球面三角学的基本定理：正弦定理与余弦定理
好的，我们已经探讨过“球面三角形的余弦定理”，现在让我们深入其核心伙伴——正弦定理，并将两者作为球面三角学的基本定理，进行系统性的阐述。
第一步：回顾基础场景与设定
- 核心场景：我们在一个半径为 R 的单位球面（为简化，常设 R=1，结果可通过比例放大）上工作。考虑一个球面三角形。
- 球面三角形的定义：由球面上三段大圆弧（过球心的平面与球面相交形成的圆）相交围成的图形。这三个大圆弧的交点称为球面三角形的顶点，通常记为 A, B, C。
- 关键要素：
- 边 (a, b, c)：在球面三角形中，“边长”用其对应的圆心角（即大圆弧所对的球心角）来度量。因此，边长 a 是顶点 A 的对边（即连接 B 和 C 的大圆弧）所对的球心角，其余类推。这些角通常用弧度表示。
- 角 (A, B, C)：球面三角形的“角”是指两个大圆弧在顶点处的切线的夹角，也就是这两个大圆弧所在平面之间的二面角。这是球面角与平面角的关键区别。
第二步：球面正弦定理的引入与证明思路
- 定理陈述：对于单位球面（R=1）上的球面三角形，其边长 a, b, c 和对应角 A, B, C 满足以下关系：
\[ \frac{\sin a}{\sin A} = \frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{\sin C} \]
若球半径为 *R*，则边长用弧度表示时，公式形式不变。
- 证明的几何/向量法思路（以理解其起源）：
- 设球心为 O，顶点 A, B, C 在三维空间中的位置向量分别为 A, B, C（单位向量）。
- 根据定义，边长 a 就是向量 B 与 C 之间的夹角（球心角），所以 \(\cos a = \mathbf{B} \cdot \mathbf{C}\)，\(\sin a = |\mathbf{B} \times \mathbf{C}|\)。类似地，\(\cos b = \mathbf{C} \cdot \mathbf{A}\)，\(\cos c = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\)。
- 角 A 是边 AB 和 AC 所在大圆的切线的夹角，等价于这两个大圆所在平面的法向量之间的夹角。边 AB 所在大圆的平面由向量 A 和 B 张成，其一个法向量可取为 \(\mathbf{n}_{AB} = \mathbf{A} \times \mathbf{B}\)。同理，边 AC 所在平面的法向量为 \(\mathbf{n}_{AC} = \mathbf{A} \times \mathbf{C}\)。
- 于是，角 A（的二面角）满足：
\[ \cos A = \frac{(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{C})}{|\mathbf{A} \times \mathbf{B}| \, |\mathbf{A} \times \mathbf{C}|}，\quad \sin A = \frac{|(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times (\mathbf{A} \times \mathbf{C})|}{|\mathbf{A} \times \mathbf{B}| \, |\mathbf{A} \times \mathbf{C}|} \]
- 利用向量恒等式 \((\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{w} \times \mathbf{x}) = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})(\mathbf{v} \cdot \mathbf{x}) - (\mathbf{u} \cdot \mathbf{x})(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\) 和双重叉积公式，可以推导出：
\[ \sin A = \frac{\sin a}{|\mathbf{B} \times \mathbf{C}|} \cdot [\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}] \]
其中 \([\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}] = \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C})\) 是三个向量的混合积，其绝对值等于以它们为棱的平行六面体的体积。
- 类似可以得到 \(\sin B\) 和 \(\sin C* 的表达式。由于混合积 \([\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}]\) 在循环置换下不变，因此在比较 \(\sin A / \sin a\)， \(\sin B / \sin b\)， \(\sin C / \sin c* 时，这个公共因子被消去，最终得到：
\[ \frac{\sin a}{\sin A} = \frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{\sin C} \]
第三步：球面余弦定理的回顾与再阐述
球面三角学有两组余弦定理，分别用于“由边求角”和“由角求边”。
- 第一余弦定理（边的余弦定理）：
\[ \cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A \]
- 意义：已知两边 b, c 及其夹角 A，可求第三边 a。它是平面余弦定理 \(\cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A\) 在球面上的类比，注意平面版是 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)，在球面上形式更简洁。
- 推导思路：同样基于顶点向量 A, B, C。我们有 \(\cos a = \mathbf{B} \cdot \mathbf{C}\)。将 B 和 C 用 A 和两个正交方向展开（例如，B 在 A 和垂直于 A 的 AB 方向上的分量），并利用角 A 的定义，即可推导出此式。
- 第二余弦定理（角的余弦定理）：
\[ \cos A = -\cos B \cos C + \sin B \sin C \cos a \]
* **意义**：已知两角 *B, C* 及其夹边 *a*，可求第三角 *A*。注意公式中有一个负号，这是与平面三角（平面三角形内角和为π，没有对应公式）的本质区别，反映了球面三角形的角和对边的双重性（对偶性）。
* **推导**：可以从第一余弦定理出发，利用球面三角形的“极三角形”性质（每个顶点的极线构成的新三角形）推导得出，或直接进行代数消元。
第四步：定理的几何意义与应用场景
- 与平面三角的对比与极限：
- 当球面三角形的边长 a, b, c 非常小（相比于球半径 R）时，有近似 \(\sin x \approx x\)， \(\cos x \approx 1 - x^2/2\)。此时，球面正弦定理退化为平面正弦定理 \(a/\sin A = b/\sin B = c/\sin C\)。球面第一余弦定理退化为平面余弦定理 \(a^2 \approx b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)。
- 这表明平面三角是球面三角在局部小尺度下的极限近似。
- 应用场景：
- 导航与大地测量：计算地球上两点间的大圆距离、航行方位角等核心问题，直接依赖于球面余弦定理和正弦定理。
- 天文定位：在天球上，天体与观测者构成的也是球面三角形，这些定理用于计算天体的地平坐标与赤道坐标之间的转换。
- 球面几何的基础：它们是推导其他球面公式（如半角公式、面积公式）的基石。
第五步：总结与升华
球面三角学的正弦定理和两组余弦定理，构成了一个完整的系统，解决了球面三角形中“边”与“角”的互解问题。它们完美地体现了球面几何与平面几何的深刻联系与本质差异：形式上的优雅对称性，以及由曲率（1/R²）引入的额外项（如余弦定理中的乘积项和负号）。理解这些定理，是进入更复杂的非欧几何（如双曲几何）和现代微分几何中曲面论的重要阶梯。