平行曲面的主曲率与平均曲率关系

字数 2971 2025-12-15 22:44:56

平行曲面的主曲率与平均曲率关系

首先，让我们明确“平行曲面”的概念。在三维欧几里得空间中，给定一个光滑曲面 \(S\)，其单位法向量场记为 \(\mathbf{n}\)。对于任意实数 \(t\)，我们可以构造一个新的曲面 \(S_t\)，其上的点定义为：

\[ \mathbf{p}_t = \mathbf{p} + t \, \mathbf{n} \]

其中 \(\mathbf{p}\) 是原曲面 \(S\) 上的点。这个新曲面 \(S_t\) 就称为 \(S\) 的平行曲面（或称等距偏移曲面）。当 \(t > 0\) 时，它沿着法向“外侧”偏移；当 \(t < 0\) 时，它沿着法向“内侧”偏移。在之前的词条“平行曲面的高斯曲率不变性”中，我们已经讨论过高斯曲率在偏移过程中的特定关系。现在我们要深入探讨主曲率与平均曲率在偏移中如何变化。

在探讨变化之前，必须先明确原曲面 \(S\) 的曲率概念。设 \(S\) 在点 \(\mathbf{p}\) 处的两个主曲率为 \(k_1\) 和 \(k_2\)，它们对应的主方向相互正交。高斯曲率 \(K\) 定义为两者之积 \(K = k_1 k_2\)，平均曲率 \(H\) 定义为两者之算术平均值 \(H = \frac{1}{2}(k_1 + k_2)\)。主曲率是法曲率在主方向上的取值，刻画了曲面在该点沿不同方向弯曲的强度。
接下来，我们需要了解平行曲面 \(S_t\) 的法向量场。一个关键性质是：对于正则点（即偏移后没有奇异的点），平行曲面 \(S_t\) 在点 \(\mathbf{p}_t\) 处的单位法向量恰好与原曲面在对应点 \(\mathbf{p}\) 处的单位法向量相同，即 \(\mathbf{n}_t = \mathbf{n}\)。这是因为偏移是严格沿着法线方向进行的，所以法方向保持不变。这一点是后续推导的基础。
现在，我们来推导平行曲面上主曲率 \(k_1^{(t)}, k_2^{(t)}\) 与原曲面上主曲率 \(k_1, k_2\) 的关系。考虑原曲面上任意一个主方向（对应于主曲率 \(k_i\)），沿着该方向的法曲率即为 \(k_i \）。当曲面沿法向偏移距离 \( t\) 后，在该对应方向上的法曲率会如何变化？我们可以从几何上直观理解：偏移相当于将曲面在该点处沿法向“平移”，但曲率中心的位置会随之移动。更精确地，利用曲率半径的概念，原曲率半径为 \(R_i = 1/k_i\)（假设 \(k_i \neq 0\)），偏移后，曲率中心也沿法向移动了距离 \(t\)，但曲率中心到新曲面的法向距离（即新曲率半径）变为 \(R_i - t\)。因此，新主曲率为：

\[ k_i^{(t)} = \frac{1}{R_i - t} = \frac{k_i}{1 - t k_i}, \quad i=1,2 \]

这个公式是核心关系式。它成立的条件是 \(1 - t k_i \neq 0\)，否则 \(k_i^{(t)}\) 会趋于无穷，对应平行曲面上出现奇点（焦散面）。注意，当 \(k_i = 0\) 时，对应的主方向偏移后主曲率仍为 0，公式同样成立。

利用上述主曲率变换公式，我们可以立即得到平行曲面 \(S_t\) 的高斯曲率 \(K_t\) 与平均曲率 \(H_t\) 的表达式：

\[ K_t = k_1^{(t)} k_2^{(t)} = \frac{k_1 k_2}{(1 - t k_1)(1 - t k_2)} = \frac{K}{1 - 2tH + t^2 K} \]

这里我们用到了 \(K = k_1 k_2\) 和 \(H = (k_1 + k_2)/2\)，以及分母的展开：\((1 - t k_1)(1 - t k_2) = 1 - t(k_1 + k_2) + t^2 k_1 k_2 = 1 - 2tH + t^2 K\)。这个结果与“平行曲面的高斯曲率不变性”词条中从第一、二基本形式推导的结果一致，但这里从主曲率角度看得更直接。

更重要的是平均曲率 \(H_t\) 的关系。平均曲率是主曲率的和的一半：

\[ H_t = \frac{1}{2}(k_1^{(t)} + k_2^{(t)}) = \frac{1}{2} \left( \frac{k_1}{1 - t k_1} + \frac{k_2}{1 - t k_2} \right) \]

通分后化简：

\[ H_t = \frac{1}{2} \cdot \frac{k_1 + k_2 - 2t k_1 k_2}{(1 - t k_1)(1 - t k_2)} = \frac{H - t K}{1 - 2tH + t^2 K} \]

这个公式清晰地展示了平均曲率在偏移过程中的非线性变化。它依赖于原曲面的 \(H\)、\(K\) 和偏移距离 \(t\)。

特别地，我们可以考虑一些有趣的特例来加深理解：
- 如果原曲面是极小曲面（即 \(H = 0\)），那么平均曲率公式简化为 \(H_t = \frac{-t K}{1 + t^2 K}\)。这意味着，除非 \(K=0\)，否则偏移后的曲面通常不再具有零平均曲率（即不再是极小曲面）。这反映了极小曲面性质在偏移下一般不被保持。
- 如果原曲面是球面的一部分（\(k_1 = k_2 = k\)，为常数），则 \(H = k, K = k^2\)。代入得 \(k^{(t)} = \frac{k}{1 - t k}\)，即偏移后的曲面仍然是（同心）球面的一部分，其曲率均匀变化，且 \(H_t = k^{(t)}\)， \(K_t = (k^{(t)})^2\)。
- 如果原曲面是圆柱面（设一条主曲率为 0，另一条为 \(k \neq 0\)），则 \(k_1 = k, k_2 = 0\)， \(H = k/2, K=0\)。代入得 \(k_1^{(t)} = \frac{k}{1 - t k}, k_2^{(t)} = 0\)。所以偏移后仍是圆柱面（可展曲面），其平均曲率 \(H_t = \frac{k}{2(1 - t k)} = \frac{H}{1 - 2tH}\)，因为 \(K=0\)。
从这些关系我们可以洞察一个重要几何事实：曲面的偏移（平行曲面构造）是一个“变形”过程，它虽然保持了法方向，但改变了曲面的弯曲程度。主曲率的变换公式 \(k_i^{(t)} = k_i / (1 - t k_i)\) 本质上是曲率半径的线性加减。平均曲率与高斯曲率的变换公式则共同刻画了这种变形。这些关系在曲面造型、等距映射、以及物理中的波前传播（如焦散面）等问题中都有重要应用。

平行曲面的主曲率与平均曲率关系首先，让我们明确“平行曲面”的概念。在三维欧几里得空间中，给定一个光滑曲面 \( S \)，其单位法向量场记为 \( \mathbf{n} \)。对于任意实数 \( t \)，我们可以构造一个新的曲面 \( S_ t \)，其上的点定义为： \[ \mathbf{p}_ t = \mathbf{p} + t \, \mathbf{n} \] 其中 \( \mathbf{p} \) 是原曲面 \( S \) 上的点。这个新曲面 \( S_ t \) 就称为 \( S \) 的平行曲面（或称等距偏移曲面）。当 \( t > 0 \) 时，它沿着法向“外侧”偏移；当 \( t < 0 \) 时，它沿着法向“内侧”偏移。在之前的词条“平行曲面的高斯曲率不变性”中，我们已经讨论过高斯曲率在偏移过程中的特定关系。现在我们要深入探讨主曲率与平均曲率在偏移中如何变化。在探讨变化之前，必须先明确原曲面 \( S \) 的曲率概念。设 \( S \) 在点 \( \mathbf{p} \) 处的两个主曲率为 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \)，它们对应的主方向相互正交。高斯曲率 \( K \) 定义为两者之积 \( K = k_ 1 k_ 2 \)，平均曲率 \( H \) 定义为两者之算术平均值 \( H = \frac{1}{2}(k_ 1 + k_ 2) \)。主曲率是法曲率在主方向上的取值，刻画了曲面在该点沿不同方向弯曲的强度。接下来，我们需要了解平行曲面 \( S_ t \) 的法向量场。一个关键性质是：对于正则点（即偏移后没有奇异的点），平行曲面 \( S_ t \) 在点 \( \mathbf{p}_ t \) 处的单位法向量恰好与原曲面在对应点 \( \mathbf{p} \) 处的单位法向量相同，即 \( \mathbf{n}_ t = \mathbf{n} \)。这是因为偏移是严格沿着法线方向进行的，所以法方向保持不变。这一点是后续推导的基础。现在，我们来推导平行曲面上主曲率 \( k_ 1^{(t)}, k_ 2^{(t)} \) 与原曲面上主曲率 \( k_ 1, k_ 2 \) 的关系。考虑原曲面上任意一个主方向（对应于主曲率 \( k_ i \)），沿着该方向的法曲率即为 \( k_ i \）。当曲面沿法向偏移距离 \( t \) 后，在该对应方向上的法曲率会如何变化？我们可以从几何上直观理解：偏移相当于将曲面在该点处沿法向“平移”，但曲率中心的位置会随之移动。更精确地，利用曲率半径的概念，原曲率半径为 \( R_ i = 1/k_ i \)（假设 \( k_ i \neq 0 \)），偏移后，曲率中心也沿法向移动了距离 \( t \)，但曲率中心到新曲面的法向距离（即新曲率半径）变为 \( R_ i - t \)。因此，新主曲率为： \[ k_ i^{(t)} = \frac{1}{R_ i - t} = \frac{k_ i}{1 - t k_ i}, \quad i=1,2 \] 这个公式是核心关系式。它成立的条件是 \( 1 - t k_ i \neq 0 \)，否则 \( k_ i^{(t)} \) 会趋于无穷，对应平行曲面上出现奇点（焦散面）。注意，当 \( k_ i = 0 \) 时，对应的主方向偏移后主曲率仍为 0，公式同样成立。利用上述主曲率变换公式，我们可以立即得到平行曲面 \( S_ t \) 的高斯曲率 \( K_ t \) 与平均曲率 \( H_ t \) 的表达式： \[ K_ t = k_ 1^{(t)} k_ 2^{(t)} = \frac{k_ 1 k_ 2}{(1 - t k_ 1)(1 - t k_ 2)} = \frac{K}{1 - 2tH + t^2 K} \] 这里我们用到了 \( K = k_ 1 k_ 2 \) 和 \( H = (k_ 1 + k_ 2)/2 \)，以及分母的展开：\( (1 - t k_ 1)(1 - t k_ 2) = 1 - t(k_ 1 + k_ 2) + t^2 k_ 1 k_ 2 = 1 - 2tH + t^2 K \)。这个结果与“平行曲面的高斯曲率不变性”词条中从第一、二基本形式推导的结果一致，但这里从主曲率角度看得更直接。更重要的是平均曲率 \( H_ t \) 的关系。平均曲率是主曲率的和的一半： \[ H_ t = \frac{1}{2}(k_ 1^{(t)} + k_ 2^{(t)}) = \frac{1}{2} \left( \frac{k_ 1}{1 - t k_ 1} + \frac{k_ 2}{1 - t k_ 2} \right) \] 通分后化简： \[ H_ t = \frac{1}{2} \cdot \frac{k_ 1 + k_ 2 - 2t k_ 1 k_ 2}{(1 - t k_ 1)(1 - t k_ 2)} = \frac{H - t K}{1 - 2tH + t^2 K} \] 这个公式清晰地展示了平均曲率在偏移过程中的非线性变化。它依赖于原曲面的 \( H \)、\( K \) 和偏移距离 \( t \)。特别地，我们可以考虑一些有趣的特例来加深理解：如果原曲面是极小曲面（即 \( H = 0 \)），那么平均曲率公式简化为 \( H_ t = \frac{-t K}{1 + t^2 K} \)。这意味着，除非 \( K=0 \)，否则偏移后的曲面通常不再具有零平均曲率（即不再是极小曲面）。这反映了极小曲面性质在偏移下一般不被保持。如果原曲面是球面的一部分（\( k_ 1 = k_ 2 = k \)，为常数），则 \( H = k, K = k^2 \)。代入得 \( k^{(t)} = \frac{k}{1 - t k} \)，即偏移后的曲面仍然是（同心）球面的一部分，其曲率均匀变化，且 \( H_ t = k^{(t)} \)， \( K_ t = (k^{(t)})^2 \)。如果原曲面是圆柱面（设一条主曲率为 0，另一条为 \( k \neq 0 \)），则 \( k_ 1 = k, k_ 2 = 0 \)， \( H = k/2, K=0 \)。代入得 \( k_ 1^{(t)} = \frac{k}{1 - t k}, k_ 2^{(t)} = 0 \)。所以偏移后仍是圆柱面（可展曲面），其平均曲率 \( H_ t = \frac{k}{2(1 - t k)} = \frac{H}{1 - 2tH} \)，因为 \( K=0 \)。从这些关系我们可以洞察一个重要几何事实：曲面的偏移（平行曲面构造）是一个“变形”过程，它虽然保持了法方向，但改变了曲面的弯曲程度。主曲率的变换公式 \( k_ i^{(t)} = k_ i / (1 - t k_ i) \) 本质上是曲率半径的线性加减。平均曲率与高斯曲率的变换公式则共同刻画了这种变形。这些关系在曲面造型、等距映射、以及物理中的波前传播（如焦散面）等问题中都有重要应用。