卡门涡街的流体力学模型与数学描述（续）

字数 3986 2025-12-15 15:12:40

卡门涡街的流体力学模型与数学描述（续）

根据您提供的列表，您曾学习过“卡门涡街的流体力学模型与数学描述”，但该词条主要侧重于物理现象和经典数学模型介绍。现在，我将以此为基础，深入讲解卡门涡街的稳定性分析理论，这是理解其特定脱落频率、涡街形态锁定以及预测涡脱频率（斯特劳哈尔数）的核心数学工具。

第一步：物理问题与数学模型的回顾与提炼

首先，我们明确分析对象。卡门涡街是流体（通常视为不可压缩、粘性的牛顿流体）绕过一个二维圆柱体时，在特定雷诺数（Re）范围内，在尾流中形成的两排交错排列、周期性脱落的旋涡结构。

控制方程：流体运动由纳维-斯托克斯方程（N-S方程） 描述。对于不可压缩流，方程为：

动量方程：$\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + u \nabla^2 \vec{u}$
连续性方程：$\nabla \cdot \vec{u} = 0$
其中 $\vec{u}$ 是速度场，$p$ 是压力，$\rho$ 是密度，$u$ 是运动粘度。

基本流：我们分析的对象并非静止流动，而是一个稳态解或平均流。在低到中等雷诺数下，存在一个二维、定常、对称的流动状态（即使现实中观察不到，但在数学上可以定义），记为 $\vec{U}(x, y)$ 和对应的压力场 $P(x, y)$。这个基本流满足稳态N-S方程。

第二步：线性稳定性分析的基本思想

卡门涡街的产生，意味着这个稳态的基本流在特定条件下变得不稳定。微小的扰动会随时间增长，最终演化为我们观察到的周期性涡街。线性稳定性分析旨在回答：多小的扰动开始以指数形式增长？其初始的增长率和空间形态如何？

引入小扰动：我们将总流场分解为基本流加上一个小扰动：

\[\vec{u} = \vec{U} + \vec{u}‘, \quad p = P + p’ \]

其中 $\vec{u}‘$ 和 $p’$ 是扰动量和压力扰动，且假设其幅值远小于基本流。

线性化：将上述分解代入完整的N-S方程，并减去基本流所满足的方程。由于扰动很小，我们忽略所有扰动量的乘积项（即非线性项 $(\vec{u}’ \cdot \nabla) \vec{u}’$）。这样，我们得到了关于扰动量的线性化纳维-斯托克斯方程：

\[\frac{\partial \vec{u}’}{\partial t} + (\vec{U} \cdot \nabla) \vec{u}’ + (\vec{u}’ \cdot \nabla) \vec{U} = -\frac{1}{\rho} \nabla p’ + u \nabla^2 \vec{u}’ \]

\[\nabla \cdot \vec{u}’ = 0 \]

这是一个线性偏微分方程组，其系数由基本流 $\vec{U}$ 决定。

第三步：正则模分析与特征值问题

为了求解上述线性方程，我们采用正则模分析。假设扰动具有随时间指数变化、在空间特定方向（流向）呈周期性的形式。对于圆柱绕流，由于流动在展向（z方向）是均匀的，且基本流是二维的，我们寻找二维扰动。

扰动形式假设：设扰动具有如下分离变量形式：

\[\vec{u}'(x, y, t) = \hat{\vec{u}}(y) e^{i(\alpha x - \omega t)} + c.c. \]

\[p'(x, y, t) = \hat{p}(y) e^{i(\alpha x - \omega t)} + c.c. \]

这里：

$\alpha$ 是实数，表示流向（x方向）的波数。扰动在x方向具有周期性，波长 $\lambda = 2\pi/\alpha$。
$\omega = \omega_r + i\omega_i$ 是复数频率。
$\hat{\vec{u}}(y) = [\hat{u}(y), \hat{v}(y)]$ 是扰动在横向（y方向，垂直于流向和柱体轴线）的振幅函数，它描述了扰动在垂直于流向的截面上的结构。
- c.c. 表示复共轭，以保证结果为实数。

稳定性判据：将上述形式代入线性化方程后，时间导数 $\partial/\partial t$ 变为 $-i\omega$，流向偏导 $\partial/\partial x$ 变为 $i\alpha$。关键点在于 $\omega$ 的虚部 $\omega_i$：

若 $\omega_i > 0$，扰动振幅随时间指数增长 $e^{\omega_i t}$，流动线性不稳定。
若 $\omega_i < 0$，扰动衰减，流动线性稳定。
若 $\omega_i = 0$，扰动幅值不变，处于中性稳定边界。此时 $\omega_r$ 决定了扰动的振荡频率。

奥尔-索末菲方程：通过代数运算，可以从线性化N-S方程中消去压力扰动 $\hat{p}$ 和流向速度扰动 $\hat{u}$，最终得到一个关于法向速度扰动振幅 $\hat{v}(y)$ 的四阶常微分方程——奥尔-索末菲方程：

\[(U - c)(\hat{v}’’ - \alpha^2 \hat{v}) - U’’\hat{v} = \frac{1}{i\alpha Re}(\hat{v}’’’’ - 2\alpha^2 \hat{v}’’ + \alpha^4 \hat{v}) \]

其中：

$U = U(y)$ 是基本流的流向速度剖面（在圆柱尾流中，它是y的函数，在中心线对称）。
$c = \omega / \alpha = c_r + i c_i$ 是复数相速度。$c_i = \omega_i / \alpha$ 决定了稳定性。
$Re = UL/u$ 是雷诺数，$L$ 是特征长度（如圆柱直径D）。
撇号 $‘$ 表示对y求导。

这个方程连同无滑移边界条件（在固体壁面和无穷远处，扰动速度为零：$\hat{v} = \hat{v}’ = 0$），构成了一个关于特征函数 $\hat{v}(y)$ 和特征值对 $(\alpha, c)$ 或 $(\alpha, \omega)$ 的特征值问题。

第四步：求解与稳定性图谱（中性曲线）

对于给定的基本流速度剖面 $U(y)$ 和雷诺数 $Re$，奥尔-索末菲方程在边界条件下有非零解 $\hat{v}$ 的条件，决定了特征值 $c$ 和 $\alpha$ 之间必须满足的色散关系：$D(\alpha, c; Re) = 0$。

数值求解：由于方程复杂，基本流 $U(y)$ 通常来自实验或高精度数值模拟的时均流场。该特征值问题通常用谱方法（如切比雪夫配置点法）进行高精度数值求解。
寻找中性曲线：我们最关心的是中性稳定性边界，即 $c_i = 0$ 或 $\omega_i = 0$ 的曲线。在参数空间 $(Re, \alpha)$ 中，这条曲线被称为中性曲线。

在中性曲线上，扰动既不增长也不衰减。它通常将 $(Re, \alpha)$ 平面划分为稳定区域（$c_i<0$）和不稳定区域（$c_i>0$）。
对于圆柱绕流，中性曲线通常呈一个“舌形”区域。当 $Re$ 低于某个临界雷诺数 $Re_{cr}$（对于圆柱，约在40-50之间）时，所有波数 $\alpha$ 的扰动都是稳定的。当 $Re > Re_{cr}$ 时，存在一个有限的 $\alpha$ 范围，其扰动是不稳定的。

最不稳定模式：在不稳定区域内，存在一个使增长率 $\omega_i$ 达到最大的波数 $\alpha_m$ 和对应的频率 $\omega_r^m$。这个最不稳定模式被认为主导了涡街形成的初始阶段，其频率 $\omega_r^m$ 与最终形成的涡街脱落频率 $f$ 密切相关。

第五步：连接物理现象与预测

线性稳定性理论的结果，为我们理解卡门涡街提供了定量预测：

斯特劳哈尔数预测：涡街脱落频率 $f$ 对应的无量纲数即斯特劳哈尔数 $St = fD / U_{\infty}$。线性稳定性分析得到的最不稳定频率 $\omega_r^m$ 与 $f$ 的关系为 $f = \omega_r^m U_{\infty} / (2\pi D)$（需注意特征尺度的转换）。因此，计算出的 $St$ 可以作为雷诺数的函数，与实验测量值进行比较。在亚临界雷诺数范围内（~300），预测值与实验符合得很好。
涡街间距比：最不稳定模式的流向波数 $\alpha_m$ 直接对应于涡街形成时的初始波长 $\lambda_m = 2\pi / \alpha_m$。这与实验中观测到的同列涡街相邻涡旋的间距 $a$ 有关（通常 $a \approx \lambda_m$）。结合交错排列的特性，可以估算纵横比 $h/a$（$h$为两列涡街的横向间距）。
非线性饱和：线性理论只能预测不稳定的开始和初始增长率。当扰动增长到有限幅值时，非线性效应变得重要，最终使扰动饱和，形成稳定的、有限振幅的周期性涡街。这需要弱非线性理论（如朗道方程）或完全的非线性数值模拟来研究。

总结：卡门涡街的稳定性分析，是将复杂的流体失稳现象，通过线性化和正则模分析，归结为求解一个由基本流剖面决定的奥尔-索末菲特征值问题。其解给出的中性曲线和最不稳定模式，成功预测了涡街发生的临界条件、脱落频率和初始空间尺度，是连接物理观察与流体动力学基本方程的经典数学范例。

卡门涡街的流体力学模型与数学描述（续）根据您提供的列表，您曾学习过“卡门涡街的流体力学模型与数学描述”，但该词条主要侧重于物理现象和经典数学模型介绍。现在，我将以此为基础，深入讲解卡门涡街的稳定性分析理论，这是理解其特定脱落频率、涡街形态锁定以及预测涡脱频率（斯特劳哈尔数）的核心数学工具。第一步：物理问题与数学模型的回顾与提炼首先，我们明确分析对象。卡门涡街是流体（通常视为不可压缩、粘性的牛顿流体）绕过一个二维圆柱体时，在特定雷诺数（Re）范围内，在尾流中形成的两排交错排列、周期性脱落的旋涡结构。控制方程：流体运动由纳维-斯托克斯方程（N-S方程）描述。对于不可压缩流，方程为：动量方程：$\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + u \nabla^2 \vec{u}$ 连续性方程：$\nabla \cdot \vec{u} = 0$ 其中 $\vec{u}$ 是速度场，$p$ 是压力，$\rho$ 是密度，$u$ 是运动粘度。基本流：我们分析的对象并非静止流动，而是一个稳态解或平均流。在低到中等雷诺数下，存在一个二维、定常、对称的流动状态（即使现实中观察不到，但在数学上可以定义），记为 $\vec{U}(x, y)$ 和对应的压力场 $P(x, y)$。这个基本流满足稳态N-S方程。第二步：线性稳定性分析的基本思想卡门涡街的产生，意味着这个稳态的基本流在特定条件下变得不稳定。微小的扰动会随时间增长，最终演化为我们观察到的周期性涡街。线性稳定性分析旨在回答：多小的扰动开始以指数形式增长？其初始的增长率和空间形态如何？引入小扰动：我们将总流场分解为基本流加上一个小扰动： $$\vec{u} = \vec{U} + \vec{u}‘, \quad p = P + p’$$ 其中 $\vec{u}‘$ 和 $p’$ 是扰动量和压力扰动，且假设其幅值远小于基本流。线性化：将上述分解代入完整的N-S方程，并减去基本流所满足的方程。由于扰动很小，我们忽略所有扰动量的乘积项（即非线性项 $(\vec{u}’ \cdot \nabla) \vec{u}’$）。这样，我们得到了关于扰动量的线性化纳维-斯托克斯方程： $$\frac{\partial \vec{u}’}{\partial t} + (\vec{U} \cdot \nabla) \vec{u}’ + (\vec{u}’ \cdot \nabla) \vec{U} = -\frac{1}{\rho} \nabla p’ + u \nabla^2 \vec{u}’$$ $$\nabla \cdot \vec{u}’ = 0$$ 这是一个线性偏微分方程组，其系数由基本流 $\vec{U}$ 决定。第三步：正则模分析与特征值问题为了求解上述线性方程，我们采用正则模分析。假设扰动具有随时间指数变化、在空间特定方向（流向）呈周期性的形式。对于圆柱绕流，由于流动在展向（z方向）是均匀的，且基本流是二维的，我们寻找二维扰动。扰动形式假设：设扰动具有如下分离变量形式： $$\vec{u}'(x, y, t) = \hat{\vec{u}}(y) e^{i(\alpha x - \omega t)} + c.c.$$ $$p'(x, y, t) = \hat{p}(y) e^{i(\alpha x - \omega t)} + c.c.$$ 这里： $\alpha$ 是实数，表示流向（x方向）的波数。扰动在x方向具有周期性，波长 $\lambda = 2\pi/\alpha$。 $\omega = \omega_ r + i\omega_ i$ 是复数频率。 $\hat{\vec{u}}(y) = [ \hat{u}(y), \hat{v}(y)]$ 是扰动在横向（y方向，垂直于流向和柱体轴线）的振幅函数，它描述了扰动在垂直于流向的截面上的结构。 c.c. 表示复共轭，以保证结果为实数。稳定性判据：将上述形式代入线性化方程后，时间导数 $\partial/\partial t$ 变为 $-i\omega$，流向偏导 $\partial/\partial x$ 变为 $i\alpha$。关键点在于 $\omega$ 的虚部 $\omega_ i$：若 $\omega_ i > 0$，扰动振幅随时间指数增长 $e^{\omega_ i t}$，流动线性不稳定。若 $\omega_ i < 0$，扰动衰减，流动线性稳定。若 $\omega_ i = 0$，扰动幅值不变，处于中性稳定边界。此时 $\omega_ r$ 决定了扰动的振荡频率。奥尔-索末菲方程：通过代数运算，可以从线性化N-S方程中消去压力扰动 $\hat{p}$ 和流向速度扰动 $\hat{u}$，最终得到一个关于法向速度扰动振幅 $\hat{v}(y)$ 的四阶常微分方程—— 奥尔-索末菲方程： $$(U - c)(\hat{v}’’ - \alpha^2 \hat{v}) - U’’\hat{v} = \frac{1}{i\alpha Re}(\hat{v}’’’’ - 2\alpha^2 \hat{v}’’ + \alpha^4 \hat{v})$$ 其中： $U = U(y)$ 是基本流的流向速度剖面（在圆柱尾流中，它是y的函数，在中心线对称）。 $c = \omega / \alpha = c_ r + i c_ i$ 是复数相速度。$c_ i = \omega_ i / \alpha$ 决定了稳定性。 $Re = UL/u$ 是雷诺数，$L$ 是特征长度（如圆柱直径D）。撇号 $‘$ 表示对y求导。这个方程连同无滑移边界条件（在固体壁面和无穷远处，扰动速度为零：$\hat{v} = \hat{v}’ = 0$），构成了一个关于特征函数 $\hat{v}(y)$ 和特征值对 $(\alpha, c)$ 或 $(\alpha, \omega)$ 的特征值问题。第四步：求解与稳定性图谱（中性曲线）对于给定的基本流速度剖面 $U(y)$ 和雷诺数 $Re$，奥尔-索末菲方程在边界条件下有非零解 $\hat{v}$ 的条件，决定了特征值 $c$ 和 $\alpha$ 之间必须满足的色散关系：$D(\alpha, c; Re) = 0$。数值求解：由于方程复杂，基本流 $U(y)$ 通常来自实验或高精度数值模拟的时均流场。该特征值问题通常用谱方法（如切比雪夫配置点法）进行高精度数值求解。寻找中性曲线：我们最关心的是中性稳定性边界，即 $c_ i = 0$ 或 $\omega_ i = 0$ 的曲线。在参数空间 $(Re, \alpha)$ 中，这条曲线被称为中性曲线。在中性曲线上，扰动既不增长也不衰减。它通常将 $(Re, \alpha)$ 平面划分为稳定区域（$c_ i<0$）和不稳定区域（$c_ i>0$）。对于圆柱绕流，中性曲线通常呈一个“舌形”区域。当 $Re$ 低于某个临界雷诺数 $Re_ {cr}$（对于圆柱，约在40-50之间）时，所有波数 $\alpha$ 的扰动都是稳定的。当 $Re > Re_ {cr}$ 时，存在一个有限的 $\alpha$ 范围，其扰动是不稳定的。最不稳定模式：在不稳定区域内，存在一个使增长率 $\omega_ i$ 达到最大的波数 $\alpha_ m$ 和对应的频率 $\omega_ r^m$。这个最不稳定模式被认为主导了涡街形成的初始阶段，其频率 $\omega_ r^m$ 与最终形成的涡街脱落频率 $f$ 密切相关。第五步：连接物理现象与预测线性稳定性理论的结果，为我们理解卡门涡街提供了定量预测：斯特劳哈尔数预测：涡街脱落频率 $f$ 对应的无量纲数即斯特劳哈尔数 $St = fD / U_ {\infty}$。线性稳定性分析得到的最不稳定频率 $\omega_ r^m$ 与 $f$ 的关系为 $f = \omega_ r^m U_ {\infty} / (2\pi D)$（需注意特征尺度的转换）。因此，计算出的 $St$ 可以作为雷诺数的函数，与实验测量值进行比较。在亚临界雷诺数范围内（~300），预测值与实验符合得很好。涡街间距比：最不稳定模式的流向波数 $\alpha_ m$ 直接对应于涡街形成时的初始波长 $\lambda_ m = 2\pi / \alpha_ m$。这与实验中观测到的同列涡街相邻涡旋的间距 $a$ 有关（通常 $a \approx \lambda_ m$）。结合交错排列的特性，可以估算纵横比 $h/a$（$h$为两列涡街的横向间距）。非线性饱和：线性理论只能预测不稳定的开始和初始增长率。当扰动增长到有限幅值时，非线性效应变得重要，最终使扰动饱和，形成稳定的、有限振幅的周期性涡街。这需要弱非线性理论（如朗道方程）或完全的非线性数值模拟来研究。总结：卡门涡街的稳定性分析，是将复杂的流体失稳现象，通过线性化和正则模分析，归结为求解一个由基本流剖面决定的奥尔-索末菲特征值问题。其解给出的中性曲线和最不稳定模式，成功预测了涡街发生的临界条件、脱落频率和初始空间尺度，是连接物理观察与流体动力学基本方程的经典数学范例。