数值椭圆型方程的有限元法 1. 基础概念：从微分方程到弱形式 椭圆型偏微分方程描述了许多稳态物理过程，如稳态热传导、静电势分布和弹性平衡。典型例子是泊松方程：-∇²u = f。有限元法的核心思想是将微分方程的"强形式"转化为积分形式的"弱形式"，降低对解的光滑性要求。 具体步骤： 将方程乘以一个试探函数v（属于某个函数空间），并在区域Ω上积分：∫_ Ω (-∇²u)v dΩ = ∫_ Ω fv dΩ 利用格林公式（散度定理）进行分部积分，将高阶导数转移：∫ Ω ∇u·∇v dΩ - ∮ ∂Ω (∂u/∂n)v ds = ∫_ Ω fv dΩ 通过选择满足齐次边界条件的试探函数，或代入自然边界条件，得到弱形式：a(u,v) = L(v)，其中a(·,·)是双线性形式，L(·)是线性泛函 2. 离散化策略：网格剖分与基函数构造 弱形式的解存在于无限维函数空间，需要通过离散化转化为有限维问题。 关键步骤： 区域剖分：将计算区域Ω划分为简单几何形状（三角形、四边形等）组成的网格 构造有限元空间：在每个单元上采用多项式函数作为局部基函数，常见的有： 拉格朗日型：节点基函数，在节点处值为1，其他节点处为0 阶数选择：线性元（一阶）、二次元（二阶）等，影响精度 全局基函数：通过组装局部基函数形成分片多项式空间，保证函数在单元边界处的连续性（C⁰连续性对于二阶椭圆问题足够） 3. 线性方程组组装：从局部到全局 将连续问题离散为代数方程组的过程涉及精细的局部-全局映射。 详细过程： 单元刚度矩阵计算：在每个单元e上计算局部矩阵K^e_ {ij} = ∫_ e ∇φ_ i·∇φ_ j dΩ，其中φ_ i为局部基函数 单元载荷向量计算：F^e_ i = ∫_ e fφ_ i dΩ 全局组装：将局部矩阵和向量按照节点编号组装到全局系统： 直接刚度法：将每个单元的贡献添加到全局矩阵的对应位置 考虑边界条件：处理狄利克雷边界条件（直接赋值）和诺伊曼边界条件（纳入载荷项） 4. 数值积分与误差分析 实际计算中需要数值积分方法，并需理解解的精度特性。 数值实现要点： 高斯积分：在参考单元上使用最优积分点，平衡计算效率和精度 误差估计：有限元解误差与网格尺寸h和多项式次数p的关系为O(h^{k+1})，其中k=min(p, m)，m取决于解的正则性 后验误差估计：通过计算残量或恢复技术提供网格自适应依据 5. 扩展与进阶技术 基本有限元法可扩展至更复杂问题： 重要扩展： 混合有限元法：同时近似原始变量和通量（如位移和应力），满足特殊约束条件 非协调元：放松连续性要求，适用于特殊问题 hp自适应：同时优化网格尺寸h和多项式阶数p，实现指数收敛 非标准问题：处理奇异解、界面问题、各向异性材料等特殊情况