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马尔可夫链的平稳分布

**马尔可夫链的平稳分布** 接下来，我们将探讨马尔可夫链中一个极为核心的概念——平稳分布。这个概念描述了马尔可夫链在经过长时间演化后可能达到的一种稳定状态。 **第一步：回顾与动机——马尔可夫链的长期行为** 我们已知，一个马尔可夫链由一组可能的状态以及状态之间的转移概率所定义。一个很自然的问题是：当这个链运行了很长很长时间（即步数趋于无穷大）之后，它会呈现出什么样的行为？它是否会“稳定”下来？也就是说，处于每个状态的概率是否会趋于一个固定的值，而不再随时间改变？平稳分布正是用来回答这个

2025-10-26 22:05:32

数值最优化

**数值最优化** 数值最优化是计算数学中研究如何通过数值方法寻找函数最小值或最大值（通常称为最优点）的领域。它广泛应用于机器学习、工程设计、经济学和运筹学等问题中。下面我们从基础概念开始，逐步展开讲解。 ### 1. 问题形式化数值最优化问题的标准形式为： \[ \min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \] 其中 \( f(x) \) 是目标函数，\( x \) 是决策变量。若问题带约束，则需满足 \( g_i(x) \leq 0 \)（不等式约

2025-10-26 21:47:51

快速傅里叶变换

**快速傅里叶变换** 1. **背景：从多项式乘法到卷积** 考虑两个多项式：A(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... 和 B(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + ... 它们的乘积 C(x) = A(x) * B(x) 的系数 cₖ 由 aᵢ 和 bⱼ 的卷积求和得到：cₖ = Σ (aᵢ * bₖ₋ᵢ)。直接计算所有系数 cₖ 的时间复杂度是 O(n²)。这个计算瓶颈在许多信号处理、图像分析等领域普遍存在，其核心数学运算就是卷积。快速傅里叶变换

2025-10-26 21:22:26

蒙特卡洛模拟

**蒙特卡洛模拟** 1. **基本概念** 蒙特卡洛模拟是一种基于随机抽样和统计分析的数值计算方法，用于求解具有不确定性的复杂问题。其核心思想是通过生成大量随机样本，模拟系统的随机行为，然后对样本结果进行统计分析，从而获得问题的近似解。例如，在求解难以直接计算的定积分时，可以通过在积分区域随机投点，并计算落在函数曲线下方的点的比例来估算积分值。 2. **关键步骤** 实施蒙特卡洛模拟通常包含以下详细步骤： - **定义概率模型**：首先，需要将待解决的问题转化为一个概率模型。这意味着要明

2025-10-26 20:50:37

数值误差分析

**数值误差分析** 数值误差分析是研究数值计算中误差的产生、传播及其控制方法的学科。由于计算机的有限精度和离散化处理，数值方法得到的结果必然存在误差，因此需要系统分析这些误差的影响。 **1. 误差的基本概念** 误差是近似值与真值之间的差异。在数值计算中，主要关注以下几种误差： - **真误差**：近似值 \( x_a \) 与真值 \( x_t \) 之差，即 \( E_t = x_a - x_t \)。 - **绝对误差**：真误差的绝对值，即 \( |E_t| \)。 - **相对

2025-10-26 19:30:25

**随机规划** 随机规划是处理含有随机参数的最优化问题的数学分支。当优化问题的某些参数（如需求、成本或资源）具有不确定性，并且这种不确定性可以用概率分布描述时，就需要用到随机规划。它的核心思想是在决策中考虑随机性的影响，寻找一种策略，使得在平均意义下或在某种风险度量下是最优的。 1. **核心概念：不确定性与决策时序** 随机规划问题与确定性优化问题的根本区别在于参数的不确定性和决策的时序。我们通过一个经典的报童问题来引入这些概念。 * **问题描述**：一个报童每天

2025-10-26 18:37:32

最优化算法

**最优化算法** 好的，我们开始学习“最优化算法”。这个词条是运筹学的核心，它提供了一个宏观的框架，将许多具体方法联系起来。 ### 第一步：理解“最优化”的基本概念想象一下，你在管理一个工厂，你的目标是：在满足各种限制条件（如原材料有限、机器工时、人力成本）的前提下，使得利润最大化。或者，你在规划一次旅行，希望找到一条路径，使得总路程最短或总时间最少。这些问题的本质都是**最优化问题**。其数学形式通常可以表述为： **最小化（或最大化）一个目标函数，同时满足一系列约束条件。*

2025-10-26 18:05:36

**内点法** 内点法是一类用于求解线性规划和凸优化问题的迭代算法。与单纯形法在可行域顶点间移动不同，内点法从可行域内部出发，沿着一条中心路径逼近最优解。我将从基本思想开始，逐步讲解其核心原理和关键步骤。 1. **基本思想与动机** * **问题背景**：考虑一个标准形式的线性规划问题：最小化 \( c^T x \) 满足 \( Ax = b \)，且 \( x \ge 0 \)。其中，\( x \) 是决策变量向量，\(

2025-10-26 17:28:13

多重网格方法

**多重网格方法** 多重网格方法是一种用于求解微分方程离散化后所得线性方程组的高效数值算法。它通过在不同粗细的网格层之间传递信息，显著加速收敛速度，特别适用于大规模问题。下面逐步介绍其核心思想与实现步骤。 --- ### 1. **问题背景：稀疏线性方程组的求解挑战** 考虑偏微分方程（如泊松方程 \( \nabla^2 u = f \)）离散化后得到的线性方程组 \( A u = f \)，其中 \( A \) 是大型稀疏矩阵。直接解法（如高斯消元法）计算成本高，而传统迭代

2025-10-26 17:12:24

**随机游走** 随机游走是描述一个点随机移动的数学模型，其核心特征是每一步的移动方向和大小由概率决定，且每一步之间通常相互独立。下面我们逐步展开讲解。 --- ### 1. 基本概念与简单例子随机游走最经典的例子是**一维简单随机游走**： - 假设一个点在数轴上起始位置为 \( S_0 = 0 \)。 - 每个时刻 \( t=1,2,3,\dots \)，点以概率 \( p \) 向右移动 \( +1 \)，以概率 \( q=1-p \) 向左移动 \( -1 \

2025-10-26 17:01:55

**矩阵分解** 矩阵分解是将一个矩阵表示为若干个特定类型矩阵的乘积或和的过程。在计算数学中，这是解决线性代数问题最核心和基础的技术之一。许多复杂的数值计算问题，最终都依赖于高效且稳定的矩阵分解算法。 **第一步：基本概念与目的** 一个矩阵分解通常具有形式 \( A = BCD... \)，其中 \( A \) 是原矩阵，而 \( B, C, D, ... \) 是具有“更好”性质的矩阵（例如是对角矩阵、三角矩阵或正交矩阵）。进行分解的主要目的包括： 1. **简化计算**：分解后，求

2025-10-26 16:51:19

有限差分法

**有限差分法** 有限差分法是一种将微分方程转化为代数方程组的数值技术。其核心思想是用离散的差分来近似连续的导数。 1. **基本概念：从导数定义出发** 导数描述的是函数在某一点的变化率，其定义是一个极限： `f'(x) = lim (h -> 0) [ f(x+h) - f(x) ] / h` 有限差分法的第一步，就是去掉这个极限过程，用一个“有限”的小步长 `h` 来代替趋于零的过程。这就得到了最简单的差分格式——**向前差分**： `f'(x) ≈

2025-10-26 16:19:18

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