格林函数法在斯托克斯方程中的应用 (Application of Green's Function Method to the Stokes Equations)
好的，我们开始讲解这个数学物理方程中的重要方法。斯托克斯方程描述了低雷诺数下不可压缩黏性流体的流动。格林函数法为其求解提供了系统而强大的工具。
步骤一：回顾斯托克斯方程及其物理背景
首先，我们需要明确要解决的问题是什么。
- 斯托克斯方程：对于不可压缩的牛顿流体，在惯性力远小于黏性力的条件下（即雷诺数 Re << 1），纳维-斯托克斯方程简化为稳态的斯托克斯方程：
\[ \begin{cases} \mu \nabla^2 \mathbf{u} - \nabla p = -\mathbf{f}, \\ \nabla \cdot \mathbf{u} = 0. \end{cases} \]
其中：
- \(\mathbf{u}(\mathbf{x})\) 是速度矢量场。
- \(p(\mathbf{x})\) 是压力标量场。
- \(\mu\) 是流体的动力黏度（常数）。
- \(\mathbf{f}(\mathbf{x})\) 是作用在流体上的体积力密度（如重力）。
- \(\nabla^2\) 是拉普拉斯算符（对矢量 \(\mathbf{u}\) 作用于每个分量）。
- \(\nabla \cdot\) 是散度算符。
- 物理意义：第一个方程是动量方程（力平衡），它本质上是线性的。第二方程是不可压缩条件。这种线性特性是格林函数法得以应用的关键。典型问题包括：微小颗粒在黏性流体中的缓慢运动（如沉降）、微流控器件中的流动、细胞在体液中的运动等。
步骤二：引入格林函数法的核心思想
格林函数法的核心是“点源响应”。
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点力概念：为了求解由分布力 \(\mathbf{f}(\mathbf{x})\) 驱动的流动，我们首先求解一个最基本的问题：在无穷大流体中，在 \(\mathbf{y}\) 点施加一个沿 \(j\) 方向的单位点力，会产生怎样的速度场和压力场？这个点力用狄拉克δ函数表示为 \(\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \hat{\mathbf{e}}_j \delta(\mathbf{x} - \mathbf{y})\)，其中 \(\hat{\mathbf{e}}_j\) 是 \(j\) 方向的单位矢量。
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基本解（格林函数）：对应于单位点力的解，称为斯托克斯基本解或奥辛（Oseen）张量。记这个基本的速度场为 \(\mathbf{G}^j(\mathbf{x}; \mathbf{y})\)，压力场为 \(\mathbf{P}^j(\mathbf{x}; \mathbf{y})\)。它们满足：
\[ \begin{cases} \mu \nabla_x^2 \mathbf{G}^j(\mathbf{x}; \mathbf{y}) - \nabla_x \mathbf{P}^j(\mathbf{x}; \mathbf{y}) = -\hat{\mathbf{e}}_j \delta(\mathbf{x} - \mathbf{y}), \\ \nabla_x \cdot \mathbf{G}^j(\mathbf{x}; \mathbf{y}) = 0. \end{cases} \]
这里下标 \(x\) 表示对变量 \(\mathbf{x}\) 进行微分，\(\mathbf{y}\) 是点源的位置参数。
步骤三：推导三维无限空间中的斯托克斯基本解
我们来具体求解这个基本解。由于问题是线性的且空间各向同性，我们可以使用傅里叶变换或直接求解。
- 求解过程：我们寻求形式为 \(\mathbf{G}^j(\mathbf{x}; \mathbf{y}) = \frac{1}{8\pi\mu} [\frac{\delta_{ij}}{r} + \frac{(x_i - y_i)(x_j - y_j)}{r^3}]\) 的解，其中 \(r = |\mathbf{x} - \mathbf{y}|\)， \(\delta_{ij}\) 是克罗内克δ。压力为 \(\mathbf{P}^j(\mathbf{x}; \mathbf{y}) = \frac{x_j - y_j}{4\pi r^3}\)。
- 验证连续性方程：\(\nabla \cdot \mathbf{G}^j = 0\) 可以通过直接微分验证成立。
- 验证动量方程：将 \(\mathbf{G}^j\) 和 \(\mathbf{P}^j\) 代入动量方程，并利用矢量恒等式 \(\nabla^2 (1/r) = -4\pi \delta(\mathbf{x}-\mathbf{y})\)，可以验证方程成立。核心在于，\(\nabla^2 \frac{(x_i-y_i)(x_j-y_j)}{r^3}\) 的奇异性与 \(-\hat{\mathbf{e}}_j \delta(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) 相匹配。
- 写成张量形式：更紧凑地，我们定义速度格林张量 \(G_{ij}(\mathbf{x}, \mathbf{y})\) 和压力格林矢量 \(P_i(\mathbf{x}, \mathbf{y})\)，使得当点力沿 \(j\) 方向时，产生的速度的 \(i\) 分量为 \(G_{ij}\)，压力为 \(P_j\)。三维无限空间的解为：
\[ G_{ij}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \frac{1}{8\pi\mu} \left( \frac{\delta_{ij}}{r} + \frac{(x_i - y_i)(x_j - y_j)}{r^3} \right), \]
\[ P_j(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \frac{x_j - y_j}{4\pi r^3}. \]
这被称为 **斯托克斯流** 的 **基本奇异解**。
步骤四：从基本解构造一般解（积分表示）
有了点力的响应，任意分布力 \(\mathbf{f}(\mathbf{y})\) 驱动的流动可以通过叠加原理（积分） 来构造。
- 积分公式：由于方程是线性的，将分布力 \(\mathbf{f}(\mathbf{y})\) 看作无数个点力 \(\mathbf{f}(\mathbf{y}) d^3\mathbf{y}\) 的叠加，那么整个流场的解就是对基本解进行加权积分：
\[ u_i(\mathbf{x}) = \int_{\mathbb{R}^3} G_{ij}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) f_j(\mathbf{y}) \, d^3\mathbf{y}, \]
\[ p(\mathbf{x}) = \int_{\mathbb{R}^3} P_j(\mathbf{x}, \mathbf{y}) f_j(\mathbf{y}) \, d^3\mathbf{y}. \]
这里使用了爱因斯坦求和约定（对重复下标 \(j\) 求和）。
- 物理解释：这个公式具有清晰的物理意义：空间任意一点 \(\mathbf{x}\) 的速度，是由所有点 \(\mathbf{y}\) 处的力源 \(\mathbf{f}(\mathbf{y})\) 所产生的“影响”在该点叠加而成的。\(G_{ij}\) 就是这种“影响”的传播函数。
步骤五：处理边界条件——斯托克斯问题中的特殊性
无穷空间的解很简单，但实际物理问题总涉及边界（如颗粒表面、管壁）。这是斯托克斯问题格林函数法的精髓和难点所在。
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边界条件的重要性：对于不可压缩斯托克斯流，在边界 \(\partial \Omega\) 上通常指定无滑移条件：\(\mathbf{u}(\mathbf{x}) = \mathbf{U}(\mathbf{x})\)，其中 \(\mathbf{U}\) 是已知的边界速度（如静止壁面 \(\mathbf{U}=0\)，或以速度运动的颗粒表面）。
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边界积分方程法：我们无法直接使用无穷空间的基本解 \(G_{ij}\) 来满足边界条件。为了解决有界区域或物体存在时的流动，发展出了边界积分方程法。
- 基本思路：利用格林公式（或与之等价的黏性流的洛伦兹互易定理），可以将区域 \(\Omega\) 内的解用边界上的物理量（单层势和双层势）表示出来。
- 积分表示定理：对于被边界 \(\partial \Omega\) 包围的流体区域，内部点的速度可以表示为：
\[ u_j(\mathbf{x}) = -\frac{1}{8\pi\mu} \int_{\partial \Omega} G_{ij}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \sigma_{ik}(\mathbf{y}) n_k(\mathbf{y}) \, dS(\mathbf{y}) + \frac{1}{8\pi} \int_{\partial \Omega} u_i(\mathbf{y}) T_{ijk}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) n_k(\mathbf{y}) \, dS(\mathbf{y}) \]
其中：
- 第一项是 单层势，物理上对应边界上分布的力（应力 \(\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{n}\)，即面力密度）对流动的贡献。
* 第二项是 双层势，物理上对应边界上分布的速度奇异性（与偶极子相关）的贡献。 - \(T_{ijk}\) 是与基本解对应的应力张量格林函数， \(T_{ijk} = -P_j \delta_{ik} + \mu (\partial G_{ij}/\partial x_k + \partial G_{kj}/\partial x_i)\)。
- \(\mathbf{n}(\mathbf{y})\) 是边界上指向流体区域的外法向单位矢量。
步骤六：边界积分方程的建立与求解
从表示定理出发，让观测点 \(\mathbf{x}\) 趋近于边界 \(\partial \Omega\)，就得到了关于边界未知量的积分方程。
- 建立方程：当 \(\mathbf{x} \to \partial \Omega\) 时，由于奇异性，积分需要取柯西主值，公式变为：
\[ \frac{1}{2} u_j(\mathbf{x}) + \frac{1}{8\pi} \text{P.V.} \int_{\partial \Omega} u_i(\mathbf{y}) T_{ijk}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) n_k(\mathbf{y}) \, dS(\mathbf{y}) = -\frac{1}{8\pi\mu} \int_{\partial \Omega} G_{ij}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) q_i(\mathbf{y}) \, dS(\mathbf{y}), \quad \mathbf{x} \in \partial \Omega. \]
其中 \(q_i(\mathbf{y}) = \sigma_{ik}(\mathbf{y}) n_k(\mathbf{y})\) 是边界上面力密度（表面牵引力），是未知量。而边界速度 \(u_i(\mathbf{y})\) 由边界条件给定。
- 求解未知量：这是一个第二类弗雷德霍姆积分方程（对于 \(q_i\)）。我们可以通过边界元法 进行数值求解：
- 将边界 \(\partial \Omega\) 离散为许多小单元。
- 在每个单元上假设未知面力 \(q_i\) 的分布形式（如常数、线性）。
- 将积分方程在离散的节点上建立代数方程，形成一个线性方程组 \(A \mathbf{q} = \mathbf{b}\)，其中 \(\mathbf{b}\) 由已知边界速度 \(u_i\) 通过积分算出。
- 求解这个方程组得到边界上的面力分布 \(\mathbf{q}\)。
- 计算全场：一旦求出边界上的 \(\mathbf{q}\)，就可以将其代入步骤五中的积分表示公式，计算流体区域内任意一点的速度和压力。
步骤七：总结与应用意义
格林函数法在斯托克斯方程中的应用，提供了一个将复杂的偏微分方程边值问题转化为边界积分方程问题的框架。
- 降维优势：这是最大的优点。问题从求解整个三维区域（体积）的场，降低为只需在二维边界上求解积分方程，极大地减少了计算自由度。
- 精确处理奇异性：该方法自动满足无穷远处的衰减条件，并且能精确解析地处理点力奇异性。
- 广泛应用：此方法是微尺度流体力学、胶体科学、生物流体力学 中计算颗粒受力、力矩、以及多颗粒相互作用的标准数值工具（如“斯托克斯动力学”模拟）。例如，计算一个细菌鞭毛摆动产生的推力，或预测多个血球细胞在微血管中的运动轨迹。
综上所述，格林函数法通过构建点力基本解，并利用线性叠加和边界积分技术，为求解斯托克斯方程这一重要的数学物理方程提供了一个既深刻又实用的系统性方法。