环的零因子与正则元

字数 2408 2025-12-15 16:47:11

环的零因子与正则元

我们先从线性代数中熟悉的概念开始，再推广到更一般的代数结构。在线性代数中，对于一个矩阵 \(A\)，如果存在非零向量 \(x\) 使得 \(Ax = 0\)，则 \(x\) 位于 \(A\) 的零空间（核）中，此时 \(A\) 是奇异的（不可逆）。在一般的环论中，这一思想被抽象为“零因子”的概念。

第一步：零因子的定义
设 \(R\) 是一个环（我们通常假设环有乘法单位元 \(1 \neq 0\)）。一个元素 \(a \in R\) 称为一个左零因子，如果存在一个非零元素 \(b \in R\)（即 \(b \neq 0\)），使得 \(ab = 0\)。类似地，\(a\) 称为一个右零因子，如果存在非零元素 \(c \in R\)，使得 \(ca = 0\)。如果 \(a\) 既是左零因子又是右零因子，就简称为零因子。

第二步：平凡的例子与重要观察

在任意环中，元素 \(0\) 总是满足 \(0 \cdot r = r \cdot 0 = 0\)，但我们不认为 \(0\) 是零因子（定义中明确要求存在“非零”的 \(b\) 或 \(c\)）。所以零因子一定是非零元素。
考虑整数环 \(\mathbb{Z}\)。如果两个非零整数相乘得零，这是不可能的。所以 \(\mathbb{Z}\) 中没有（非零的）零因子。
考虑模 \(n\) 的剩余类环 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)。如果 \(n\) 是合数，设 \(n = k \cdot m\)，且 \(1 < k, m < n\)，那么在环中，\([k] \cdot [m] = [n] = [0]\)，但 \([k]\) 和 \([m]\) 都不是零。所以 \([k]\) 和 \([m]\) 都是零因子。
关键点：零因子的存在意味着环中存在一种“非平凡的”相乘为零的方式，这破坏了环中类似于整数乘法的“消去律”。

第三步：与消去律的联系——正则元
与零因子的概念相对立的是“正则元”。一个元素 \(a \in R\) 称为左正则元（或左非零因子），如果由 \(ab = 0\) 能推出 \(b = 0\)（即左乘 \(a\) 的映射是单射）。类似定义右正则元。如果 \(a\) 既是左正则元又是右正则元，就称为正则元。
显然：

在交换环中，左零因子、右零因子、左正则元、右正则元的概念都统一为零因子和正则元。
正则元就是满足乘法消去律的元素：如果 \(a\) 是左正则元，那么 \(ab = ac\) 蕴含 \(b = c\)。
在整数环 \(\mathbb{Z}\) 中，所有非零元素都是正则元。在 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 中，\([k]\) 是正则元当且仅当 \(\gcd(k, n) = 1\)（即 \(k\) 与 \(n\) 互质）。

第四步：零因子与可逆元的关系
一个自然的问题是：可逆元（即存在乘法逆元的元素）是正则元吗？答案是肯定的。设 \(a\) 可逆，其逆为 \(a^{-1}\)。如果 \(ab = 0\)，两边左乘 \(a^{-1}\) 得到 \(b = 0\)，所以 \(a\) 是左正则元（同理是右正则元）。因此：

\[\text{可逆元} \subset \text{正则元} \]

但反过来不成立。例如在整数环 \(\mathbb{Z}\) 中，\(2\) 是正则元但不可逆（在 \(\mathbb{Z}\) 内没有乘法逆元）。这个例子也表明，研究正则元是比可逆元更基础的性质。

第五步：零因子集的几何与代数意义
在交换环 \(R\) 中，所有零因子的集合记作 \(\text{ZD}(R)\)。它可以表示成一些特殊理想（称为伴随素理想）的并集。一个关键事实是：

\[\text{ZD}(R) = \bigcup_{0 \neq x \in R} (0 : x) \]

其中 \((0 : x) = \{ r \in R \mid rx = 0 \}\) 是 \(x\) 的零化子。这个集合包含了所有“杀死”某个非零元素的环元素。
零因子的存在性深刻影响了环的结构。例如，一个没有非零零因子的交换环称为整环（Domain），这是代数几何和代数数论中最基本的环类型之一（如整数环、域上的多项式环）。

第六步：从元素到模的推广
零因子的概念可以推广到模上。设 \(M\) 是一个左 \(R\)-模。一个元素 \(r \in R\) 称为 \(M\) 的零化子或与 \(M\) 相关的零因子，如果存在非零元素 \(m \in M\) 使得 \(r m = 0\)。所有这样的 \(r\) 的集合记作 \(\text{ZD}_R(M)\)，它是 \(R\) 的一个理想（若 \(R\) 交换）。当 \(M = R\)（将环自身视为模）时，我们就回到了环的零因子集。
这个概念在研究模的局部化、深度、Cohen-Macaulay性质时至关重要。正则元序列（即一系列元素，其中每个元素都是模掉前面元素生成的子模后的正则元）是同调维数和模的“正则性”度量的基础。

总结一下你的学习路径：你从矩阵的奇异性出发，抽象出了环中“零因子”的定义；通过对比认识了它的对立面“正则元”及它与消去律、可逆元的关系；在交换环中看到了它与整环这一核心概念的关联；最后了解到这个概念可以自然推广到模论，成为研究模的结构的工具。

环的零因子与正则元我们先从线性代数中熟悉的概念开始，再推广到更一般的代数结构。在线性代数中，对于一个矩阵 \( A \)，如果存在非零向量 \( x \) 使得 \( Ax = 0 \)，则 \( x \) 位于 \( A \) 的零空间（核）中，此时 \( A \) 是奇异的（不可逆）。在一般的环论中，这一思想被抽象为“零因子”的概念。第一步：零因子的定义设 \( R \) 是一个环（我们通常假设环有乘法单位元 \( 1 \neq 0 \)）。一个元素 \( a \in R \) 称为一个左零因子，如果存在一个非零元素 \( b \in R \)（即 \( b \neq 0 \)），使得 \( ab = 0 \)。类似地，\( a \) 称为一个右零因子，如果存在非零元素 \( c \in R \)，使得 \( ca = 0 \)。如果 \( a \) 既是左零因子又是右零因子，就简称为零因子。第二步：平凡的例子与重要观察在任意环中，元素 \( 0 \) 总是满足 \( 0 \cdot r = r \cdot 0 = 0 \)，但我们不认为 \( 0 \) 是零因子（定义中明确要求存在“非零”的 \( b \) 或 \( c \)）。所以零因子一定是非零元素。考虑整数环 \( \mathbb{Z} \)。如果两个非零整数相乘得零，这是不可能的。所以 \( \mathbb{Z} \) 中没有（非零的）零因子。考虑模 \( n \) 的剩余类环 \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \)。如果 \( n \) 是合数，设 \( n = k \cdot m \)，且 \( 1 < k, m < n \)，那么在环中，\( [ k] \cdot [ m] = [ n] = [ 0] \)，但 \( [ k] \) 和 \( [ m] \) 都不是零。所以 \( [ k] \) 和 \( [ m ] \) 都是零因子。关键点：零因子的存在意味着环中存在一种“非平凡的”相乘为零的方式，这破坏了环中类似于整数乘法的“消去律”。第三步：与消去律的联系——正则元与零因子的概念相对立的是“正则元”。一个元素 \( a \in R \) 称为左正则元（或左非零因子），如果由 \( ab = 0 \) 能推出 \( b = 0 \)（即左乘 \( a \) 的映射是单射）。类似定义右正则元。如果 \( a \) 既是左正则元又是右正则元，就称为正则元。显然：在交换环中，左零因子、右零因子、左正则元、右正则元的概念都统一为零因子和正则元。正则元就是满足乘法消去律的元素：如果 \( a \) 是左正则元，那么 \( ab = ac \) 蕴含 \( b = c \)。在整数环 \( \mathbb{Z} \) 中，所有非零元素都是正则元。在 \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) 中，\( [ k ] \) 是正则元当且仅当 \( \gcd(k, n) = 1 \)（即 \( k \) 与 \( n \) 互质）。第四步：零因子与可逆元的关系一个自然的问题是：可逆元（即存在乘法逆元的元素）是正则元吗？答案是肯定的。设 \( a \) 可逆，其逆为 \( a^{-1} \)。如果 \( ab = 0 \)，两边左乘 \( a^{-1} \) 得到 \( b = 0 \)，所以 \( a \) 是左正则元（同理是右正则元）。因此： \[ \text{可逆元} \subset \text{正则元} \] 但反过来不成立。例如在整数环 \( \mathbb{Z} \) 中，\( 2 \) 是正则元但不可逆（在 \( \mathbb{Z} \) 内没有乘法逆元）。这个例子也表明，研究正则元是比可逆元更基础的性质。第五步：零因子集的几何与代数意义在交换环 \( R \) 中，所有零因子的集合记作 \( \text{ZD}(R) \)。它可以表示成一些特殊理想（称为伴随素理想）的并集。一个关键事实是： \[ \text{ZD}(R) = \bigcup_ {0 \neq x \in R} (0 : x) \] 其中 \( (0 : x) = \{ r \in R \mid rx = 0 \} \) 是 \( x \) 的零化子。这个集合包含了所有“杀死”某个非零元素的环元素。零因子的存在性深刻影响了环的结构。例如，一个没有非零零因子的交换环称为整环（Domain），这是代数几何和代数数论中最基本的环类型之一（如整数环、域上的多项式环）。第六步：从元素到模的推广零因子的概念可以推广到模上。设 \( M \) 是一个左 \( R \)-模。一个元素 \( r \in R \) 称为 \( M \) 的零化子或与 \( M \) 相关的零因子，如果存在非零元素 \( m \in M \) 使得 \( r m = 0 \)。所有这样的 \( r \) 的集合记作 \( \text{ZD}_ R(M) \)，它是 \( R \) 的一个理想（若 \( R \) 交换）。当 \( M = R \)（将环自身视为模）时，我们就回到了环的零因子集。这个概念在研究模的局部化、深度、Cohen-Macaulay性质时至关重要。正则元序列（即一系列元素，其中每个元素都是模掉前面元素生成的子模后的正则元）是同调维数和模的“正则性”度量的基础。总结一下你的学习路径：你从矩阵的奇异性出发，抽象出了环中“零因子”的定义；通过对比认识了它的对立面“正则元”及它与消去律、可逆元的关系；在交换环中看到了它与整环这一核心概念的关联；最后了解到这个概念可以自然推广到模论，成为研究模的结构的工具。