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随机规划中的序贯决策与自适应学习

**随机规划中的序贯决策与自适应学习** **1. 基本概念引入** 随机规划中的序贯决策与自适应学习研究决策者在多阶段随机环境中，如何通过逐步观察系统状态并更新信息，动态调整策略以优化长期目标。其核心特点是“决策-观测-学习”循环：每一阶段的决策不仅影响当前收益，还通过新观测到的信息改变对未来不确定性的认知，进而影响后续决策。自适应学习强调利用实时数据（如随机参数的实现值）改进决策规则，减少不确定性带来的损失。 **2. 数学模型构建** 假设决策分为 \( T \) 阶段，每阶段

2025-11-10 05:38:09

计算数学中的多重网格方法

**计算数学中的多重网格方法** 多重网格方法是一种高效求解偏微分方程离散化后所得线性代数方程组的迭代算法，特别适用于大规模科学计算问题。其核心思想是通过不同尺度的网格来加速误差的平滑与收敛，下面逐步展开讲解。 ### 1. **问题背景与动机** 偏微分方程（如泊松方程、热传导方程）离散后常转化为大型线性方程组 \( A\mathbf{u} = \mathbf{f} \)。传统迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法）在高频误差上收敛快，但对低频误差收敛极慢。多重网格通过引入粗网格，

2025-11-10 05:27:26

随机规划中的内点法

好的，我们开始学习一个新的词条。 **随机规划中的内点法** 我们首先来理解这个复合词条的核心组成部分。它由两个关键部分构成：“内点法”和“随机规划”。我们将分步拆解，循序渐进地理解它。 **第一步：回顾“内点法”的核心思想** 首先，我们回顾一下“内点法”的基本原理（这个词条在“非线性规划”的上下文中已出现过）。内点法是一种用于求解约束优化问题的算法，其最核心、最直观的思想是：**从可行域的内部出发，沿着一条位于可行域内部的路径，逐步逼近最优解。** * **与单纯形法的对比**

2025-11-10 04:39:40

半正定规划

好的，我们开始学习一个新的运筹学词条。 **半正定规划** 我会从最基础的概念开始，循序渐进地为您讲解。 **第一步：从线性规划到更一般的优化问题** 您已经非常熟悉**线性规划**。它的标准形式是：最小化一个**线性**目标函数 \( \mathbf{c}^\top \mathbf{x} \)。同时满足一组**线性**等式约束 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 和**线性**不等式约束 \( \mathbf{x} \geq 0 \)（即每个变量非负）。

2025-11-10 04:28:53

随机变量的变换的Hessian矩阵与渐近分布

好的，我们开始学习一个新的词条。 **随机变量的变换的Hessian矩阵与渐近分布** 这个概念是统计学中研究参数估计量（特别是极大似然估计量）在大样本下的行为（即渐近性质）的核心工具。我们将从最基础的部分开始，逐步深入。 ### **第一步：回顾基础——估计量与渐近正态性** 1. **参数估计**：假设我们有一个概率模型，其概率密度函数（或概率质量函数）为 \( f(x; \theta) \)，其中 \( \theta \) 是我们未知的、想要估计的参数（可以是单个参数，也可以是向

2025-11-10 03:30:21

增广拉格朗日法

**增广拉格朗日法** 增广拉格朗日法是一种求解约束优化问题的数值算法，它通过结合拉格朗日乘子法和罚函数法的思想，有效处理等式和不等式约束。下面逐步展开讲解： --- ### **1. 问题背景与基本形式** 考虑约束优化问题： \[ \min_{x} f(x) \quad \text{s.t.} \quad h_i(x) = 0 \ (i=1,\dots,m), \quad g_j(x) \leq 0 \ (j=1,\dots,p), \] 其中 \(f(x)\) 是目标

2025-11-10 03:08:12

随机变量的变换的核密度估计方法

**随机变量的变换的核密度估计方法** 1. **基本概念与动机** 首先，我们需要理解一个核心问题：当我们从某个未知总体中随机抽取一组样本数据后，如何仅基于这些样本数据，来估计这个未知总体的概率密度函数（PDF）的形状？直方图是一种直观的方法，但它对起点（bin的起点）和带宽（bin的宽度）的选择很敏感，且图形呈阶梯状，不够平滑。核密度估计（Kernel Density Estimation, KDE）正是为了解决这些问题而提出的一种非参数估计方法。它的目标是给出一个光滑的、连续的

2025-11-10 02:09:03

马尔可夫链的收敛速率

**马尔可夫链的收敛速率** 我们首先回顾马尔可夫链的平稳分布和收敛定理。若一个不可约、非周期的马尔可夫链存在平稳分布 \(\pi\)，则无论初始分布如何，链在时间趋于无穷时都会收敛到 \(\pi\)，即： \[ \lim_{n \to \infty} P^n(x, y) = \pi(y), \quad \forall x, y \in \mathcal{X}. \] 但收敛定理并未说明收敛的速度有多快。**收敛速率**研究的是链以多快的速度接近平稳分布，通常通过衡量分布间的距离（

2025-11-10 01:53:11

随机规划中的序贯随机拟蒙特卡洛方法

**随机规划中的序贯随机拟蒙特卡洛方法** **1. 基础概念：随机规划与蒙特卡洛模拟** 随机规划是处理含随机变量的优化问题，其目标函数或约束涉及随机参数的期望值。例如，最小化期望成本： \[ \min_{x \in X} \mathbb{E}[F(x, \xi)] \] 其中 \(\xi\) 为随机变量。当期望无法解析计算时，常用蒙特卡洛模拟：通过生成随机样本 \(\{\xi_i\}_{i=1}^N\)，用样本均值近似期望： \[ \mathbb{E}[F(x, \xi)]

2025-11-10 00:54:43

随机变量的变换的Panjer递归

**随机变量的变换的Panjer递归** Panjer递归是一种高效计算复合分布概率质量函数的递推方法，特别适用于索赔次数分布为泊松分布、二项分布或负二项分布，且索赔金额分布为离散非负整数值随机变量的情况。它在保险精算和风险建模中应用广泛。 1. **问题背景：复合分布** 在风险模型中，我们常关注总损失 \( S = X_1 + X_2 + \dots + X_N \)，其中 \( N \) 是随机变量（如索赔次数），\( \{X_i\} \) 是独立同分布的随机变量（如单笔索赔金

2025-11-09 21:19:32

随机变量的变换的Siegert-Kac公式

**随机变量的变换的Siegert-Kac公式** 我将为您详细讲解随机变量的变换的Siegert-Kac公式，这是一个在随机过程首达时（首次通过时间）问题分析中非常重要的工具。 **第一步：理解核心问题——首达时问题** 1. **基本概念**：在许多物理、工程和金融问题中，我们关心一个随机过程（如粒子运动、股票价格）**首次**达到或超过某个特定水平（称为“边界”或“阈值”）的时间。这个时间被称为“首达时”或“首次通过时间”。 2. **问题难点**：直接计算首达时的精确概率分布通

2025-11-09 21:08:51

数值椭圆型方程的有限元法

**数值椭圆型方程的有限元法** **1. 基础概念：从微分方程到弱形式** 椭圆型偏微分方程描述了许多稳态物理过程，如稳态热传导、静电势分布和弹性平衡。典型例子是泊松方程：-∇²u = f。有限元法的核心思想是将微分方程的"强形式"转化为积分形式的"弱形式"，降低对解的光滑性要求。具体步骤： - 将方程乘以一个试探函数v（属于某个函数空间），并在区域Ω上积分：∫_Ω (-∇²u)v dΩ = ∫_Ω fv dΩ - 利用格林公式（散度定理）进行分部积分，将高阶导数转移：∫_Ω ∇u·∇v

2025-11-09 20:26:08

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