椭圆曲线的同源与泰特模（Isogeny and Tate Module of Elliptic Curves）

字数 4296 2025-12-15 10:48:25

椭圆曲线的同源与泰特模（Isogeny and Tate Module of Elliptic Curves）

好的，我们这次讲解“椭圆曲线的同源与泰特模”。这是一个核心概念，连接了椭圆曲线的算术、几何与伽罗瓦表示理论。我们循序渐进地展开。

第一步：回忆椭圆曲线的核心结构与同源的定义

椭圆曲线：在本语境下，我们主要考虑定义在数域（如有理数域ℚ）或有限域上的椭圆曲线 \(E\)。它是一个非奇异的、亏格为1的代数曲线，并带有一个基点（作为加法群的单位元）。其点集（包括无穷远点）构成一个阿贝尔群。
同源：连接两条椭圆曲线的核心“桥梁”。

定义：设 \(E_1\) 和 \(E_2\) 是定义在域 \(K\) 上的两条椭圆曲线。一个同源 \(\phi: E_1 \rightarrow E_2\) 是一个非零的、保持基点的有理态射。这意味着它是一个由有理函数给出的映射，将 \(E_1\) 的加法单位元映到 \(E_2\) 的加法单位元。
关键性质：同源实际上是一个群同态。它诱导了椭圆曲线点群之间的同态：\(\phi(P+Q) = \phi(P) + \phi(Q)\)。
例子：对于任意非零整数 \(m\)，映射 \(P \mapsto mP\)（点乘以 \(m\) 倍）是一个同源，称为乘 \(m\) 同源，记作 \([m]\)。它是一个从 \(E\) 到自身的同源（自同态）。

第二步：同源的基本性质与度数

核：同源 \(\phi\) 的核 \(\ker(\phi)\) 是使得 \(\phi(P)=O\)（单位元）的点 \(P \in E_1\) 构成的有限子群。这个核完全决定了同源的许多性质。
度数：

同源 \(\phi\) 有一个正整数不变量，称为度数，记为 \(\deg(\phi)\)。
从几何上看，\(\deg(\phi)\) 衡量了映射的“层数”，即绝大多数点 \(Q \in E_2\) 的原像中点的个数（计重数）。
从代数上看，如果 \(\phi\) 是可分的（大多数重要同源都是可分或具有可分核），那么 \(\deg(\phi)\) 等于其核 \(\ker(\phi)\) 的点数。
例如，乘 \(m\) 同源 \([m]\) 的度数是 \(m^2\)。它的核是 \(m\)-挠子群 \(E[m] := \{ P \in E \mid mP = O \}\)，在代数闭包上，它同构于 \((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^2\)。

第三步：\(\ell\)-进泰特模的构造

为了研究椭圆曲线上所有挠点的结构，并构建一个“线性”的表示空间，我们引入了泰特模。

动机：单个 \(m\)-挠子群 \(E[m]\) 是一个有限的阿贝尔群。为了获得一个连续、线性的结构，我们考虑所有 \(\ell\)-幂次的挠点，其中 \(\ell\) 是一个固定的素数。
定义：设 \(\ell\) 是素数，\(E\) 定义在域 \(K\) 上。对于每个正整数 \(n\)，我们有 \(\ell^n\)-挠子群 \(E[\ell^n]\)，它是一个 \((\mathbb{Z}/\ell^n\mathbb{Z})\)-模。
逆向系统：考虑自然投影映射：

\[ E[\ell^{n+1}] \xrightarrow{[\ell]} E[\ell^n]。 \]

这里 \([\ell]\) 表示乘 \(\ell\) 映射。这个映射是满射，其核是 \(E[\ell]\)。
4. 泰特模：我们将所有这些模“粘合”起来，取逆向极限：

\[ T_\ell(E) := \varprojlim_n E[\ell^n]。 \]

具体来说，\(T_\ell(E)\) 的元素是序列 \((P_1, P_2, P_3, \dots)\)，其中 \(P_n \in E[\ell^n]\)，且满足 \([\ell] P_{n+1} = P_n\) 对所有 \(n\) 成立。
结构定理：在代数闭包上（例如在复数域上，或在 \(K\) 的代数闭包上，如果 \(\ell\) 与 \(K\) 的特征互素），每个 \(E[\ell^n] \cong (\mathbb{Z}/\ell^n\mathbb{Z})^2\)。取极限后，我们得到：

\[ T_\ell(E) \cong \varprojlim_n (\mathbb{Z}/\ell^n\mathbb{Z})^2 \cong \mathbb{Z}_\ell^2。 \]

这里 \(\mathbb{Z}_\ell\) 是 \(\ell\)-进整数环。因此，\(T_\ell(E)\) 是一个秩为2的自由 \(\mathbb{Z}_\ell\)-模。
5. 有理化：为了得到一个向量空间，我们通常考虑：

\[ V_\ell(E) := T_\ell(E) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell \cong \mathbb{Q}_\ell^2。 \]

这称为有理 \(\ell\)-进泰特模。

第四步：伽罗瓦作用与\(\ell\)-进表示

这是泰特模最强大的应用之一。

伽罗瓦作用：假设椭圆曲线 \(E\) 定义在数域 \(K\) 上。其所有挠点都定义在 \(K\) 的某个代数闭包 \(\bar{K}\) 上。绝对伽罗瓦群 \(G_K = \text{Gal}(\bar{K}/K)\) 会作用在这些挠点上，因为定义方程在 \(K\) 上，所以伽罗瓦元保持方程，从而将挠点映为挠点。
连续性：这个作用与每个有限挠子群 \(E[\ell^n]\) 兼容。通过取极限，我们得到一个在自由 \(\mathbb{Z}_\ell\)-模 \(T_\ell(E)\) 上的连续作用：

\[ \rho_{E, \ell}: G_K \rightarrow \text{Aut}_{\mathbb{Z}_\ell}(T_\ell(E)) \cong \text{GL}_2(\mathbb{Z}_\ell)。 \]

这是一个**\(\ell\)-进伽罗瓦表示**。
3. 有理化表示：将上述表示张量积 \(\mathbb{Q}_\ell\)，我们得到一个在二维 \(\ell\)-进向量空间 \(V_\ell(E)\) 上的连续线性表示：

\[ \rho_{E, \ell}: G_K \rightarrow \text{Aut}_{\mathbb{Q}_\ell}(V_\ell(E)) \cong \text{GL}_2(\mathbb{Q}_\ell)。 \]

这是研究椭圆曲线算术性质（如有理点、L函数、模性）的**基本工具**。

第五步：同源如何作用于泰特模

同源与泰特模自然地相互作用。

诱导映射：设 \(\phi: E_1 \rightarrow E_2\) 是一个定义在 \(K\) 上的同源。因为 \(\phi\) 是一个群同态，它将 \(E_1\) 的 \(\ell^n\)-挠点映为 \(E_2\) 的 \(\ell^n\)-挠点。这导出了一族兼容的映射 \(E_1[\ell^n] \rightarrow E_2[\ell^n]\)。
极限映射：取逆向极限，我们得到一个**\(\mathbb{Z}_\ell\)-线性映射**：

\[ \phi_*: T_\ell(E_1) \rightarrow T_\ell(E_2)。 \]

这是同源的“线性化”版本，它将同源提升到泰特模这个线性空间上。

重要事实：如果同源 \(\phi\) 的度数与 \(\ell\) 互素，那么诱导的映射 \(\phi_*\) 是一个同构。这表明在同源等价（可以通过一系列同源相互转换）的椭圆曲线之间，它们的 \(\ell\)-进泰特模是“相似”的，它们的伽罗瓦表示是“同构的”。

第六步：一个关键应用：自同态环与\(\mathbb{Q}_\ell\)-代数

自同态环：椭圆曲线 \(E\) 的所有自同态（从 \(E\) 到自身的同源）构成一个环 \(\text{End}(E)\)，加法是点的加法，乘法是映射的复合。整数乘法 \([m]\) 是其中的元素。
\(\ell\)-进实现：考虑将自同态环作用在泰特模上。对于任意自同态 \(\psi \in \text{End}(E)\)，我们如上所述得到其诱导的线性映射 \(\psi_*: T_\ell(E) \rightarrow T_\ell(E)\)，这是一个 \(\mathbb{Z}_\ell\)-线性变换。
泰特同构定理（泰特的一个重要结果）：当椭圆曲线定义在有限域上时，映射

\[ \text{End}(E) \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}_\ell \longrightarrow \text{End}_{\mathbb{Z}_\ell}(T_\ell(E)) \]

是**单射**，并且它的像由与伽罗瓦作用交换的所有元素组成。这允许我们通过研究泰特模上的线性代数来研究自同态环的结构。

更一般地：对于定义在数域上的椭圆曲线，\(\ell\)-进表示 \(\rho_{E,\ell}\) 的图像的性质（例如是否“尽可能大”，即包含在 \(\text{GL}_2(\mathbb{Z}_\ell)\) 中一个有限指标子群内）是深刻研究的课题，与塞尔的同宿定理相关。

总结：
椭圆曲线的同源是连接不同椭圆曲线的群同态。而**\(\ell\)-进泰特模** \(T_\ell(E)\) 是通过取所有 \(\ell\)-幂次挠子群的极限得到的一个秩为2的自由 \(\mathbb{Z}_\ell\)-模。它自然地承载了定义域 \(K\) 的绝对伽罗瓦群的线性表示 \(\rho_{E,\ell}: G_K \rightarrow \text{GL}_2(\mathbb{Z}_\ell)\)，这使得我们能够用线性代数和表示论的工具来研究椭圆曲线的算术。同源诱导泰特模之间的线性映射，从而将这些工具统一在一个框架下。这个概念是理解椭圆曲线的模性、BSD猜想、岩泽理论等现代数论核心问题的基石。

椭圆曲线的同源与泰特模（Isogeny and Tate Module of Elliptic Curves）好的，我们这次讲解“椭圆曲线的同源与泰特模”。这是一个核心概念，连接了椭圆曲线的算术、几何与伽罗瓦表示理论。我们循序渐进地展开。第一步：回忆椭圆曲线的核心结构与同源的定义椭圆曲线：在本语境下，我们主要考虑定义在数域（如有理数域ℚ）或有限域上的椭圆曲线 \(E\)。它是一个非奇异的、亏格为1的代数曲线，并带有一个基点（作为加法群的单位元）。其点集（包括无穷远点）构成一个阿贝尔群。同源：连接两条椭圆曲线的核心“桥梁”。定义：设 \(E_ 1\) 和 \(E_ 2\) 是定义在域 \(K\) 上的两条椭圆曲线。一个同源 \(\phi: E_ 1 \rightarrow E_ 2\) 是一个非零的、保持基点的有理态射。这意味着它是一个由有理函数给出的映射，将 \(E_ 1\) 的加法单位元映到 \(E_ 2\) 的加法单位元。关键性质：同源实际上是一个群同态。它诱导了椭圆曲线点群之间的同态：\(\phi(P+Q) = \phi(P) + \phi(Q)\)。例子：对于任意非零整数 \(m\)，映射 \(P \mapsto mP\)（点乘以 \(m\) 倍）是一个同源，称为乘 \(m\) 同源，记作 \([ m ]\)。它是一个从 \(E\) 到自身的同源（自同态）。第二步：同源的基本性质与度数核：同源 \(\phi\) 的核 \(\ker(\phi)\) 是使得 \(\phi(P)=O\)（单位元）的点 \(P \in E_ 1\) 构成的有限子群。这个核完全决定了同源的许多性质。度数：同源 \(\phi\) 有一个正整数不变量，称为度数，记为 \(\deg(\phi)\)。从几何上看，\(\deg(\phi)\) 衡量了映射的“层数”，即绝大多数点 \(Q \in E_ 2\) 的原像中点的个数（计重数）。从代数上看，如果 \(\phi\) 是可分的（大多数重要同源都是可分或具有可分核），那么 \(\deg(\phi)\) 等于其核 \(\ker(\phi)\) 的点数。例如，乘 \(m\) 同源 \([ m]\) 的度数是 \(m^2\)。它的核是 \(m\)-挠子群 \(E[ m ] := \{ P \in E \mid mP = O \}\)，在代数闭包上，它同构于 \((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^2\)。第三步：\(\ell\)-进泰特模的构造为了研究椭圆曲线上所有挠点的结构，并构建一个“线性”的表示空间，我们引入了泰特模。动机：单个 \(m\)-挠子群 \(E[ m ]\) 是一个有限的阿贝尔群。为了获得一个连续、线性的结构，我们考虑所有 \(\ell\)-幂次的挠点，其中 \(\ell\) 是一个固定的素数。定义：设 \(\ell\) 是素数，\(E\) 定义在域 \(K\) 上。对于每个正整数 \(n\)，我们有 \(\ell^n\)-挠子群 \(E[ \ell^n ]\)，它是一个 \((\mathbb{Z}/\ell^n\mathbb{Z})\)-模。逆向系统：考虑自然投影映射： \[ E[ \ell^{n+1}] \xrightarrow{[ \ell]} E[ \ell^n ]。 \] 这里 \([ \ell]\) 表示乘 \(\ell\) 映射。这个映射是满射，其核是 \(E[ \ell ]\)。泰特模：我们将所有这些模“粘合”起来，取逆向极限： \[ T_ \ell(E) := \varprojlim_ n E[ \ell^n ]。 \] 具体来说，\(T_ \ell(E)\) 的元素是序列 \((P_ 1, P_ 2, P_ 3, \dots)\)，其中 \(P_ n \in E[ \ell^n]\)，且满足 \([ \ell] P_ {n+1} = P_ n\) 对所有 \(n\) 成立。结构定理：在代数闭包上（例如在复数域上，或在 \(K\) 的代数闭包上，如果 \(\ell\) 与 \(K\) 的特征互素），每个 \(E[ \ell^n ] \cong (\mathbb{Z}/\ell^n\mathbb{Z})^2\)。取极限后，我们得到： \[ T_ \ell(E) \cong \varprojlim_ n (\mathbb{Z}/\ell^n\mathbb{Z})^2 \cong \mathbb{Z} \ell^2。 \] 这里 \(\mathbb{Z} \ell\) 是 \(\ell\)-进整数环。因此，\(T_ \ell(E)\) 是一个秩为2的自由 \(\mathbb{Z}_ \ell\)-模。有理化：为了得到一个向量空间，我们通常考虑： \[ V_ \ell(E) := T_ \ell(E) \otimes_ {\mathbb{Z} \ell} \mathbb{Q} \ell \cong \mathbb{Q}_ \ell^2。 \] 这称为有理 \(\ell\)-进泰特模。第四步：伽罗瓦作用与\(\ell\)-进表示这是泰特模最强大的应用之一。伽罗瓦作用：假设椭圆曲线 \(E\) 定义在数域 \(K\) 上。其所有挠点都定义在 \(K\) 的某个代数闭包 \(\bar{K}\) 上。绝对伽罗瓦群 \(G_ K = \text{Gal}(\bar{K}/K)\) 会作用在这些挠点上，因为定义方程在 \(K\) 上，所以伽罗瓦元保持方程，从而将挠点映为挠点。连续性：这个作用与每个有限挠子群 \(E[ \ell^n]\) 兼容。通过取极限，我们得到一个在自由 \(\mathbb{Z} \ell\)-模 \(T \ell(E)\) 上的连续作用： \[ \rho_ {E, \ell}: G_ K \rightarrow \text{Aut} {\mathbb{Z} \ell}(T_ \ell(E)) \cong \text{GL} 2(\mathbb{Z} \ell)。 \] 这是一个** \(\ell\)-进伽罗瓦表示** 。有理化表示：将上述表示张量积 \(\mathbb{Q} \ell\)，我们得到一个在二维 \(\ell\)-进向量空间 \(V \ell(E)\) 上的连续线性表示： \[ \rho_ {E, \ell}: G_ K \rightarrow \text{Aut} {\mathbb{Q} \ell}(V_ \ell(E)) \cong \text{GL} 2(\mathbb{Q} \ell)。 \] 这是研究椭圆曲线算术性质（如有理点、L函数、模性）的基本工具。第五步：同源如何作用于泰特模同源与泰特模自然地相互作用。诱导映射：设 \(\phi: E_ 1 \rightarrow E_ 2\) 是一个定义在 \(K\) 上的同源。因为 \(\phi\) 是一个群同态，它将 \(E_ 1\) 的 \(\ell^n\)-挠点映为 \(E_ 2\) 的 \(\ell^n\)-挠点。这导出了一族兼容的映射 \(E_ 1[ \ell^n] \rightarrow E_ 2[ \ell^n ]\)。极限映射：取逆向极限，我们得到一个** \(\mathbb{Z} \ell\)-线性映射** ： \[ \phi * : T_ \ell(E_ 1) \rightarrow T_ \ell(E_ 2)。 \] 这是同源的“线性化”版本，它将同源提升到泰特模这个线性空间上。重要事实：如果同源 \(\phi\) 的度数与 \(\ell\) 互素，那么诱导的映射 \(\phi_* \) 是一个同构。这表明在同源等价（可以通过一系列同源相互转换）的椭圆曲线之间，它们的 \(\ell\)-进泰特模是“相似”的，它们的伽罗瓦表示是“同构的”。第六步：一个关键应用：自同态环与\(\mathbb{Q}_ \ell\)-代数自同态环：椭圆曲线 \(E\) 的所有自同态（从 \(E\) 到自身的同源）构成一个环 \(\text{End}(E)\)，加法是点的加法，乘法是映射的复合。整数乘法 \([ m ]\) 是其中的元素。 \(\ell\)-进实现：考虑将自同态环作用在泰特模上。对于任意自同态 \(\psi \in \text{End}(E)\)，我们如上所述得到其诱导的线性映射 \(\psi_* : T_ \ell(E) \rightarrow T_ \ell(E)\)，这是一个 \(\mathbb{Z}_ \ell\)-线性变换。泰特同构定理（泰特的一个重要结果）：当椭圆曲线定义在有限域上时，映射 \[ \text{End}(E) \otimes_ \mathbb{Z} \mathbb{Z} \ell \longrightarrow \text{End} {\mathbb{Z} \ell}(T \ell(E)) \] 是单射，并且它的像由与伽罗瓦作用交换的所有元素组成。这允许我们通过研究泰特模上的线性代数来研究自同态环的结构。更一般地：对于定义在数域上的椭圆曲线，\(\ell\)-进表示 \(\rho_ {E,\ell}\) 的图像的性质（例如是否“尽可能大”，即包含在 \(\text{GL} 2(\mathbb{Z} \ell)\) 中一个有限指标子群内）是深刻研究的课题，与塞尔的同宿定理相关。总结：椭圆曲线的同源是连接不同椭圆曲线的群同态。而** \(\ell\)-进泰特模** \(T_ \ell(E)\) 是通过取所有 \(\ell\)-幂次挠子群的极限得到的一个秩为2的自由 \(\mathbb{Z} \ell\)-模。它自然地承载了定义域 \(K\) 的绝对伽罗瓦群的线性表示 \(\rho {E,\ell}: G_ K \rightarrow \text{GL} 2(\mathbb{Z} \ell)\)，这使得我们能够用线性代数和表示论的工具来研究椭圆曲线的算术。同源诱导泰特模之间的线性映射，从而将这些工具统一在一个框架下。这个概念是理解椭圆曲线的模性、BSD猜想、岩泽理论等现代数论核心问题的基石。