格林函数

1. 基本概念引入
   格林函数是求解线性非齐次微分方程的一种核心工具。它本质上描述了系统在点源激励下的响应。以物理视角看，若将非齐次项视为“源”，格林函数即是该源在空间某点产生的影响。例如，在静电学中，泊松方程 \(\nabla^2 \phi = -\rho/\epsilon_0\) 的格林函数对应一个点电荷产生的电势。

2. 数学定义与形式
   对于线性微分算子 \(L\)（如 \(L = \nabla^2\)），格林函数 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')\) 满足方程：

\[ L G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \]

其中 \(\delta\) 是狄拉克δ函数，表示位于 \(\mathbf{r}'\) 的点源。解非齐次方程 \(L u(\mathbf{r}) = f(\mathbf{r})\) 时，解可表示为：

\[ u(\mathbf{r}) = \int G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') f(\mathbf{r}') d\mathbf{r}' \]

这一公式通过叠加点源响应得到任意源 \(f(\mathbf{r})\) 的解。

3. 边界条件的处理
   格林函数需满足特定边界条件（如狄利克雷条件 \(G=0\) 或诺伊曼条件 \(\partial G/\partial n=0\) 在边界上）。以拉普拉斯方程为例，若要求解 \(\nabla^2 u = 0\) 且 \(u|_{\partial \Omega} = g\)，可构造满足齐次边界条件的格林函数，解表示为：

\[ u(\mathbf{r}) = \oint_{\partial \Omega} g(\mathbf{r}') \frac{\partial G}{\partial n'} dS' \]

此处格林函数将边界值的影响传播到区域内部。

4. 实例：一维泊松方程
   考虑方程 \(-u''(x) = f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上，边界条件 \(u(0)=u(1)=0\)。格林函数需满足：

\[ -\frac{d^2 G}{dx^2} = \delta(x-s), \quad G(0,s)=G(1,s)=0 \]

通过分段积分得到：

\[ G(x,s) = \begin{cases} x(1-s) & x \leq s \\ s(1-x) & x > s \end{cases} \]

解即为 \(u(x) = \int_0^1 G(x,s) f(s) ds\)。

5. 与传播子的联系
   在数学物理中，格林函数常被称为“传播子”，如量子力学中的亥姆霍兹-费曼传播子。它描述系统从时空点 \((t', \mathbf{r}')\) 到 \((t, \mathbf{r})\) 的演化，与时间有关的格林函数满足含时微分方程（如薛定谔方程），反映因果性。

6. 推广与重要性
   格林函数方法可推广至波动方程、热传导方程等，并应用于量子场论（费曼传播子）、电磁学（并矢格林函数）等领域。其优势在于将复杂源问题转化为点源的叠加，为线性系统提供统一求解框架。