模型论中的可定义子集 预备知识：结构、语言与公式 我们首先需要明确讨论的舞台。在模型论中，一个“结构”（或称“模型”）ℳ 为某个数学对象（如实数域 (ℝ, +, ×, 0, 1)、自然数集 (ℕ, +, ×, 0, 1) 或一个图）提供了一个精确的数学定义。它指定了一个论域（或称“承载集”）M，这是所讨论对象的全体个体构成的集合。同时，它解释了一个“一阶语言”L 中的所有符号：为每个常数符号指定 M 中的一个元素，为每个 n 元函数符号指定 M 上的一个 n 元函数，为每个 n 元关系符号指定 M 上的一个 n 元关系。例如，实数域结构 ℛ 的论域是 ℝ，解释符号“+”为实数加法，“≤”为实数间的小于等于关系。 语言 L 中的“公式”由这些符号、变量、逻辑连接词（∧, ∨, ¬, →）和量词（∀, ∃）按照形成规则组合而成。一个包含自由变量的公式 φ(x₁, ..., xₙ) 表达了一个性质或关系。当我们在结构 ℳ 中，为自由变量 x₁, ..., xₙ 分别指派论域 M 中的元素 a₁, ..., aₙ 后，就可以判断这个性质是否成立，记为 ℳ ⊨ φ(a₁, ..., aₙ)（读作“ℳ 满足 φ(a₁, ..., aₙ)”）。 可定义子集的核心概念 现在，固定一个 L-结构 ℳ。考虑一个带 n 个自由变量的 L-公式 φ(x₁, ..., xₙ)，以及一个参数元组 (b₁, ..., b_ m)，这些参数是 M 中的特定元素（我们可以将参数视为公式中额外的常数符号）。 由公式 φ(x₁, ..., xₙ, y₁, ..., y_ m) 和参数 b = (b₁, ..., b_ m) 在 ℳ 中“定义”的 n 元集合是： { (a₁, ..., aₙ) ∈ Mⁿ | ℳ ⊨ φ(a₁, ..., aₙ, b₁, ..., b_ m) }。 也就是说，它是所有满足该公式（在给定参数下）的 n 元组的集合。当 n=1 时，我们得到的就是 M 的一个“可定义子集”（或称“可定义集”）。当 n>1 时，我们得到的是一个“可定义关系”。 例如，在实数域 ℛ 中： 公式 φ(x): ∃y (y×y = x) 定义了非负实数集 [ 0, ∞)。 公式 ψ(x, a): x ≤ a （其中 a 是参数，如实数 2）定义了区间 (-∞, 2 ]。 公式 χ(x, y): ∃z (x + z = y) 定义了关系 x ≤ y。 可定义性的层次：从基本集合出发 可定义子集可以按照定义它们的公式的“逻辑复杂度”进行分层。最基本的是“原子可定义集”，即由原子公式（如 R(t₁, ..., tₙ) 或 t₁ = t₂）定义的集合。然后，我们通过逻辑运算“生成”更复杂的可定义集： 如果集合 A 和 B 是可定义的，那么它们的补集 M\A、并集 A∪B、交集 A∩B 也是可定义的（分别用 ¬, ∨, ∧ 定义）。 更关键的是，如果 R ⊆ Mⁿ⁺¹ 是一个可定义关系，那么通过“投影”（即存在量词 ∃），得到的集合 { (a₁, ..., aₙ) ∈ Mⁿ | ∃y ∈ M, (a₁, ..., aₙ, y) ∈ R } 也是可定义的。全称量词 ∀ 可以通过 ∃ 和 ¬ 定义。 因此，全体可定义子集构成了一个在布尔运算和投影运算下封闭的集合族。这联系到描述集合论中的“波莱尔层谱”和“射影层谱”。 可定义性与结构性质 一个结构 ℳ 的“可定义子集族”包含了丰富的信息，是研究该结构模型论性质的核心。 稳定性与维数 ：在稳定理论中，可定义集可以被赋予一个良定义的“维数”（如莫利阶），并且满足“非叉”的概念，这限制了可定义集之间的交叉方式，带来了极强的几何性。 极小性与强极小性 ：如果 ℳ 的每个可定义子集都是有限或补集有限的，则称结构是“强极小的”。例如，纯集合、无分支的稠密线性序、代数闭域都是强极小的。这意味着可定义集非常“规整”，没有复杂的可定义性子结构。 o-极小性 ：对于有序结构（如有序域 ℝ），如果每个可定义子集都是一维区间和点的有限并，则称结构是“o-极小的”。这保证了可定义集具有非常好的拓扑性质（如有限个连通分支），是实代数几何和 tame 几何的基础。 可定义子集的计算与描述 在实际的模型论或计算机科学应用中，我们常常关心“给定一个公式和一个结构，如何描述或计算它所定义的集合？” 在可计算模型论中，我们研究在可计算结构（其论域和基本关系是可计算的）中，哪些可定义子集自身是可计算的，或者属于某个算术层（如 Σ⁰₁, Π⁰₁）。 在量词消去理论中，如果一个理论（如代数闭域理论、实数有序域理论）具有量词消去性质，那么任何可定义集都可以用一个 无量词 的公式定义。这意味着我们可以用更简单、不涉及“存在”和“任意”的描述来刻画集合，极大地简化了对其性质的分析和判定。例如，在实数有序域中，任何可定义集都可以描述为多项式方程和不等式的布尔组合。 可定义闭包与代数闭包 可定义子集的概念自然地引出了“可定义闭包”。给定结构 ℳ 的一个子集 A ⊆ M，一个元素 b ∈ M 被称为“在 A 上可定义”，如果存在一个公式 φ(x, y₁, ..., y_ m) 和参数 a ∈ A^m，使得 b 是 ℳ 中唯一满足 φ(x, a) 的元素。所有在 A 上可定义的元素的集合记为 dcl(A)，称为 A 的“可定义闭包”。类似地，如果 b 位于某个在 A 上可定义的 有限 集合中，则称 b 在 A 的“代数闭包” acl(A) 中。可定义闭包和代数闭包是研究模型论依赖关系（如分叉独立性）和几何结构的基本工具。