曲面的高斯映射与微分（续二）：魏因加滕映射的矩阵表示与曲率计算

字数 4682 2025-12-15 03:48:10

曲面的高斯映射与微分（续二）：魏因加滕映射的矩阵表示与曲率计算

好的，我们现在深入探讨高斯映射的微分——魏因加滕映射的矩阵表示，并说明它如何用于计算曲面的核心曲率。这是连接曲面外在形状（法向量变化）与内在弯曲程度（曲率）的关键桥梁。

第一步：回顾基础概念
想象一个光滑曲面 \(S\)，其每一点 \(p\) 都有一个单位法向量 \(N(p)\)。高斯映射 \(G\) 就是将点 \(p\) 映射到其法向量 \(N(p)\)，而 \(N(p)\) 可以被看作是单位球面 \(S^2\) 上的一个点。因此，高斯映射 \(G: S \to S^2\)。
魏因加滕映射 \(W_p\) 是高斯映射 \(G\) 在点 \(p\) 处的微分。它是一个线性变换：

\[W_p: T_p S \to T_{G(p)} S^2 \]

其中 \(T_p S\) 是曲面 \(S\) 在点 \(p\) 的切平面。由于 \(T_{G(p)} S^2\) 实际上就是与 \(N(p)\) 垂直的平面，因此 \(T_{G(p)} S^2 = T_p S\)。所以，魏因加滕映射 \(W_p\) 是一个从切平面到自身的线性变换。

第二步：获取切平面上的具体向量表示
为了用矩阵表示 \(W_p\)，我们需要在切平面 \(T_p S\) 上选择一个基底（即两个线性无关的切向量）。通常，我们使用曲面的参数化 \(\mathbf{r}(u, v)\) 来自然生成基底：

\(\mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\)
\(\mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\)
在非奇点处，\(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\) 线性无关，张成切平面 \(T_p S\)。

同时，我们有法向量 \(N = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{\|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|}\)。

第三步：计算魏因加滕映射作用于基底向量的结果
魏因加滕映射 \(W_p\) 作用在一个切向量 \(\mathbf{v}\) 上，得到的是法向量 \(N\) 沿该切方向的变化率，即方向导数 \(-D_{\mathbf{v}} N\)。（负号源于历史习惯，表示法向量变化投影到切平面时的一个方向约定，但核心是变化率）。
因此，对于我们的基底：

\[W_p(\mathbf{r}_u) = -D_{\mathbf{r}_u} N = -N_u \]

\[ W_p(\mathbf{r}_v) = -D_{\mathbf{r}_v} N = -N_v \]

这里 \(N_u = \frac{\partial N}{\partial u}\)，\(N_v = \frac{\partial N}{\partial v}\)。

关键点在于：\(N_u\) 和 \(N_v\) 本身也是向量。由于 \(N\) 是单位向量，它对任何参数的导数都与 \(N\) 本身垂直（因为 \(N \cdot N = 1\) 求导得 \(2N \cdot N_u = 0\)）。所以 \(N_u\) 和 \(N_v\) 实际上也落在切平面 \(T_p S\) 内。这意味着我们可以将 \(N_u\) 和 \(N_v\) 用切基底 \(\{ \mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v \}\) 线性表示出来。

第四步：建立矩阵表示——魏因加滕矩阵
我们寻找系数 \(a, b, c, d\) 使得：

\[\begin{aligned} -N_u &= a \mathbf{r}_u + b \mathbf{r}_v \\ -N_v &= c \mathbf{r}_u + d \mathbf{r}_v \end{aligned} \]

那么，在以 \(\{ \mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v \}\) 为基底的切空间中，线性变换 \(W_p\) 的矩阵就是：

\[W = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \]

注意这里矩阵的列对应变换后基底的系数。更准确地说，如果我们将切向量 \(\mathbf{v} = x\mathbf{r}_u + y\mathbf{r}_v\) 表示为列向量 \([x, y]^T\)，那么 \(W_p(\mathbf{v})\) 的坐标就是 \(W \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)。

第五步：联系第一、第二基本形式，求解矩阵系数
如何求出 \(a, b, c, d\)？这需要用到曲面的第一基本形式和第二基本形式。
回忆：

第一基本形式系数：\(E = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u\)， \(F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v\)， \(G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v\)。
第二基本形式系数：\(L = N \cdot \mathbf{r}_{uu} = -\mathbf{r}_u \cdot N_u\)， \(M = N \cdot \mathbf{r}_{uv} = -\mathbf{r}_u \cdot N_v = -\mathbf{r}_v \cdot N_u\)， \(N_s = N \cdot \mathbf{r}_{vv} = -\mathbf{r}_v \cdot N_v\)。（这里用 \(N_s\) 表示，避免与法向量符号混淆）。

现在，对关系式 \(-N_u = a \mathbf{r}_u + b \mathbf{r}_v\) 两边分别点乘 \(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\)：

\[\begin{aligned} (-N_u) \cdot \mathbf{r}_u &= a (\mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u) + b (\mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_u) \Rightarrow L = aE + bF \\ (-N_u) \cdot \mathbf{r}_v &= a (\mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v) + b (\mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v) \Rightarrow M = aF + bG \end{aligned} \]

类似地，对 \(-N_v = c \mathbf{r}_u + d \mathbf{r}_v\) 两边分别点乘 \(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\)：

\[\begin{aligned} (-N_v) \cdot \mathbf{r}_u &= cE + dF \Rightarrow M = cE + dF \\ (-N_v) \cdot \mathbf{r}_v &= cF + dG \Rightarrow N_s = cF + dG \end{aligned} \]

我们得到了两组方程：

\[\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} L \\ M \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M \\ N_s \end{pmatrix} \]

中间的矩阵 \(\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}\) 就是第一基本形式的矩阵 \(\mathbf{I}\)。由于曲面正则，该矩阵可逆。因此：

\[\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N_s \end{pmatrix} \]

记第二基本形式矩阵为 \(\mathbf{II} = \begin{pmatrix} L & M \\ M & N_s \end{pmatrix}\)。于是，魏因加滕映射的矩阵表示为：

\[\boxed{W = \mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}} \]

这是微分几何中一个极其优美且重要的公式。

第六步：利用魏因加滕矩阵计算曲率
魏因加滕映射 \(W_p\) 是一个对称线性变换（自伴随算子），这源于 \(M\) 的对称性（\(\mathbf{r}_{uv} = \mathbf{r}_{vu}\)）。对称变换在切平面上存在两个正交的主方向，对应的特征值就是曲面的主曲率 \(k_1\) 和 \(k_2\)。
因此：

高斯曲率 \(K\) 是行列式：\(K = \det(W) = \det(\mathbf{I}^{-1}\mathbf{II}) = \frac{\det(\mathbf{II})}{\det(\mathbf{I})} = \frac{L N_s - M^2}{EG - F^2}\)。
平均曲率 \(H\) 是迹的一半：\(H = \frac{1}{2} \text{tr}(W) = \frac{1}{2} (a + d)\)。通过计算可得 \(H = \frac{EN_s + GL - 2FM}{2(EG - F^2)}\)。

总结：
魏因加滕映射 \(W_p\) 的矩阵表示 \(W = \mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}\) 完美地编码了曲面在一点附近的弯曲信息。它通过将描述曲面“倾斜度变化”的第二基本形式 \(\mathbf{II}\) 与描述曲面本身“尺度与夹角”的第一基本形式 \(\mathbf{I}\) 相结合，生成了一个线性变换。这个变换的特征值和特征向量直接给出了主曲率和主方向，而其行列式和迹分别给出了内蕴的高斯曲率和外在的平均曲率。这构成了曲面局部微分几何计算的基石。

曲面的高斯映射与微分（续二）：魏因加滕映射的矩阵表示与曲率计算好的，我们现在深入探讨高斯映射的微分——魏因加滕映射的矩阵表示，并说明它如何用于计算曲面的核心曲率。这是连接曲面外在形状（法向量变化）与内在弯曲程度（曲率）的关键桥梁。第一步：回顾基础概念想象一个光滑曲面 \( S \)，其每一点 \( p \) 都有一个单位法向量 \( N(p) \)。高斯映射 \( G \) 就是将点 \( p \) 映射到其法向量 \( N(p) \)，而 \( N(p) \) 可以被看作是单位球面 \( S^2 \) 上的一个点。因此，高斯映射 \( G: S \to S^2 \)。魏因加滕映射 \( W_ p \) 是高斯映射 \( G \) 在点 \( p \) 处的微分。它是一个线性变换： \[ W_ p: T_ p S \to T_ {G(p)} S^2 \] 其中 \( T_ p S \) 是曲面 \( S \) 在点 \( p \) 的切平面。由于 \( T_ {G(p)} S^2 \) 实际上就是与 \( N(p) \) 垂直的平面，因此 \( T_ {G(p)} S^2 = T_ p S \)。所以，魏因加滕映射 \( W_ p \) 是一个从切平面到自身的线性变换。第二步：获取切平面上的具体向量表示为了用矩阵表示 \( W_ p \)，我们需要在切平面 \( T_ p S \) 上选择一个基底（即两个线性无关的切向量）。通常，我们使用曲面的参数化 \( \mathbf{r}(u, v) \) 来自然生成基底： \( \mathbf{r}_ u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \) \( \mathbf{r}_ v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \) 在非奇点处，\( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \) 线性无关，张成切平面 \( T_ p S \)。同时，我们有法向量 \( N = \frac{\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v}{\|\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v\|} \)。第三步：计算魏因加滕映射作用于基底向量的结果魏因加滕映射 \( W_ p \) 作用在一个切向量 \( \mathbf{v} \) 上，得到的是法向量 \( N \) 沿该切方向的变化率，即方向导数 \( -D_ {\mathbf{v}} N \)。（负号源于历史习惯，表示法向量变化投影到切平面时的一个方向约定，但核心是变化率）。因此，对于我们的基底： \[ W_ p(\mathbf{r} u) = -D {\mathbf{r}_ u} N = -N_ u \] \[ W_ p(\mathbf{r} v) = -D {\mathbf{r}_ v} N = -N_ v \] 这里 \( N_ u = \frac{\partial N}{\partial u} \)，\( N_ v = \frac{\partial N}{\partial v} \)。关键点在于：\( N_ u \) 和 \( N_ v \) 本身也是向量。由于 \( N \) 是单位向量，它对任何参数的导数都与 \( N \) 本身垂直（因为 \( N \cdot N = 1 \) 求导得 \( 2N \cdot N_ u = 0 \)）。所以 \( N_ u \) 和 \( N_ v \) 实际上也落在切平面 \( T_ p S \) 内。这意味着我们可以将 \( N_ u \) 和 \( N_ v \) 用切基底 \( \{ \mathbf{r}_ u, \mathbf{r}_ v \} \) 线性表示出来。第四步：建立矩阵表示——魏因加滕矩阵我们寻找系数 \( a, b, c, d \) 使得： \[ \begin{aligned} -N_ u &= a \mathbf{r}_ u + b \mathbf{r}_ v \\ -N_ v &= c \mathbf{r}_ u + d \mathbf{r}_ v \end{aligned} \] 那么，在以 \( \{ \mathbf{r}_ u, \mathbf{r}_ v \} \) 为基底的切空间中，线性变换 \( W_ p \) 的矩阵就是： \[ W = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \] 注意这里矩阵的列对应变换后基底的系数。更准确地说，如果我们将切向量 \( \mathbf{v} = x\mathbf{r}_ u + y\mathbf{r}_ v \) 表示为列向量 \( [ x, y]^T \)，那么 \( W_ p(\mathbf{v}) \) 的坐标就是 \( W \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)。第五步：联系第一、第二基本形式，求解矩阵系数如何求出 \( a, b, c, d \)？这需要用到曲面的第一基本形式和第二基本形式。回忆：第一基本形式系数：\( E = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ u \)， \( F = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ v \)， \( G = \mathbf{r}_ v \cdot \mathbf{r}_ v \)。第二基本形式系数：\( L = N \cdot \mathbf{r}_ {uu} = -\mathbf{r} u \cdot N_ u \)， \( M = N \cdot \mathbf{r} {uv} = -\mathbf{r}_ u \cdot N_ v = -\mathbf{r} v \cdot N_ u \)， \( N_ s = N \cdot \mathbf{r} {vv} = -\mathbf{r}_ v \cdot N_ v \)。（这里用 \( N_ s \) 表示，避免与法向量符号混淆）。现在，对关系式 \( -N_ u = a \mathbf{r}_ u + b \mathbf{r}_ v \) 两边分别点乘 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \)： \[ \begin{aligned} (-N_ u) \cdot \mathbf{r}_ u &= a (\mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ u) + b (\mathbf{r}_ v \cdot \mathbf{r}_ u) \Rightarrow L = aE + bF \\ (-N_ u) \cdot \mathbf{r}_ v &= a (\mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ v) + b (\mathbf{r}_ v \cdot \mathbf{r}_ v) \Rightarrow M = aF + bG \end{aligned} \] 类似地，对 \( -N_ v = c \mathbf{r}_ u + d \mathbf{r}_ v \) 两边分别点乘 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \)： \[ \begin{aligned} (-N_ v) \cdot \mathbf{r}_ u &= cE + dF \Rightarrow M = cE + dF \\ (-N_ v) \cdot \mathbf{r}_ v &= cF + dG \Rightarrow N_ s = cF + dG \end{aligned} \] 我们得到了两组方程： \[ \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} L \\ M \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M \\ N_ s \end{pmatrix} \] 中间的矩阵 \( \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \) 就是第一基本形式的矩阵 \( \mathbf{I} \)。由于曲面正则，该矩阵可逆。因此： \[ \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N_ s \end{pmatrix} \] 记第二基本形式矩阵为 \( \mathbf{II} = \begin{pmatrix} L & M \\ M & N_ s \end{pmatrix} \)。于是，魏因加滕映射的矩阵表示为： \[ \boxed{W = \mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}} \] 这是微分几何中一个极其优美且重要的公式。第六步：利用魏因加滕矩阵计算曲率魏因加滕映射 \( W_ p \) 是一个对称线性变换（自伴随算子），这源于 \( M \) 的对称性（\( \mathbf{r} {uv} = \mathbf{r} {vu} \)）。对称变换在切平面上存在两个正交的主方向，对应的特征值就是曲面的主曲率 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \)。因此：高斯曲率 \( K \) 是行列式：\( K = \det(W) = \det(\mathbf{I}^{-1}\mathbf{II}) = \frac{\det(\mathbf{II})}{\det(\mathbf{I})} = \frac{L N_ s - M^2}{EG - F^2} \)。平均曲率 \( H \) 是迹的一半：\( H = \frac{1}{2} \text{tr}(W) = \frac{1}{2} (a + d) \)。通过计算可得 \( H = \frac{EN_ s + GL - 2FM}{2(EG - F^2)} \)。总结：魏因加滕映射 \( W_ p \) 的矩阵表示 \( W = \mathbf{I}^{-1} \mathbf{II} \) 完美地编码了曲面在一点附近的弯曲信息。它通过将描述曲面“倾斜度变化”的第二基本形式 \( \mathbf{II} \) 与描述曲面本身“尺度与夹角”的第一基本形式 \( \mathbf{I} \) 相结合，生成了一个线性变换。这个变换的特征值和特征向量直接给出了主曲率和主方向，而其行列式和迹分别给出了内蕴的高斯曲率和外在的平均曲率。这构成了曲面局部微分几何计算的基石。