双曲抛物面的参数化与等温参数
我将为您详细讲解双曲抛物面的参数化方法，并进一步解释其等温参数的概念与求解过程，确保由浅入深、循序渐进。
1. 双曲抛物面的基本认识
双曲抛物面是一种经典的直纹二次曲面，因其形状类似马鞍，也被称为马鞍面。其标准方程（中心位于原点，对称轴为z轴）可写为：
\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z \]
其中 \(a\) 和 \(b\) 是非零实常数，控制着曲面在 \(x\) 和 \(y\) 方向的“开口”程度。这个方程揭示了两条关键信息：
- 用平行于 \(xOz\) 平面的平面 \(y = c\) 截曲面，截线是一条开口向上的抛物线。
- 用平行于 \(yOz\) 平面的平面 \(x = c\) 截曲面，截线是一条开口向下的抛物线。
这种上下相反的抛物线截面，是其呈现马鞍形状的根本原因。
2. 双曲抛物面的标准参数化
最常用且直观的参数化方式是利用其直纹面性质。我们可以通过引入两个参数 \(u\) 和 \(v\)，将曲面表示为两族直线的集合。
我们将标准方程稍作变形：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z\)。可以将其分解为因式形式：
\[\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} \right) \left( \frac{x}{a} - \frac{y}{b} \right) = 2z \]
这个启发我们令：
\[u = \frac{x}{a} + \frac{y}{b}, \quad v = \frac{x}{a} - \frac{y}{b} \]
则方程简化为 \(uv = 2z\)。但这并非直接的参数化。更常用的方法是固定一个因子的组合，将其作为直线的方向，另一种组合作为移动标架。
推导标准参数方程：
令：
\[\begin{cases} x = a(u + v) \\ y = b(u - v) \\ z = 2uv \end{cases} \]
其中 \(u, v \in \mathbb{R}\)。让我们验证它满足原方程：
\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = (u+v)^2 - (u-v)^2 = (u^2+2uv+v^2) - (u^2-2uv+v^2) = 4uv \]
而 \(2z = 2 \cdot (2uv) = 4uv\)，完全相等。因此，参数方程 \(\mathbf{r}(u, v) = \left( a(u+v), \, b(u-v), \, 2uv \right)\) 确实表示了一个双曲抛物面。
几何意义（直纹面性质）：
- 若固定 \(u = u_0\)，则 \(\mathbf{r}(u_0, v) = (a(u_0+v), b(u_0-v), 2u_0 v)\)。这是关于 \(v\) 的线性函数，因此它表示一条直线（\(u\) 族直线）。
- 若固定 \(v = v_0\)，则 \(\mathbf{r}(u, v_0) = (a(u+v_0), b(u-v_0), 2u v_0)\) 同样是关于 \(u\) 的线性函数，表示另一条直线（\(v\) 族直线）。
这两族直线都完全落在曲面上，且曲面上的每一点恰好有两条直线（一族一条）经过。
3. 第一基本形式与度量
为了研究曲面的内蕴几何，我们需要计算其第一基本形式。第一基本形式是曲面上度量“长度”和“角度”的二次微分形式。
首先计算偏导数（切向量）：
\[\mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} = (a, b, 2v) \]
\[ \mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = (a, -b, 2u) \]
然后计算第一基本形式的系数 \(E, F, G\)：
\[E = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u = a^2 + b^2 + 4v^2 \]
\[ F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v = a^2 - b^2 + 4uv \]
\[ G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v = a^2 + b^2 + 4u^2 \]
因此，第一基本形式 \(ds^2\) 为：
\[ds^2 = E \, du^2 + 2F \, du \, dv + G \, dv^2 = (a^2+b^2+4v^2)du^2 + 2(a^2-b^2+4uv)du\,dv + (a^2+b^2+4u^2)dv^2 \]
我们可以看到，即使在这样一个标准参数化下，系数 \(E, F, G\) 是关于 \(u, v\) 的函数，而且 \(F \neq 0\)，这意味着 \(u\) 和 \(v\) 坐标线（即两族直线）并非处处正交。这个参数化产生的度量相对复杂。
4. 等温参数（等温坐标）的概念
等温参数是曲面参数化中一种非常特殊的坐标系。在这种参数化 \((s, t)\) 下，第一基本形式具有极其简单的形式：
\[ds^2 = \lambda(s, t)^2 (ds^2 + dt^2) = \lambda^2 (d\overline{s}^2 + d\overline{t}^2) \]
其中 \(\lambda(s, t) > 0\) 是一个标量函数，称为共形因子。这种形式的度量称为共形度量或等温度量。
关键性质：
- 角度保持（共形性）：在等温参数下，曲面上两条曲线在交点处的夹角，等于它们在参数平面 \((s, t)\) 上对应曲线的夹角。换句话说，参数映射是保角映射。
- 简化计算：许多复杂的微分几何方程（如测地线方程、极小曲面方程、高斯曲率公式）在等温参数下会变得形式简洁，易于分析和求解。
5. 为双曲抛物面寻找等温参数
我们的目标是：找到一组新的参数 \((\xi, \eta)\)，使得在新参数下，第一基本形式变为 \(\rho(\xi, \eta)^2 (d\xi^2 + d\eta^2)\)。
通常，这需要求解一个偏微分方程（贝尔特拉米方程），或者通过复分析的方法。对于双曲抛物面，我们可以采用一种构造性的方法。
第一步：复坐标变换
注意到我们的标准参数化 \(\mathbf{r}(u, v)\) 可以视为从 \((u, v)\) 平面到三维空间的映射。我们引入复变量：
\[w = u + iv, \quad \overline{w} = u - iv \]
其中 \(i\) 是虚数单位。反过来，\(u = \frac{w + \overline{w}}{2}\)， \(v = \frac{w - \overline{w}}{2i}\)。
第二步：将位置向量用复变量表示
代入原参数方程：
\[\begin{align*} x &= a(u+v) = a\left( \frac{w+\overline{w}}{2} + \frac{w-\overline{w}}{2i} \right) = a \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2i} \right) w + a \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2i} \right) \overline{w} \\ y &= b(u-v) = b\left( \frac{w+\overline{w}}{2} - \frac{w-\overline{w}}{2i} \right) = b \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2i} \right) w + b \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2i} \right) \overline{w} \\ z &= 2uv = 2 \cdot \frac{w+\overline{w}}{2} \cdot \frac{w-\overline{w}}{2i} = \frac{1}{i} (w^2 - \overline{w}^2)/2 = -\frac{i}{2}(w^2 - \overline{w}^2) \end{align*} \]
这个表达式虽然精确，但有些繁琐。我们可以尝试更巧妙的参数化起点。
第三步：一个已知的等温参数化形式
对于标准方程 \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\)（与 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z\) 仅差一个系数缩放，几何形状相同），一种已知的等温参数化可以通过双曲函数获得：
令：
\[\begin{cases} x = a \cosh \xi \cos \eta \\ y = b \cosh \xi \sin \eta \\ z = \frac{1}{2} \sinh \xi \cosh \xi \cos(2\eta) \quad \text{（这并非标准形式，验证复杂）} \end{cases} \]
但更常见的，对于马鞍面 \(z = xy\)（即 \(a=b=1/\sqrt{2}\) 的特殊情况），存在一个非常简洁的等温参数化。
第四步：以特殊情形 \(z = xy\) 为例推导
考虑最简单的双曲抛物面：\(z = xy\)。其参数化可为 \(\mathbf{r}(u, v) = (u, v, uv)\)。
计算第一基本形式系数：
\[E = 1+v^2, \quad F = uv, \quad G = 1+u^2 \]
度量 \(ds^2 = (1+v^2)du^2 + 2uv \, du \, dv + (1+u^2)dv^2\)。
寻找等温参数 \((\xi, \eta)\)，使得 \(du^2 + dv^2\) 与 \(d\xi^2 + d\eta^2\) 共形等价。这等价于要求复坐标 \(w = u+iv\) 满足，映射 \(w \to \mathbf{r}\) 是共形的。
可以验证，对于 \(z=xy\)，如果引入复指数映射：
\[u = e^{\xi} \cos \eta, \quad v = e^{\xi} \sin \eta \]
我们计算微分：
\[du = e^{\xi} \cos \eta \, d\xi - e^{\xi} \sin \eta \, d\eta \]
\[ dv = e^{\xi} \sin \eta \, d\xi + e^{\xi} \cos \eta \, d\eta \]
则
\[du^2 + dv^2 = e^{2\xi} (\cos^2 \eta + \sin^2 \eta)(d\xi^2 + d\eta^2) = e^{2\xi} (d\xi^2 + d\eta^2) \]
这说明从 \((\xi, \eta)\) 平面到 \((u, v)\) 平面的映射是共形的，共形因子为 \(e^{\xi}\)。然而，这并没有直接给出曲面度量的等温参数，因为曲面度量是 \(ds^2 = (1+v^2)du^2 + 2uv dudv + (1+u^2)dv^2\)，不仅仅是 \(du^2+dv^2\)。
实际上，对于 \(z=xy\)，一个经典的等温参数化是：
\[\mathbf{r}(\xi, \eta) = \left( \xi, \, \eta, \, \frac{1}{2}(\xi^2 - \eta^2) \right) \]
但这其实是另一种标准形式（旋转45度后的马鞍面）。计算其第一基本形式：
\[E = 1+\xi^2, \quad F = -\xi\eta, \quad G = 1+\eta^2 \]
仍然不是等温的。
真正的突破来自于使用解析函数。可以证明，如果令 \(f(w) = w^2/2\)，其中 \(w = \xi + i\eta\)，那么参数化
\[\mathbf{r}(\xi, \eta) = \left( \text{Re}(f(w)), \, \text{Im}(f(w)), \, \text{Re}(w) \cdot \text{Im}(w) \right) \]
不能直接得到等温形式。实际上，对于极小曲面（而非双曲抛物面）更容易找到等温参数。
第五步：一般双曲抛物面等温参数的存在性与困难
- 存在性定理：任何足够光滑的曲面局部上都存在等温参数（这是共形映射理论的基本结论）。因此，双曲抛物面局部上一定存在等温坐标。
- 构造困难：对于像双曲抛物面这样的非零常数高斯曲率曲面，其等温参数化通常不能用初等函数全局显式表示。需要通过求解偏微分方程（如拉普拉斯方程 \(\Delta u = 0\) 在特定度量下）来获得。
- 实用替代：在实践中，对于具体计算，通常会采用数值方法在给定区域上生成近似的等温参数化网格，而不是寻求封闭的解析表达式。
6. 等温参数的意义与应用
即使难以写出显式公式，理解等温参数对于双曲抛物面（以及所有曲面）依然至关重要：
- 曲率计算简化：在等温参数 \((\xi, \eta)\) 下，高斯曲率 \(K\) 的公式简化为 \(K = -\frac{1}{\lambda^2} \Delta (\ln \lambda)\)，其中 \(\Delta = \frac{\partial^2}{\partial \xi^2} + \frac{\partial^2}{\partial \eta^2}\) 是平面拉普拉斯算子。这比在一般参数下用第一、第二基本形式计算要简洁得多。
- 与极小曲面的联系：在等温参数下，曲面是极小曲面（平均曲率 \(H=0\)）的条件等价于坐标函数 \(x(\xi, \eta), y(\xi, \eta), z(\xi, \eta)\) 都是调和函数（即满足 \(\Delta x = \Delta y = \Delta z = 0\)）。虽然双曲抛物面不是极小曲面（其平均曲率非零），但这种参数化框架是研究曲面变形和优化的基础。
- 数值模拟与几何处理：在计算机图形学和几何处理中，将曲面参数化为等温坐标（共形映射），对于纹理映射、曲面平滑、网格生成等应用极其重要，因为它能最大程度地减少角度畸变。
总结：
我们从双曲抛物面的定义和标准参数化出发，理解了其作为直纹面的几何特性。然后，我们深入探讨了曲面内蕴几何的核心——第一基本形式，并指出了标准参数化下度量的复杂性。为了简化，我们引入了等温参数的理想概念，它是一种能使度量对角化且保角的优越坐标系。虽然对于双曲抛物面，全局显式的初等等温参数表达式通常难以获得，但其局部存在性是肯定的，且这种概念在理论分析和实际计算中扮演着关键角色，是连接曲面几何与分析学（复分析、偏微分方程）的重要桥梁。