哈尔测度的模与离散性（Modulus and Discreteness of Haar Measure）
字数 2924 2025-12-15 07:52:54

哈尔测度的模与离散性（Modulus and Discreteness of Haar Measure）

我将为你循序渐进地讲解哈尔测度的“模”（Modulus）性质与其“离散性”之间的关系。这是一个关于局部紧群上不变测度的深层性质，连接了群的结构、测度的缩放行为以及群的拓扑特性。

第1步：回顾基础——哈尔测度的平移不变性与唯一性

首先，我们需要明确两个已掌握的核心事实：

  1. 平移不变性：在局部紧群 \(G\) 上，左哈尔测度 \(\mu\) 满足对任意 \(g \in G\) 和任意博雷尔集 \(B\)，有 \(\mu(gB) = \mu(B)\)。
  2. 唯一性：在相差一个正常数因子的意义下，左哈尔测度是唯一的。

这意味着，如果我们固定了一个左哈尔测度 \(\mu\)，那么任何其他左哈尔测度都必然是 \(c \cdot \mu\)（\(c > 0\)）的形式。

第2步：引入“模函数”（Modular Function）的概念

现在考虑一个更精细的操作：右平移。对于一个固定的左哈尔测度 \(\mu\) 和一个群元素 \(g \in G\)，我们可以定义一个新的测度 \(\mu_g\)：

\[\mu_g(B) = \mu(Bg)， \quad \text{对于所有博雷尔集 } B。 \]

这里 \(Bg = \{ xg : x \in B \}\)。

关键观察：

  • 由于右平移也是同胚，\(\mu_g\) 仍然是一个博雷尔测度。
  • 可以验证，\(\mu_g\) 也是左不变的（因为左平移和右平移可交换）。因此，根据哈尔测度的唯一性，\(\mu_g\) 必然是原始测度 \(\mu\) 的一个倍数。

于是，我们定义 模函数 \(\Delta: G \to (0, \infty)\) 为这个比例因子：

\[\mu(Bg) = \Delta(g^{-1}) \mu(B)， \quad \text{或者等价地}, \quad \mu(Bg^{-1}) = \Delta(g) \mu(B)。 \]

模函数 \(\Delta(g)\) 衡量了在 \(g\) 作用下右平移对左哈尔测度的“缩放”程度。

重要性质：

  • \(\Delta\) 是一个连续群同态，从 \(G\) 到乘法群 \((0, \infty)\)。
  • 如果 \(\Delta \equiv 1\)，则左哈尔测度同时也是右不变的（即 \(\mu(Bg) = \mu(B)\)），这样的群称为幺模群（Unimodular Group）。紧群、阿贝尔群、离散群都是幺模的。

第3步：模函数与群的“离散性”的关联——定义“离散群”

在拓扑群中，“离散群”是一个具有离散拓扑的群。这意味着：

  • 群的每一点都是一个开集。
  • 特别地，单点集 \(\{e\}\)（单位元）是开的，因此具有正的哈尔测度（因为任何非空开集在哈尔测度下都有正测度）。

思考：在一个离散群 \(G\) 上，计数测度（赋予每个单点测度为1）自然而然地是一个哈尔测度。它是左不变且右不变的，因此离散群是幺模的，其模函数 \(\Delta \equiv 1\)。

第4步：核心关系——模函数与哈尔测度“离散性”的刻画

这里的“离散性”不仅仅指拓扑离散，更深层地，它与哈尔测度的赋值特性相关。一个关键的联系是：

一个局部紧群 \(G\) 是离散的，当且仅当它的哈尔测度 \(\mu\) 在单位元 \(e\) 处是“原子的”，即 \(\mu(\{e\}) > 0\)。

让我们来理解这个等价关系：

  1. 如果 \(G\) 是离散的：如上所述，\(\{e\}\) 是开集，故 \(\mu(\{e\}) > 0\)。测度集中在每个点上，具有离散的（或“原子的”）结构。

  2. 如果 \(\mu(\{e\}) > 0\)：利用哈尔测度的左不变性，对于任意 \(g \in G\)，有 \(\mu(\{g\}) = \mu(g\{e\}) = \mu(\{e\}) > 0\)。这意味着每个单点集都有相同的正测度。在局部紧群中，具有正测度的紧集必须包含有限个点（否则测度可以无限累加，与紧集的有限测度矛盾）。因此，包含单位元的任何紧邻域只能是有限集。这迫使单位元有一个邻域只包含它自己，即 \(\{e\}\) 是开集，所以拓扑是离散的。

第5步：将模函数引入这幅图景

现在，我们把模函数和这个离散性联系起来。假设我们有一个群 \(G\)，其哈尔测度在单位元处是原子的 (\(\mu(\{e\}) > 0\))，即 \(G\) 是离散的。

  • 由于 \(G\) 是离散的，它一定是幺模的（如前所述），所以模函数 \(\Delta \equiv 1\)。
  • 更本质地，我们可以从模函数的角度观察：如果存在一个点（特别是单位元）具有正测度，那么右平移不能改变这个单点集的质量，这直接要求 \(\Delta(g) = 1\) 对所有 \(g\) 成立。因此，哈尔测度的离散性（即单点集正测度）强制其模函数为常数1。

反过来，如果模函数非常数（即群非幺模），会发生什么？这意味着存在某个 \(g\) 使得 \(\Delta(g) \neq 1\)。连续应用右平移 \(g\) 于单位元 \(e\)，集合 \(\{e, g, g^2, \dots \}\) 的测度将构成一个几何级数 \(\mu(\{e\}) (1 + \Delta(g) + \Delta(g)^2 + \dots)\)。如果这个集合包含在某个紧集中，其测度必须有限。如果 \(\mu(\{e\}) > 0\)，这要求级数收敛，从而 \(|\Delta(g)| < 1\)。但模函数取值于正实数，这导致矛盾，因为对于非幺模群，\(\Delta\) 的值可以大于1也可以小于1，总能找到使几何级数发散的序列，从而无法容纳于有限测度的紧集。因此，在非幺模群中，单位元的测度必须为零 (\(\mu(\{e\}) = 0\))。这印证了离散性（单点正测度）与幺模性的紧密耦合。

总结

哈尔测度的模函数 \(\Delta\) 描述了右平移对左哈尔测度的缩放效应。群的离散性（拓扑离散）等价于其哈尔测度在单点集（尤其是单位元）赋予正质量。这两者通过一个深刻的事实联系起来：

一个局部紧群是离散的，当且仅当它是幺模的（\(\Delta \equiv 1\)）并且其哈尔测度在单位元处是原子的（\(\mu(\{e\}) > 0\)）。反之，非离散群（如实数加法群、一般线性群）必然是连续统，其单点集测度为零，并且它们可能是幺模的（如阿贝尔群），也可能是非幺模的（如某些矩阵群），此时模函数非平凡，反映了群结构的非对称性。

这个关系揭示了群拓扑结构、其不变测度的点态性质以及平移对称性（模函数） 三者之间优美的一致性。

哈尔测度的模与离散性（Modulus and Discreteness of Haar Measure） 我将为你循序渐进地讲解哈尔测度的“模”（Modulus）性质与其“离散性”之间的关系。这是一个关于局部紧群上不变测度的深层性质，连接了群的结构、测度的缩放行为以及群的拓扑特性。 第1步：回顾基础——哈尔测度的平移不变性与唯一性 首先，我们需要明确两个已掌握的核心事实： 平移不变性 ：在局部紧群 \( G \) 上，左哈尔测度 \( \mu \) 满足对任意 \( g \in G \) 和任意博雷尔集 \( B \)，有 \( \mu(gB) = \mu(B) \)。 唯一性 ：在相差一个正常数因子的意义下，左哈尔测度是唯一的。 这意味着，如果我们固定了一个左哈尔测度 \( \mu \)，那么任何其他左哈尔测度都必然是 \( c \cdot \mu \)（\( c > 0 \)）的形式。 第2步：引入“模函数”（Modular Function）的概念 现在考虑一个更精细的操作： 右平移 。对于一个固定的左哈尔测度 \( \mu \) 和一个群元素 \( g \in G \)，我们可以定义一个新的测度 \( \mu_ g \)： \[ \mu_ g(B) = \mu(Bg)， \quad \text{对于所有博雷尔集 } B。 \] 这里 \( Bg = \{ xg : x \in B \} \)。 关键观察 ： 由于右平移也是同胚，\( \mu_ g \) 仍然是一个博雷尔测度。 可以验证，\( \mu_ g \) 也是 左不变 的（因为左平移和右平移可交换）。因此，根据哈尔测度的唯一性，\( \mu_ g \) 必然是原始测度 \( \mu \) 的一个倍数。 于是，我们定义 模函数 \( \Delta: G \to (0, \infty) \) 为这个比例因子： \[ \mu(Bg) = \Delta(g^{-1}) \mu(B)， \quad \text{或者等价地}, \quad \mu(Bg^{-1}) = \Delta(g) \mu(B)。 \] 模函数 \( \Delta(g) \) 衡量了在 \( g \) 作用下右平移对左哈尔测度的“缩放”程度。 重要性质 ： \( \Delta \) 是一个连续群同态，从 \( G \) 到乘法群 \( (0, \infty) \)。 如果 \( \Delta \equiv 1 \)，则左哈尔测度同时也是右不变的（即 \( \mu(Bg) = \mu(B) \)），这样的群称为 幺模群 （Unimodular Group）。紧群、阿贝尔群、离散群都是幺模的。 第3步：模函数与群的“离散性”的关联——定义“离散群” 在拓扑群中，“离散群”是一个具有 离散拓扑 的群。这意味着： 群的每一点都是一个开集。 特别地，单点集 \( \{e\} \)（单位元）是开的，因此具有正的哈尔测度（因为任何非空开集在哈尔测度下都有正测度）。 思考 ：在一个离散群 \( G \) 上，计数测度（赋予每个单点测度为1）自然而然地是一个哈尔测度。它是左不变且右不变的，因此离散群是幺模的，其模函数 \( \Delta \equiv 1 \)。 第4步：核心关系——模函数与哈尔测度“离散性”的刻画 这里的“离散性”不仅仅指拓扑离散，更深层地，它与哈尔测度的赋值特性相关。一个关键的联系是： 一个局部紧群 \( G \) 是离散的，当且仅当它的哈尔测度 \( \mu \) 在单位元 \( e \) 处是“原子的”，即 \( \mu(\{e\}) > 0 \)。 让我们来理解这个等价关系： 如果 \( G \) 是离散的 ：如上所述，\( \{e\} \) 是开集，故 \( \mu(\{e\}) > 0 \)。测度集中在每个点上，具有离散的（或“原子的”）结构。 如果 \( \mu(\{e\}) > 0 \) ：利用哈尔测度的 左不变性 ，对于任意 \( g \in G \)，有 \( \mu(\{g\}) = \mu(g\{e\}) = \mu(\{e\}) > 0 \)。这意味着每个单点集都有相同的正测度。在局部紧群中，具有正测度的紧集必须包含有限个点（否则测度可以无限累加，与紧集的有限测度矛盾）。因此，包含单位元的任何紧邻域只能是有限集。这迫使单位元有一个邻域只包含它自己，即 \( \{e\} \) 是开集，所以拓扑是离散的。 第5步：将模函数引入这幅图景 现在，我们把模函数和这个离散性联系起来。假设我们有一个群 \( G \)，其哈尔测度在单位元处是原子的 (\( \mu(\{e\}) > 0 \))，即 \( G \) 是离散的。 由于 \( G \) 是离散的，它一定是幺模的（如前所述），所以模函数 \( \Delta \equiv 1 \)。 更本质地，我们可以从模函数的角度观察：如果存在一个点（特别是单位元）具有正测度，那么右平移不能改变这个单点集的质量，这直接要求 \( \Delta(g) = 1 \) 对所有 \( g \) 成立。因此， 哈尔测度的离散性（即单点集正测度）强制其模函数为常数1 。 反过来，如果模函数非常数（即群非幺模），会发生什么？这意味着存在某个 \( g \) 使得 \( \Delta(g) \neq 1 \)。连续应用右平移 \( g \) 于单位元 \( e \)，集合 \( \{e, g, g^2, \dots \} \) 的测度将构成一个几何级数 \( \mu(\{e\}) (1 + \Delta(g) + \Delta(g)^2 + \dots) \)。如果这个集合包含在某个紧集中，其测度必须有限。如果 \( \mu(\{e\}) > 0 \)，这要求级数收敛，从而 \( |\Delta(g)| < 1 \)。但模函数取值于正实数，这导致矛盾，因为对于非幺模群，\( \Delta \) 的值可以大于1也可以小于1，总能找到使几何级数发散的序列，从而无法容纳于有限测度的紧集。因此， 在非幺模群中，单位元的测度必须为零 (\( \mu(\{e\}) = 0 \))。这印证了离散性（单点正测度）与幺模性的紧密耦合。 总结 哈尔测度的 模函数 \( \Delta \) 描述了右平移对左哈尔测度的缩放效应。群的 离散性 （拓扑离散）等价于其哈尔测度在单点集（尤其是单位元）赋予正质量。这两者通过一个深刻的事实联系起来： 一个局部紧群是离散的，当且仅当它是幺模的（\( \Delta \equiv 1 \)）并且其哈尔测度在单位元处是原子的（\( \mu(\{e\}) > 0 \)）。反之，非离散群（如实数加法群、一般线性群）必然是连续统，其单点集测度为零，并且它们可能是幺模的（如阿贝尔群），也可能是非幺模的（如某些矩阵群），此时模函数非平凡，反映了群结构的非对称性。 这个关系揭示了群 拓扑结构 、其 不变测度的点态性质 以及 平移对称性（模函数） 三者之间优美的一致性。