勒贝格可测函数
1. 预备知识：为什么需要新的“可测性”概念
在黎曼积分理论中，我们处理的函数通常是“性质较好”的，比如连续或分段连续。但很多重要函数（如狄利克雷函数）黎曼不可积，限制了分析的适用范围。勒贝格积分通过重新定义“测度”和“可测性”，极大地扩展了可积函数类。为了定义勒贝格积分，首先需要明确哪些函数是“可测的”，即函数值与实数集的几何结构有良好的相容性。
2. 基础定义：可测集
- 设 \(E \subseteq \mathbb{R}^n\)。
- 若 \(E\) 的外勒贝格测度与内勒贝格测度相等，则称 \(E\) 是勒贝格可测集，其公共值记为 \(m(E)\)。
- 直观上，可测集是其边界“不太乱”、可以赋予明确“体积”（测度）的点集。所有开集、闭集、博雷尔集（由开集通过可数次交、并、补运算生成的集合）都是勒贝格可测的。存在不可测集，但需要选择公理才能构造。
3. 可测函数的定义
- 设 \(E \subseteq \mathbb{R}^n\) 是一个勒贝格可测集。
- 称函数 \(f: E \to [-\infty, +\infty]\) 是勒贝格可测的（或简称为可测的），如果对于任意实数 \(c\)，集合
\[ \{ x \in E : f(x) > c \} \]
都是勒贝格可测集。
- 这个条件等价于将 “>” 替换为 “≥”, “<”, 或 “≤”。也就是说，函数值落在任意区间 \((c, \infty]\) 的原像都是可测集。
4. 为什么这样定义？直观理解
黎曼积分依赖于对定义域进行“分割”，勒贝格积分则依赖于对值域进行“分割”。要通过对值域的分割来近似积分，就需要确保对值域的任意区间，其原像（定义域的子集）是有明确“大小”（测度）的。因此，可测函数的定义直接保证了这一核心需求。
5. 基本性质与运算的封闭性
可测函数类对于常见的代数运算和极限运算是封闭的，这是其强大实用性的关键。
- 线性组合：若 \(f, g\) 可测，\(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\)，则 \(\alpha f + \beta g\) 可测（需避免 \(\infty - \infty\) 情形）。
- 乘积与商：若 \(f, g\) 可测，则 \(fg\) 可测；若 \(g \neq 0\)，则 \(f/g\) 可测。
- 逐点极限：若 \(\{f_k\}\) 是一列可测函数，且逐点收敛（或几乎处处收敛）到函数 \(f\)，则极限函数 \(f\) 也是可测的。
- 上下确界、上极限、下极限：可测函数列的这些运算结果仍可测。
- 特别地，连续函数在可测集上的限制是可测的。
6. 重要的等价刻画
- 简单函数逼近：函数 \(f\) 可测的充要条件是，存在一列简单函数（即只取有限个值的可测函数）\(\{s_k\}\) 逐点收敛到 \(f\)。若 \(f\) 非负，还可以要求 \(0 \le s_1 \le s_2 \le \cdots \le f\)。
- 这一刻画是定义勒贝格积分的直接出发点：先定义简单函数的积分，再通过极限定义非负可测函数的积分，最后处理一般可测函数。
7. “几乎处处”概念下的松弛
在测度论中，一个性质若在去掉一个零测集后成立，则称该性质“几乎处处”成立。这对可测性同样适用：
- 若 \(f = g\) 几乎处处，且 \(g\) 可测，则 \(f\) 也可测。
- 若 \(\{f_k\}\) 可测且几乎处处收敛于 \(f\)，则 \(f\) 可测。
- 这使得我们可以在一个“几乎完全”的意义上处理函数，忽略那些对积分值没有影响的例外点集。
8. 与连续函数的关系（鲁津定理）
可测函数虽然范围很广，但与连续函数有深刻的联系，这由鲁津定理（Luzin’s Theorem）描述：
设 \(f\) 是定义在可测集 \(E \subset \mathbb{R}^n\) 上的实值可测函数，且 \(m(E) < \infty\)。则对任意 \(\epsilon > 0\)，存在一个闭集 \(F_\epsilon \subset E\)，使得：
- \(m(E \setminus F_\epsilon) < \epsilon\)；
- 函数 \(f\) 在闭集 \(F_\epsilon\) 上的限制是连续的。
通俗地说：一个可测函数在定义域上“除了一个任意小的集合外”是连续的。这一定理是可测函数复杂性与结构规律性的完美平衡。
总结：勒贝格可测函数是勒贝格积分理论的基石。它通过要求函数值水平集的可测性来定义，形成了一个对极限运算封闭的强大函数类。它既包含了所有黎曼可积函数，又容纳了大量“奇异”的函数，并通过简单函数逼近和鲁津定理等工具，与更基础的概念（简单函数、连续函数）紧密相连，为现代分析学提供了宽广而稳固的函数框架。