傅里叶变换（Fourier Transform）
字数 5357 2025-12-15 11:49:06

傅里叶变换（Fourier Transform）

好的，让我们来系统性地学习“傅里叶变换”在实变函数和测度论背景下的知识。我们将从最基础的概念出发，循序渐进地构建完整的理解。你需要对勒贝格积分有基本的了解。

第一步：从傅里叶级数到傅里叶变换的动机

  1. 回顾：傅里叶级数
    对于一个在区间 \([-L, L]\) 上定义的可积函数 \(f\)，其傅里叶级数试图用一系列三角函数（正弦和余弦）的和来表示它：

\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right) \]

系数 \(a_n, b_n\) 由积分公式给出。这适用于周期函数（周期为 \(2L\)）。

  1. 核心问题与推广
    如果一个函数 \(f\) 在整个实数轴 \(\mathbb{R}\) 上有定义，并且不是周期性的，我们如何对其进行类似的“三角分解”？傅里叶级数的方法失效了，因为它依赖于固定的周期区间。

  2. 直观想法
    我们可以将非周期函数看作“周期为无穷大”的函数。在傅里叶级数中，频率是离散的：\(\frac{n\pi}{L}\)。当周期 \(2L \to \infty\) 时，这些离散的频率点会变得越来越密集，最终“融合”成一个连续的频率谱。这个从离散和到连续积分的过程，正是从傅里叶级数通向傅里叶变换的关键思想桥梁。

第二步：\(L^1(\mathbb{R})\) 空间上傅里叶变换的定义

傅里叶变换最初自然定义在可积函数空间上。

  1. 空间设定
    设 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) 是一个复值勒贝格可积函数，即 \(f \in L^1(\mathbb{R})\)。这意味着 \(\int_{\mathbb{R}} |f(x)| \, dx < \infty\)。

  2. 定义
    函数 \(f\) 的傅里叶变换 是一个新的函数 \(\hat{f}: \mathbb{R} \to \mathbb{C}\)，定义为：

\[ \hat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx, \quad \xi \in \mathbb{R}. \]

这里的变量 \(\xi\) 通常解释为“频率”。

  1. 定义的合理性
  • 由于 \(|e^{-2\pi i x \xi}| = 1\)，被积函数满足 \(|f(x) e^{-2\pi i x \xi}| = |f(x)|\)。
  • 因为 \(f \in L^1\)，所以对于每一个固定的 \(\xi\)，上面的积分都是绝对收敛的勒贝格积分。因此，\(\hat{f}(\xi)\) 对每个 \(\xi\) 都有良好的定义。
  • 注意，我们这里采用了 \(2\pi\) 在指数中的约定，这是分析中常见的归一化形式，它使得后续的逆变换公式更为对称。其他约定（如用 \(e^{-i x \xi}\)）也是常见的，本质相同，只是常数因子不同。

第三步：傅里叶变换的基本性质（在 \(L^1\) 中）

这些性质揭示了傅里叶变换如何与函数的基本运算相互作用。

  1. 线性：\(\widehat{(af + bg)}(\xi) = a\hat{f}(\xi) + b\hat{g}(\xi)\)，这是积分线性性的直接推论。

  2. 平移性质：

  • 时间平移：设 \(g(x) = f(x - a)\)，则 \(\hat{g}(\xi) = e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi)\)。
  • 频率平移（调制）：设 \(h(x) = e^{2\pi i b x} f(x)\)，则 \(\hat{h}(\xi) = \hat{f}(\xi - b)\)。

  1. 伸缩性质：设 \(a \ne 0\)，定义 \(f_a(x) = f(ax)\)。则 \(\hat{f_a}(\xi) = \frac{1}{|a|} \hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)\)。这表明在时域拉伸（\(|a|<1\)），在频域会压缩，幅度也发生变化，反之亦然。

  2. 微分与乘法的关系（在适当正则性条件下）：

  • 如果 \(f\) 和它的导数 \(f‘\) 都属于 \(L^1\)，那么 \(\widehat{f’}(\xi) = 2\pi i \xi \hat{f}(\xi)\)。粗略地说，时域的微分对应于频域乘以频率变量。
  • 反之，如果 \(xf(x)\) 也属于 \(L^1\)，那么 \(\hat{f}\) 是可微的，且 \(\frac{d}{d\xi} \hat{f}(\xi) = -2\pi i \widehat{xf(x)}(\xi)\)。时域乘以自变量对应于频域的微分。
  1. 黎曼-勒贝格引理：这是傅里叶变换的一个关键分析性质。

定理：如果 \(f \in L^1(\mathbb{R})\)，那么其傅里叶变换 \(\hat{f}\) 是一致连续的，并且当 \(|\xi| \to \infty\) 时，\(\hat{f}(\xi) \to 0\)。即 \(\hat{f} \in C_0(\mathbb{R})\)，这是由所有在无穷远处趋于零的连续函数组成的空间。

直观：高频分量的积分效应会相互抵消，导致傅里叶变换在高频处衰减。这个性质也说明，并非所有连续函数（即使在无穷远趋于零）都是某个 \(L^1\) 函数的傅里叶变换，因为 \(L^1\) 函数的傅里叶变换有更强的性质（它必须属于某个特定的子空间）。

第四步：傅里叶逆变换与 \(L^1\) 理论的局限

  1. 逆变换公式
    在非常好的条件下（例如，如果 \(\hat{f}\) 也属于 \(L^1\)），我们可以通过傅里叶逆变换从 \(\hat{f}\) 恢复出 \(f\)：

\[ f(x) = \int_{\mathbb{R}} \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \xi} \, d\xi, \quad \text{几乎处处成立}. \]

注意指数上符号的变化（\(-i\) 变成了 \(+i\)）。这可以看作是在频率域上的“合成”。

  1. \(L^1\) 理论的缺陷
  • 一个关键问题是：如果 \(f \in L^1\)，并不能保证 \(\hat{f} \in L^1\)。因此，上面的逆变换公式并不总是能直接应用。
  • 更根本的问题是，傅里叶变换的定义 \(\hat{f}(\xi) = \int f e^{-2\pi i x\xi} dx\) 对于 \(f \in L^1\) 是完美的，但许多重要的函数（如常数函数、正弦函数）并不属于 \(L^1\)，因为它们在无穷远处不衰减。更重要的是，\(L^1\) 空间在傅里叶变换下不是封闭的，而且 \(L^1\) 范数在变换下会变化，没有简单的等距关系。

第五步：傅里叶变换在 \(L^2(\mathbb{R})\) 空间——普朗歇尔定理

为了克服 \(L^1\) 理论的局限，我们需要将傅里叶变换推广到平方可积函数空间 \(L^2(\mathbb{R})\)，这是一个希尔伯特空间。这是理论的一大飞跃。

  1. 动机与策略
    \(L^2\) 函数不一定是可积的（例如，函数 \(1/(1+|x|)\) 属于 \(L^2\) 但不属于 \(L^1\)），所以其傅里叶变换不能直接用积分定义。策略是“稠密子空间逼近”：
  • 考虑空间 \(L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})\)，它在 \(L^2(\mathbb{R})\) 中稠密。
    • 对于这个稠密子集中的函数，傅里叶变换已有定义。
    • 可以证明，在这个稠密子集上，傅里叶变换是一个等距映射（相差一个常数因子），即它满足某种“能量守恒”定律。
  1. 普朗歇尔定理

定理：在 \(L^1 \cap L^2\) 上定义的傅里叶变换，可以唯一地延拓为整个 \(L^2(\mathbb{R})\) 到自身的一个酉算子（在相差一个常数因子下是等距同构）。具体地，存在唯一的连续线性算子 \(\mathcal{F}: L^2 \to L^2\)，使得：

  1. 对于 \(f \in L^1 \cap L^2\)，\(\mathcal{F}f = \hat{f}\)（即与原来的定义一致）。
    > 2. 它满足 普朗歇尔恒等式（也称帕塞瓦尔恒等式）：
    >

\[ > \int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 \, dx = \int_{\mathbb{R}} |\mathcal{F}f(\xi)|^2 \, d\xi. > \]

即，傅里叶变换是 \(L^2\) 空间上的一个等距同构（模一个常数，取决于定义中 \(2\pi\) 的位置。在我们的定义下正是等式）。
3. 它的逆算子 \(\mathcal{F}^{-1}\) 由类似的积分公式给出（在 \(L^2\) 意义下收敛）。

  1. \(L^2\) 傅里叶变换的计算
    对于一般的 \(f \in L^2\)，我们不是直接计算一个可能不收敛的积分，而是通过极限过程：

\[ \mathcal{F}f = L^2\!\!-\!\!\lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx. \]

即，对函数做截断 \(f_R(x) = f(x)\chi_{[-R,R]}(x)\)，\(f_R \in L^1 \cap L^2\)，然后计算其经典傅里叶变换 \(\hat{f}_R\)，最后证明当 \(R \to \infty\) 时，\(\hat{f}_R\) 在 \(L^2\) 范数下收敛到一个极限，这个极限就定义为 \(\mathcal{F}f\)。

第六步：傅里叶变换在缓增广义函数空间

有时我们甚至需要对更“奇异”的对象（如狄拉克δ函数、多项式等）进行傅里叶分析，这需要引入广义函数（分布）的理论。核心空间是施瓦茨空间和其对偶空间。

  1. 施瓦茨空间 \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\)
    定义为所有“速降”光滑函数组成的空间：函数本身及其各阶导数都在无穷远处比任何多项式的倒数衰减得都快。即，对于所有非负整数 \(k, m\)，\(\sup_{x \in \mathbb{R}} |x^k f^{(m)}(x)| < \infty\)。这是傅里叶变换的“完美”舞台：
  • \(\mathcal{S}\) 是 \(L^1\) 和 \(L^2\) 的稠密子空间。
  • 傅里叶变换是 \(\mathcal{S}\) 到自身的一个线性同构（双射，且其逆也是连续的）。
  • 在 \(\mathcal{S}\) 上，所有微分、乘法的性质都完美成立。

  1. 缓增广义函数空间 \(\mathcal{S}’(\mathbb{R})\)
    这是施瓦茨空间 \(\mathcal{S}\) 的连续对偶空间，即所有 \(\mathcal{S}\) 上的连续线性泛函。其元素称为缓增广义函数或缓增分布。例子包括：所有 \(L^p\) 函数、δ函数、有限博雷尔测度、多项式等。

  2. 广义傅里叶变换
    通过“对偶性”定义：对于 \(u \in \mathcal{S}’\)，其傅里叶变换 \(\hat{u} \in \mathcal{S}’\) 定义为：

\[ \langle \hat{u}, \varphi \rangle = \langle u, \hat{\varphi} \rangle, \quad \text{对所有 } \varphi \in \mathcal{S}. \]

这里 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 表示对偶配对。这个定义是合理的，因为如果 \(\varphi \in \mathcal{S}\)，那么 \(\hat{\varphi} \in \mathcal{S}\)。傅里叶变换由此被推广为一个从 \(\mathcal{S}’\) 到自身的线性同构。在这个框架下，许多经典公式（如δ函数的傅里叶变换是常数1）都有了严格的数学含义。

总结

傅里叶变换是一个多层次、多空间的理论：

  • 在 \(L^1\)：定义为积分，具有黎曼-勒贝格性质，但逆变换有限制。
  • 在 \(L^2\)：通过稠密子空间和等距性延拓，成为一个完美的酉算子，满足普朗歇尔恒等式，是量子力学和信号处理中“能量守恒”的数学基础。
  • 在 \(\mathcal{S}’\)：通过对偶性推广到广义函数，可以处理最广泛的“函数”和“信号”，是线性偏微分方程理论和现代分析的核心工具之一。

从实变函数角度看，从 \(L^1\) 到 \(L^2\) 的延拓，完美体现了勒贝格积分和希尔伯特空间理论在克服经典分析困难时的强大力量。

傅里叶变换（Fourier Transform） 好的，让我们来系统性地学习“傅里叶变换”在实变函数和测度论背景下的知识。我们将从最基础的概念出发，循序渐进地构建完整的理解。你需要对勒贝格积分有基本的了解。 第一步：从傅里叶级数到傅里叶变换的动机 回顾：傅里叶级数 对于一个在区间 \([ -L, L]\) 上定义的可积函数 \(f\)，其 傅里叶级数 试图用一系列三角函数（正弦和余弦）的和来表示它： \[ f(x) \sim \frac{a_ 0}{2} + \sum_ {n=1}^{\infty} \left( a_ n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_ n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right) \] 系数 \(a_ n, b_ n\) 由积分公式给出。这适用于 周期函数 （周期为 \(2L\)）。 核心问题与推广 如果一个函数 \(f\) 在整个实数轴 \(\mathbb{R}\) 上有定义，并且 不是周期性的 ，我们如何对其进行类似的“三角分解”？傅里叶级数的方法失效了，因为它依赖于固定的周期区间。 直观想法 我们可以将非周期函数看作“周期为无穷大”的函数。在傅里叶级数中，频率是离散的：\(\frac{n\pi}{L}\)。当周期 \(2L \to \infty\) 时，这些离散的频率点会变得越来越密集，最终“融合”成一个连续的频率谱。这个从离散和到连续积分的过程，正是从傅里叶级数通向 傅里叶变换 的关键思想桥梁。 第二步：\(L^1(\mathbb{R})\) 空间上傅里叶变换的定义 傅里叶变换最初自然定义在可积函数空间上。 空间设定 设 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) 是一个 复值勒贝格可积函数 ，即 \(f \in L^1(\mathbb{R})\)。这意味着 \(\int_ {\mathbb{R}} |f(x)| \, dx < \infty\)。 定义 函数 \(f\) 的 傅里叶变换 是一个新的函数 \(\hat{f}: \mathbb{R} \to \mathbb{C}\)，定义为： \[ \hat{f}(\xi) = \int_ {\mathbb{R}} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx, \quad \xi \in \mathbb{R}. \] 这里的变量 \(\xi\) 通常解释为“频率”。 定义的合理性 由于 \(|e^{-2\pi i x \xi}| = 1\)，被积函数满足 \(|f(x) e^{-2\pi i x \xi}| = |f(x)|\)。 因为 \(f \in L^1\)，所以对于每一个固定的 \(\xi\)，上面的积分都是绝对收敛的勒贝格积分。因此，\(\hat{f}(\xi)\) 对每个 \(\xi\) 都有良好的定义。 注意，我们这里采用了 \(2\pi\) 在指数中的约定，这是分析中常见的归一化形式，它使得后续的逆变换公式更为对称。其他约定（如用 \(e^{-i x \xi}\)）也是常见的，本质相同，只是常数因子不同。 第三步：傅里叶变换的基本性质（在 \(L^1\) 中） 这些性质揭示了傅里叶变换如何与函数的基本运算相互作用。 线性 ：\(\widehat{(af + bg)}(\xi) = a\hat{f}(\xi) + b\hat{g}(\xi)\)，这是积分线性性的直接推论。 平移性质 ： 时间平移：设 \(g(x) = f(x - a)\)，则 \(\hat{g}(\xi) = e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi)\)。 频率平移（调制）：设 \(h(x) = e^{2\pi i b x} f(x)\)，则 \(\hat{h}(\xi) = \hat{f}(\xi - b)\)。 伸缩性质 ：设 \(a \ne 0\)，定义 \(f_ a(x) = f(ax)\)。则 \(\hat{f_ a}(\xi) = \frac{1}{|a|} \hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)\)。这表明在时域拉伸（\(|a| <1\)），在频域会压缩，幅度也发生变化，反之亦然。 微分与乘法的关系 （在适当正则性条件下）： 如果 \(f\) 和它的导数 \(f‘\) 都属于 \(L^1\)，那么 \(\widehat{f’}(\xi) = 2\pi i \xi \hat{f}(\xi)\)。粗略地说， 时域的微分对应于频域乘以频率变量 。 反之，如果 \(xf(x)\) 也属于 \(L^1\)，那么 \(\hat{f}\) 是可微的，且 \(\frac{d}{d\xi} \hat{f}(\xi) = -2\pi i \widehat{xf(x)}(\xi)\)。 时域乘以自变量对应于频域的微分 。 黎曼-勒贝格引理 ：这是傅里叶变换的一个关键分析性质。 定理 ：如果 \(f \in L^1(\mathbb{R})\)，那么其傅里叶变换 \(\hat{f}\) 是 一致连续 的，并且当 \(|\xi| \to \infty\) 时，\(\hat{f}(\xi) \to 0\)。即 \(\hat{f} \in C_ 0(\mathbb{R})\)，这是由所有在无穷远处趋于零的连续函数组成的空间。 直观 ：高频分量的积分效应会相互抵消，导致傅里叶变换在高频处衰减。这个性质也说明，并非所有连续函数（即使在无穷远趋于零）都是某个 \(L^1\) 函数的傅里叶变换，因为 \(L^1\) 函数的傅里叶变换有更强的性质（它必须属于某个特定的子空间）。 第四步：傅里叶逆变换与 \(L^1\) 理论的局限 逆变换公式 在非常好的条件下（例如，如果 \(\hat{f}\) 也属于 \(L^1\)），我们可以通过 傅里叶逆变换 从 \(\hat{f}\) 恢复出 \(f\)： \[ f(x) = \int_ {\mathbb{R}} \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \xi} \, d\xi, \quad \text{几乎处处成立}. \] 注意指数上符号的变化（\(-i\) 变成了 \(+i\)）。这可以看作是在频率域上的“合成”。 \(L^1\) 理论的缺陷 一个关键问题是：如果 \(f \in L^1\)，并不能保证 \(\hat{f} \in L^1\)。因此，上面的逆变换公式并不总是能直接应用。 更根本的问题是，傅里叶变换的定义 \(\hat{f}(\xi) = \int f e^{-2\pi i x\xi} dx\) 对于 \(f \in L^1\) 是完美的，但许多重要的函数（如常数函数、正弦函数）并不属于 \(L^1\)，因为它们在无穷远处不衰减。更重要的是， \(L^1\) 空间在傅里叶变换下不是封闭的 ，而且 \(L^1\) 范数在变换下会变化，没有简单的等距关系。 第五步：傅里叶变换在 \(L^2(\mathbb{R})\) 空间——普朗歇尔定理 为了克服 \(L^1\) 理论的局限，我们需要将傅里叶变换推广到平方可积函数空间 \(L^2(\mathbb{R})\)，这是一个希尔伯特空间。这是理论的一大飞跃。 动机与策略 \(L^2\) 函数不一定是可积的（例如，函数 \(1/(1+|x|)\) 属于 \(L^2\) 但不属于 \(L^1\)），所以其傅里叶变换不能直接用积分定义。策略是“稠密子空间逼近”： 考虑空间 \(L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})\)，它在 \(L^2(\mathbb{R})\) 中 稠密 。 对于这个稠密子集中的函数，傅里叶变换已有定义。 可以证明，在这个稠密子集上，傅里叶变换是一个 等距映射 （相差一个常数因子），即它满足某种“能量守恒”定律。 普朗歇尔定理 定理 ：在 \(L^1 \cap L^2\) 上定义的傅里叶变换，可以唯一地延拓为整个 \(L^2(\mathbb{R})\) 到自身的一个 酉算子 （在相差一个常数因子下是等距同构）。具体地，存在唯一的连续线性算子 \(\mathcal{F}: L^2 \to L^2\)，使得： 对于 \(f \in L^1 \cap L^2\)，\(\mathcal{F}f = \hat{f}\)（即与原来的定义一致）。 它满足 普朗歇尔恒等式 （也称帕塞瓦尔恒等式）： \[ \int_ {\mathbb{R}} |f(x)|^2 \, dx = \int_ {\mathbb{R}} |\mathcal{F}f(\xi)|^2 \, d\xi. \] 即，傅里叶变换是 \(L^2\) 空间上的一个 等距同构 （模一个常数，取决于定义中 \(2\pi\) 的位置。在我们的定义下正是等式）。 它的逆算子 \(\mathcal{F}^{-1}\) 由类似的积分公式给出（在 \(L^2\) 意义下收敛）。 \(L^2\) 傅里叶变换的计算 对于一般的 \(f \in L^2\)，我们不是直接计算一个可能不收敛的积分，而是通过极限过程： \[ \mathcal{F}f = L^2\!\!-\!\!\lim_ {R\to\infty} \int_ {-R}^{R} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx. \] 即，对函数做截断 \(f_ R(x) = f(x)\chi_ {[ -R,R]}(x)\)，\(f_ R \in L^1 \cap L^2\)，然后计算其经典傅里叶变换 \(\hat{f}_ R\)，最后证明当 \(R \to \infty\) 时，\(\hat{f}_ R\) 在 \(L^2\) 范数下收敛到一个极限，这个极限就定义为 \(\mathcal{F}f\)。 第六步：傅里叶变换在缓增广义函数空间 有时我们甚至需要对更“奇异”的对象（如狄拉克δ函数、多项式等）进行傅里叶分析，这需要引入广义函数（分布）的理论。核心空间是 施瓦茨空间 和其对偶空间。 施瓦茨空间 \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\) 定义为所有“速降”光滑函数组成的空间：函数本身及其各阶导数都在无穷远处比任何多项式的倒数衰减得都快。即，对于所有非负整数 \(k, m\)，\(\sup_ {x \in \mathbb{R}} |x^k f^{(m)}(x)| < \infty\)。这是傅里叶变换的“完美”舞台： \(\mathcal{S}\) 是 \(L^1\) 和 \(L^2\) 的稠密子空间。 傅里叶变换是 \(\mathcal{S}\) 到自身的一个 线性同构 （双射，且其逆也是连续的）。 在 \(\mathcal{S}\) 上，所有微分、乘法的性质都完美成立。 缓增广义函数空间 \(\mathcal{S}’(\mathbb{R})\) 这是施瓦茨空间 \(\mathcal{S}\) 的连续对偶空间，即所有 \(\mathcal{S}\) 上的连续线性泛函。其元素称为 缓增广义函数 或 缓增分布 。例子包括：所有 \(L^p\) 函数、δ函数、有限博雷尔测度、多项式等。 广义傅里叶变换 通过“对偶性”定义：对于 \(u \in \mathcal{S}’\)，其傅里叶变换 \(\hat{u} \in \mathcal{S}’\) 定义为： \[ \langle \hat{u}, \varphi \rangle = \langle u, \hat{\varphi} \rangle, \quad \text{对所有 } \varphi \in \mathcal{S}. \] 这里 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 表示对偶配对。这个定义是合理的，因为如果 \(\varphi \in \mathcal{S}\)，那么 \(\hat{\varphi} \in \mathcal{S}\)。傅里叶变换由此被推广为一个从 \(\mathcal{S}’\) 到自身的线性同构。在这个框架下，许多经典公式（如δ函数的傅里叶变换是常数1）都有了严格的数学含义。 总结 傅里叶变换是一个多层次、多空间的理论： 在 \(L^1\) ：定义为积分，具有黎曼-勒贝格性质，但逆变换有限制。 在 \(L^2\) ：通过稠密子空间和等距性延拓，成为一个完美的酉算子，满足普朗歇尔恒等式，是量子力学和信号处理中“能量守恒”的数学基础。 在 \(\mathcal{S}’\) ：通过对偶性推广到广义函数，可以处理最广泛的“函数”和“信号”，是线性偏微分方程理论和现代分析的核心工具之一。 从实变函数角度看，从 \(L^1\) 到 \(L^2\) 的延拓，完美体现了勒贝格积分和希尔伯特空间理论在克服经典分析困难时的强大力量。