求解这些黎曼问题，以确定通过单元界面的数值通量。这种方法天生地嵌入了双曲型方程的物理特性（如特征线理论和熵条件）。 2. **Goduno

2025-11-04 22:00:06

随机变量的变换的累积分布函数方法

**随机变量的变换的累积分布函数方法** 我们来学习随机变量的变换方法中一个非常基础和直观的方法：累积分布函数方法。 1. **核心思想** 累积分布函数方法的核心思想非常直接：当我们有一个随机变量 X，已知其分布（即知道它的累积分布函数 F_X(x) 或概率密度函数 f_X(x)），并且我们定义了一个新的随机变量 Y 作为 X 的函数，即 Y = g(X)。我们的目标是求出 Y 的累积分布函数 F_Y(y)。这个方法的关键在于，利用原随机变量 X 的分布，通过函数关系 g 来直接

2025-11-04 21:44:05

数值双曲型方程的计算不确定性量化

**数值双曲型方程的计算不确定性量化** 1. **基本概念与问题引入** 计算不确定性量化是研究数值模拟中各种不确定性来源如何影响最终结果的可信度。在数值双曲型方程（如流体力学、波动方程）的求解中，即使算法本身正确，结果也可能因输入数据的不确定性而存在误差。这些不确定性主要来源于：1）初始条件和边界条件的不确定性；2）控制方程中物理参数（如粘度、密度）的不确定性；3）几何模型的不确定性；4）数值离散本身引入的误差。 2. **不确定性的数学描述：随机场与随机过程** 为

2025-11-04 20:45:24

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