分数布朗运动与长记忆性（Hurst指数） 基础：从标准布朗运动到分数布朗运动 您可能知道，标准布朗运动是金融中建模资产价格随机波动的基础。它的核心特性是 增量独立 且 增量方差与时间间隔成正比 。这意味着，无论你看1分钟还是1天的价格变化，其“随机性”的程度（方差）只取决于时间长度，与历史无关。这就是“无记忆性”或“马尔可夫性”。 然而，许多实际的金融时间序列（如波动率、利率、某些商品价格）表现出“长记忆性”：过去的变化会以缓慢衰减的方式影响未来。为了刻画这种特性，我们需要推广标准布朗运动。这就是 分数布朗运动 。 定义 ：分数布朗运动 \(B_ H(t)\) 是一个连续时间的高斯过程，其均值为0，且协方差函数为： \[ E[ B_ H(t) B_ H(s) ] = \frac{1}{2} (|t|^{2H} + |s|^{2H} - |t-s|^{2H}) \] 其中，核心参数 \(H\) 称为 赫斯特指数 ，取值范围是 \(0 < H < 1\)。 核心：赫斯特指数的含义与分类 \(H\) 是控制和理解分数布朗运动行为的关键。它直接关联到增量的相关性结构。 H = 1/2 : 此时，协方差函数退化为 \(min(t, s)\)，这正是 标准布朗运动 。其增量为零均值、不相关（对于高斯过程也即独立）的随机变量。 H > 1/2 : 此时过程具有 长记忆性 或 持久性 。直观上，如果过去是上升趋势，那么未来也更可能继续上升（正相关性）。其增量呈 长程正相关 。方差随时间的增长速度比标准布朗运动更快（\(t^{2H}\)）。 H < 1/2 : 此时过程具有 反持久性 或均值回归特性。如果过去是上升的，那么未来更可能下降以“拉回”均值（负相关性）。其增量呈 负相关 。方差随时间的增长速度比标准布朗运动更慢。 特性：分数布朗运动的重要数学性质 自相似性 : 对任意 \(a > 0\)，有 \(B_ H(at) \overset{d}{=} a^H B_ H(t)\)。这意味着时间尺度缩放后，统计特性以幂律形式缩放，\(H\) 就是缩放指数。这是分形特性的体现。 增量平稳性 : 其增量 \(B_ H(t) - B_ H(s)\) 的分布只依赖于时间差 \(t-s\)，是平稳的。 长程依赖性 : 当 \(H > 1/2\) 时，增量的自相关函数 \(C(n) = Corr[ B_ H(1), B_ H(n+1)-B_ H(n) ]\) 以幂律形式缓慢衰减：\(C(n) \sim H(2H-1)n^{2H-2}\)（当 \(n \to \infty\)）。这意味着即使相隔很远的增量之间也存在（虽小但）不可忽略的相关性，这是“长记忆”的严格数学表述。 非半鞅性 : 除了 \(H = 1/2\) 外，分数布朗运动 不是半鞅 。这是一个至关重要的缺陷，因为它意味着无法使用经典的随机积分（伊藤积分）和与之关联的 风险中性定价理论 。这使得在无套利框架下用分数布朗运动直接为原生资产（如股票价格）建模变得非常棘手，因为会导致套利机会。 金融应用：焦点与挑战 由于非半鞅性带来的套利难题，直接使用分数布朗运动为股票价格建模在经典连续时间金融理论中不被接受。 主要的应用方向转向了描述 波动率 和 利率 等不可交易或非直接交易的风险因子的动态过程。这些过程不要求是半鞅，长记忆性刻画了其聚集性和持续性。例如，可以用分数布朗运动驱动随机波动率模型中的波动率过程。 另一个重要应用是刻画 资产收益序列的长记忆性 。通过分析收益率绝对值或平方序列（作为波动率的代理）的自相关性，可以估计其 \(H\) 值，通常发现其显著大于0.5，这为基于长记忆的波动率预测模型（如FIGARCH模型）提供了依据。 模型与估计 常见模型 ： 分数布朗运动驱动的随机微分方程 ：例如，\(dS_ t = \mu S_ t dt + \sigma S_ t dB_ H(t)\)。但需注意其数学处理和经济学解释的复杂性。 分数积分过程 ：用分数积分将短记忆冲击转换为长记忆过程，是构建长记忆时间序列模型的基础。 FIGARCH模型 ：在GARCH框架中引入分数差分算子，以刻画波动率的长记忆性。 Hurst指数估计方法 ： 重标极差分析 ：经典的R/S分析法，通过计算重标极差统计量来估计 \(H\)。 方差时间法 ：分析不同时间聚合尺度上方差的变化规律。 小波分析法 ：利用小波变换系数在不同尺度上的能量来估计 \(H\)，是目前较稳健的方法。 极大似然估计 ：在给定模型假设下进行参数估计。