黏性流体中的斯托克斯方程 (Stokes Equations)
好的，我们开始一个全新的词条讲解。我们来深入探讨“黏性流体中的斯托克斯方程”。这是数学物理方程在流体力学中一个非常基础和重要的模型。
我将把这个主题拆解成几个循序渐进的步骤，力求清晰准确。
第一步：背景与物理问题的提出——纳维-斯托克斯方程的简化
首先，我们需要知道斯托克斯方程是从哪里来的。在流体力学中，描述不可压缩黏性流体运动的基本方程是纳维-斯托克斯方程 (Navier-Stokes Equations, N-S方程)。
- 连续性方程（质量守恒）：对于密度为常数（不可压缩）的流体，速度场 \(\mathbf{u}\) 满足：
\[ \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 \]
这表示流体不可被压缩，流入任何微小区域的流量等于流出的流量。
- 动量方程：牛顿第二定律在流体微元上的表达。对于不可压缩、黏度为常数 \(\mu\) 的流体，形式为：
\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f} \]
其中，\(\rho\) 是密度，\(p\) 是压强，\(\mathbf{f}\) 是单位体积的体积力（如重力），\(\nabla^2\) 是拉普拉斯算子。
这个方程组是非线性的，其核心困难在于对流项 \((\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}\)，它使得方程的分析和求解极其复杂。
核心简化：在很多实际情况下，流体运动非常缓慢，或者物体的特征尺寸非常微小（例如，水中的微生物、血液中的细胞、微流控芯片中的流动）。在这些场景中，惯性力（方程左边的项）与黏性力（方程右边的 \(\mu \nabla^2 \mathbf{u}\) 项）之比——即雷诺数 (Reynolds Number) \(Re\)——远小于1 (\(Re \ll 1\))。
在 \(Re \ll 1\) 的极限下，惯性力 \((\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}\) 和 \(\partial \mathbf{u}/\partial t\) 相对于黏性力 \(\mu \nabla^2 \mathbf{u}\) 而言是高阶小量，可以被忽略。同时，我们通常假设流动是定常的（不随时间变化），于是时间导数项也消失。
第二步：斯托克斯方程组的推导与形式
基于上述简化，我们将纳维-斯托克斯方程线性化：
- 动量方程简化为： \(0 = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}\)
- 连续性方程不变： \(\nabla \cdot \mathbf{u} = 0\)
整理后，我们得到著名的斯托克斯方程组 (Stokes Equations)：
\[\boxed{ \begin{aligned} \mu \nabla^2 \mathbf{u} &= \nabla p - \mathbf{f} \\ \nabla \cdot \mathbf{u} &= 0 \end{aligned}} \]
这是一个线性偏微分方程组。第一个方程是线性斯托克斯动量方程，它本质上是稳态的、力平衡条件下的“蠕流”方程。第二个方程是不可压缩条件。
在无体积力 (\(\mathbf{f} = 0\)) 的常见情况下，方程组简化为更简洁的形式：
\[\boxed{ \begin{aligned} \mu \nabla^2 \mathbf{u} &= \nabla p \\ \nabla \cdot \mathbf{u} &= 0 \end{aligned}} \]
这个形式清晰地表明，在低速蠕动流中，压强梯度 与由黏性引起的速度扩散（拉普拉斯项）处处平衡。
第三步：方程组的数学特性分析
斯托克斯方程具有一系列优美的数学性质，这使得它比完整的N-S方程更易于处理。
- 线性性： 这是最重要的特性。解满足叠加原理。如果我们有两个解 \((\mathbf{u}_1, p_1)\) 和 \((\mathbf{u}_2, p_2)\)，那么它们的任意线性组合也是一个解（对应体积力和边界条件的线性组合）。这为构造复杂问题的解提供了强大工具。
- 椭圆型方程： 斯托克斯方程组是一个椭圆型方程组。这意味着：
- 其解在区域内部具有“光滑”的性质，解在一点的值受到整个边界上条件的影响。
- 没有类似双曲型方程的“特征线”或波动现象，也没有抛物型方程的时间演化行为（因为是定常的）。
- 这通常导致解是高度正则的，即使边界条件不光滑，解在区域内部也是无穷次可微的。
- 压力是调和函数： 对动量方程 \(\mu \nabla^2 \mathbf{u} = \nabla p\) 两边取散度，并利用 \(\nabla \cdot \mathbf{u} = 0\) 和 \(\nabla \cdot (\nabla^2 \mathbf{u}) = \nabla^2 (\nabla \cdot \mathbf{u}) = 0\)，我们得到：
\[ \nabla \cdot (\nabla p) = \nabla^2 p = 0 \]
因此，压强 \(p\) 是一个调和函数，满足拉普拉斯方程 \(\nabla^2 p = 0\)。这是一个非常重要的结论，它将求解压力场的问题与势论联系起来。
4. 涡量是调和向量场： 定义涡量 \(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{u}\)。对动量方程取旋度，并利用 \(\nabla \times (\nabla p) = 0\)，得到：
\[ \mu \nabla^2 \boldsymbol{\omega} = 0 \]
因此，涡量 \(\boldsymbol{\omega}\) 也是一个调和向量场。这表明在斯托克斯流中，涡量的扩散达到了平衡状态。
第四步：基本解与点力——斯托克斯流子的概念
对于无界空间中的流动，寻找斯托克斯方程的基本解具有根本性的意义。这对应于在原点施加一个点力 (Point Force) 或奇点 (Singularity) 所产生的流动。
考虑在原点有一个集中力 \(\mathbf{F}\) 作用在流体上。数学上，这通过动量方程中的体积力项表示为一个狄拉克δ函数：\(\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{F} \delta(\mathbf{x})\)。我们需要求解：
\[\begin{aligned} \mu \nabla^2 \mathbf{u} &= \nabla p - \mathbf{F} \delta(\mathbf{x}) \\ \nabla \cdot \mathbf{u} &= 0 \end{aligned} \]
这个问题的解称为斯托克斯流子 (Stokeslet) 或奥辛张量 (Oseen Tensor)。在三维空间中，其解为：
\[\boxed{ \begin{aligned} u_i(\mathbf{x}) &= \frac{1}{8\pi\mu} \left( \frac{\delta_{ij}}{r} + \frac{x_i x_j}{r^3} \right) F_j \\ p(\mathbf{x}) &= \frac{1}{4\pi} \frac{x_j F_j}{r^3} \end{aligned}} \]
其中，\(r = |\mathbf{x}|\)，\(i, j = 1,2,3\)，采用了爱因斯坦求和约定。
物理意义：这个解描述了在无穷大静止流体中，一个微小颗粒（如细菌、胶体粒子）在恒定力 \(\mathbf{F}\) 作用下，以极低速度（\(Re \approx 0\)）运动时，在其周围诱导出的速度场和压力场。速度以 \(1/r\) 衰减，这比无黏势流（衰减如 \(1/r^3\)）或偶极子流慢得多，反映了黏性作用的长程性。
基于斯托克斯流子，通过叠加原理，可以构造出力偶（对应于旋转小球产生的流场，即罗特莱特 Rotlet）、源汇、应力张量等更高阶的基本奇点，为解决更复杂的边界问题（如多个粒子的运动）提供了基础。
第五步：边界条件与边值问题的提法
要唯一确定斯托克斯方程的解，必须给出适当的边界条件。常见的有：
- 无滑移边界条件 (No-Slip Condition)：在固定固体边界 \(\partial \Omega\) 上，流体速度等于固体壁面的速度。如果壁面静止，则：
\[ \mathbf{u} = 0 \quad \text{on} \ \partial \Omega \]
这是最常用、最重要的条件。
- 无穷远条件：对于外区域问题（如流体绕物体的流动），通常在无穷远处规定均匀来流或静止条件：
\[ \mathbf{u} \to \mathbf{U}_{\infty} \quad \text{as} \ r \to \infty \]
- 自由表面条件：在流体与空气的界面上，需要满足切应力连续和法向应力平衡（通常涉及表面张力），这是一个更复杂的边界条件。
给定这些边界条件后，斯托克斯方程的边值问题通常是适定的，即解存在、唯一，并且连续依赖于边界数据。
第六步：一个重要应用实例——斯托克斯定律 (Stokes‘ Law)
斯托克斯方程最著名的应用之一是推导小球在黏性流体中缓慢运动时所受的阻力公式，即斯托克斯定律。
问题设定：考虑一个半径为 \(a\) 的刚性球，以恒定速度 \(\mathbf{U}\) 在无界、静止的黏性流体中运动 (\(Re \ll 1\))。求球受到的流体阻力 \(\mathbf{F}_d\)。
求解思路：
- 在随球心运动的参考系中，问题转化为：无穷远处速度为 \(-\mathbf{U}\) 的均匀来流，绕一个静止球的流动。
- 利用对称性：由于流动是轴对称的（绕球的运动轴），可以采用球坐标系 \((r, \theta, \phi)\)，并将速度场分解为流函数形式。
- 求解：将斯托克斯方程在球坐标系下写出，并结合不可压缩条件，可以引入斯托克斯流函数 \(\psi(r, \theta)\)，将方程组化简为一个关于 \(\psi\) 的四阶线性方程（称为斯托克斯方程的流函数形式）：\(E^4 \psi = 0\)，其中 \(E^2\) 是球坐标系下的某种拉普拉斯算子。
- 应用边界条件：
- 在球面 \(r=a\) 上：无滑移条件 \(\mathbf{u} = 0\)。
- 无穷远处 \(r \to \infty\)：\(\mathbf{u} \to -\mathbf{U}\)。
- 得到速度场和压力场：通过求解，可以得到解析解。进而，通过对球面上的流体应力张量进行积分，得到总阻力和力矩。
最终结果——斯托克斯定律：
\[\boxed{\mathbf{F}_d = -6\pi \mu a \mathbf{U}} \]
阻力大小 \(F_d = 6\pi \mu a U\)，方向与球的运动方向相反。这个公式是线性的，与速度成正比，这正是低雷诺数流动的特征。它被广泛应用于物理、化学、生物和工程中，用于计算微小颗粒（如尘埃、液滴、血细胞、胶体颗粒）的沉降速度或测量流体黏度。
总结
黏性流体中的斯托克斯方程 是处理低雷诺数 (\(Re \ll 1\)) 不可压缩黏性流动的数学模型。它通过忽略非线性惯性项，将复杂的纳维-斯托克斯方程线性化，从而获得了一个数学上优雅、物理上重要且可解性强的系统。其核心是速度与压强的线性椭圆型方程组，具有压强和涡量为调和函数、解满足叠加原理等关键特性。斯托克斯流子是其基本解，是构建更复杂解的基础。该理论不仅揭示了蠕动流的基本物理图景，而且通过斯托克斯定律等精确解，在微观流体力学、生物物理和胶体科学等领域有着广泛而深刻的应用。