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**割平面法** 1. **基本思想与动机** 想象一下你在解决一个整数规划问题，比如要求变量只能取0或1（如是否投资某个项目）或者整数（如需要多少辆卡车）。但直接求解整数规划通常非常困难。一个常见的思路是：先暂时“忽略”整数限制，求解它的“线性规划松弛”问题（即允许变量取小数）。这个方法求解起来很快，但得到的解（比如需要3.6辆卡车）往往不满足整数要求，没有实际意义。割平面法的核心思想就是：**既然松弛问题的解不满足整数条件，我们就设法把那个“分数解”从可行域里“割”掉

2025-10-26 15:42:24

**鲁棒优化** 1. **基本概念与问题背景** 鲁棒优化是处理含有不确定性的数学规划问题的一种方法。在实际问题中（如供应链管理、投资组合优化），模型的参数（如需求、成本）往往不是精确已知的。如果我们简单地使用参数的预测值（如平均值）进行优化，得到的最优解可能在真实参数出现波动时表现极差，甚至不可行。 2. **与随机规划的区别** 在讲解鲁棒优化方法前，需要将其与你已了解的随机规划进行区分。随机规划通常假设不确定参数服从一个已知的概率分布，并优化期望性能。而鲁棒优化不

2025-10-26 15:31:26

**数值代数** 数值代数是计算数学中研究使用计算机高效、准确地求解各类代数问题的分支。它主要处理矩阵和向量的大规模计算，是科学计算的核心基础。 **第一步：核心问题与基本对象** 数值代数研究的核心问题包括： 1. **线性方程组的求解**：求解形如 *Ax = b* 的方程，其中 *A* 是一个 *n×n* 的矩阵，*b* 是一个已知的 *n* 维向量，*x* 是未知的 *n* 维向量。 2. **特征值问题**：对于一个 *n×n* 的矩阵 *A*，寻找标量 *λ*（特征值）和非

2025-10-26 15:10:06

数值常微分方程

**数值常微分方程** 数值常微分方程是计算数学中研究如何用数值方法求解常微分方程初值问题或边值问题的分支。由于绝大多数常微分方程无法求出解析解，数值方法成为获取其近似解的主要工具。 1. **问题背景：初值问题** 我们考虑一阶常微分方程的初值问题，其标准形式为： `y'(t) = f(t, y(t)), y(t₀) = y₀` 我们的目标是找到函数 `y(t)` 在一系列离散点 `t₀, t₁, t₂, ..., t_N` 上的近似值 `y₀, y₁, y₂,

2025-10-26 14:33:05

**数值逼近** 数值逼近是计算数学中研究如何用简单的、可计算的函数或数列来近似复杂的数学对象（如函数、积分、微分方程的解等），并分析近似误差的理论和方法。 **第一步：核心思想与基本问题** 许多数学问题在理论上存在精确解，但在实际计算中往往无法直接获得。例如，计算无理数 π 的值，或者计算一个复杂函数 f(x) = e^{-x^2} 在任意点 x 的值。数值逼近的核心思想是，寻找一个“简单”的、易于计算的近似表达式来代替原本“复杂”的、难以处理的对象。这个“简单”的近似对象通常是一

2025-10-26 13:50:13

协方差矩阵

**协方差矩阵** 协方差矩阵是描述多个随机变量之间协方差关系的方阵。让我们从基础概念开始，逐步深入。 ### 1. 协方差的回顾 - **定义**：对于两个随机变量 \(X\) 和 \(Y\)，协方差衡量它们的线性相关性： \[ \text{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])(Y - \mathbb{E}[Y])] \] - **性质**： - 若 \(\text{Cov}(X, Y) > 0\)，\(

2025-10-26 13:34:15

数值稳定性

**数值稳定性** 数值稳定性是计算数学中分析算法在有限精度运算下误差传播行为的重要概念。它研究的是，当算法输入存在微小扰动（如舍入误差）时，输出结果的变化是否在可控范围内。 **1. 问题的起源：误差** 在实际的科学计算中，我们无法进行无限的精确运算。计算机使用浮点数系统表示实数，这必然会引入**舍入误差**。此外，输入数据本身也可能来自测量或之前的计算，存在**数据误差**。一个“好”的算法应该对这些微小的初始误差不敏感，即不会让误差在计算过程中被急剧放大。 **2. 核心概念：前

2025-10-26 13:23:30

**随机数** 随机数是概率论、统计学和计算机科学中的基础概念。它指的是一串看似无规律、不可预测的数字序列。我们将从最直观的理解开始，逐步深入到其在概率计算中的核心作用。 **第一步：随机数的基本定义与核心特性** 一个真正的随机数序列需要满足两个核心条件： 1. **均匀分布**：每个数出现的可能性是均等的。例如，一个理想的、均匀分布在0到9之间的随机数生成器，产生0、1、2、...、9中任何一个数字的概率都应该是精确的10%。 2. **统计独立性**：序列中的任何一个数都不能通过

2025-10-26 11:58:33

马尔可夫决策过程

**马尔可夫决策过程** 好的，我们开始学习“马尔可夫决策过程”。我会从最基本的概念开始，逐步深入到其核心原理和求解方法。 ### 第一步：从一个简单的场景引入核心概念想象一下，你是一个机器人，身处一个迷宫般的房间里。你的目标是找到宝藏并离开，同时要避免碰到敌人。房间里有很多个位置（我们称之为“状态”），在每个位置上，你都可以选择向上、下、左、右移动（我们称之为“动作”）。但你的移动可能不完美，比如你想向右走，但有10%的几率会滑到上方或下方（我们称之为“状态转移概率”）。当你到达宝藏位

2025-10-26 10:33:03

列生成算法

**列生成算法** 1. **问题引入：大规模线性规划的困境** 想象你需要为一家航空公司制定航班人员排班计划。每个可能的“班次”（例如：飞行员A在周一早上8点从北京飞往上海）就是一个决策变量。这个问题的变量数量会轻易达到数百万甚至上亿个。如果我们试图为这个问题建立一个完整的线性规划模型，并直接用单纯形法求解，那么即使是最强大的计算机也无法在合理时间内完成计算，因为需要存储和操作的模型规模太大了。列生成算法就是专门为解决这类“变量极多”的线性规划问题而设计的。 2. **核心思想

2025-10-26 10:22:16

**数值微分** 数值微分是计算数学中研究函数导数近似值的分支。当函数表达式复杂或仅已知离散数据点时，解析求导困难，数值微分提供实用的近似方法。 **1. 基本思想** 数值微分的核心是用差商逼近微商。导数定义为极限：f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h。通过选取微小步长h，用差商（函数值之差与自变量之差的比值）作为导数的近似。 **2. 前向差分与后向差分** - **前向差分**：f'(x) ≈ [f(x+h) - f(x)] / h，使用当前点与

2025-10-26 09:55:54

马尔可夫不等式

**马尔可夫不等式** 好的，我们从一个非常基础且实用的概念开始。想象一下，你有一个随机变量，比如一个人的身高或者一次考试的成绩。你对这个随机变量的具体分布（比如它是不是正态分布）可能并不完全清楚，但你至少知道它的平均值。那么，一个很自然的问题是：这个随机变量的取值“远远超过”其平均值的可能性有多大？马尔可夫不等式就是用来回答这类问题的工具。 1. **核心思想与直观理解** 马尔可夫不等式提供了一个概率的“上界”。所谓上界，就是它告诉你一件事发生的概率“最多不会超过”某个值。它的

2025-10-26 09:02:36

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