随机变量的变换的累积分布函数方法 我们来学习随机变量的变换方法中一个非常基础和直观的方法：累积分布函数方法。 核心思想 累积分布函数方法的核心思想非常直接：当我们有一个随机变量 X，已知其分布（即知道它的累积分布函数 F_ X(x) 或概率密度函数 f_ X(x)），并且我们定义了一个新的随机变量 Y 作为 X 的函数，即 Y = g(X)。我们的目标是求出 Y 的累积分布函数 F_ Y(y)。这个方法的关键在于，利用原随机变量 X 的分布，通过函数关系 g 来直接计算新随机变量 Y 的分布函数。 基本步骤 该方法通常遵循一个标准的两步流程： 第一步：表达 Y 的累积分布函数。 根据定义，Y 的累积分布函数 F_ Y(y) = P(Y ≤ y)。由于 Y = g(X)，我们可以将这个概率写为关于 X 的事件：F_ Y(y) = P(g(X) ≤ y)。 第二步：求解关于 X 的事件概率。 这一步是方法的核心。我们需要找到所有使得 g(X) ≤ y 成立的 X 的取值范围。也就是说，我们需要解不等式 g(x) ≤ y，找到 x 的集合，记作 A_ y = { x | g(x) ≤ y }。一旦找到了这个集合 A_ y，概率 P(g(X) ≤ y) 就等于 P(X ∈ A_ y)。而这个概率可以直接通过原随机变量 X 的累积分布函数 F_ X(x) 来计算（如果 X 是连续型）或其概率质量函数来计算（如果 X 是离散型）。 关键：确定集合 A_ y 函数 g(x) 的单调性直接决定了集合 A_ y 的形式，这是应用此方法时最需要仔细处理的部分。 情况一：g(x) 是单调递增函数。 如果 g 是单调递增的，那么不等式 g(X) ≤ y 等价于 X ≤ g⁻¹(y)。这里的 g⁻¹(y) 是 g 的反函数。因此，集合 A_ y = { x | x ≤ g⁻¹(y) }。于是，Y 的分布函数为：F_ Y(y) = P(X ≤ g⁻¹(y)) = F_ X(g⁻¹(y))。 情况二：g(x) 是单调递减函数。 如果 g 是单调递减的，那么不等式 g(X) ≤ y 等价于 X ≥ g⁻¹(y)。因此，集合 A_ y = { x | x ≥ g⁻¹(y) }。于是，Y 的分布函数为：F_ Y(y) = P(X ≥ g⁻¹(y)) = 1 - P(X < g⁻¹(y))。对于连续型随机变量 X，P(X < g⁻¹(y)) = P(X ≤ g⁻¹(y)) = F_ X(g⁻¹(y))。所以，F_ Y(y) = 1 - F_ X(g⁻¹(y))。 从分布函数到概率密度函数 在求出 Y 的累积分布函数 F_ Y(y) 之后，如果我们还想得到 Y 的概率密度函数 f_ Y(y)（假设 Y 也是连续型随机变量），只需对分布函数求导即可：f_ Y(y) = dF_ Y(y)/dy。 对于单调递增的 g(x)：f_ Y(y) = d[ F_ X(g⁻¹(y))]/dy = f_ X(g⁻¹(y)) * |d(g⁻¹(y))/dy|。这里利用了链式法则。 对于单调递减的 g(x)：f_ Y(y) = d[ 1 - F_ X(g⁻¹(y))]/dy = -f_ X(g⁻¹(y)) * d(g⁻¹(y))/dy。 我们可以将这两种情况合并为一个通用公式（当 g 在定义域上逐段单调时也适用）：f_ Y(y) = f_ X(g⁻¹(y)) * |d(g⁻¹(y))/dy|。这个公式其实就是变量变换公式（雅可比行列式法）在一维情况下的表现形式。 实例演示：线性变换 让我们考虑一个最简单的变换来巩固理解。设 X 是一个连续型随机变量，其累积分布函数为 F_ X(x)，概率密度函数为 f_ X(x)。定义 Y = aX + b，其中 a 和 b 是常数，且 a ≠ 0。 当 a > 0 时（单调递增） ： 求反函数：y = ax + b => x = (y - b)/a，所以 g⁻¹(y) = (y - b)/a。 求分布函数：F_ Y(y) = F_ X(g⁻¹(y)) = F_ X((y - b)/a)。 求密度函数：f_ Y(y) = f_ X((y - b)/a) * |d((y - b)/a)/dy| = f_ X((y - b)/a) * (1/a)。 当 a < 0 时（单调递减） ： 反函数相同：g⁻¹(y) = (y - b)/a。 求分布函数：F_ Y(y) = 1 - F_ X(g⁻¹(y)) = 1 - F_ X((y - b)/a)。 求密度函数：f_ Y(y) = f_ X((y - b)/a) * |d((y - b)/a)/dy| = f_ X((y - b)/a) * |1/a| = f_ X((y - b)/a) * (1/|a|)。 这个例子展示了累积分布函数方法的直接性和有效性。