模的Cohn局部化

字数 2410 2025-12-15 03:31:37

模的Cohn局部化

我们先从最基础的定义开始。
1. 环的局部化回顾
对一个交换环 \(R\) 和一个乘法闭子集 \(S \subseteq R\)（即 \(1 \in S\)，且对乘法封闭），可以构造局部化 \(S^{-1}R\)，这是通过形式分式 \(\frac{r}{s}\;(r \in R, s \in S)\) 构造的环，使得每个 \(s \in S\) 在 \(S^{-1}R\) 中可逆。对任意 \(R\)-模 \(M\)，也可以定义 \(S^{-1}M = S^{-1}R \otimes_R M\)，这是一个 \(S^{-1}R\)-模。

但在非交换环中，如果 \(S\) 含有零因子，直接模仿交换情形会遇到困难，比如分母与分子未必可交换、等式 \(\frac{r_1}{s_1} = \frac{r_2}{s_2}\) 的定义变得复杂（需要类似 \(t(s_1 r_2 - r_1 s_2)=0\) 对某个 \(t \in S\) 的条件）。为了对更一般的环（包括非交换环）进行局部化，需要更精细的条件。

2. Ore 局部化
对于非交换环 \(R\) 与一个乘法闭子集 \(S\)，若 \(S\) 满足 Ore 条件：

对任意 \(s \in S, r \in R\)，存在 \(s' \in S, r' \in R\) 使得 \(s'r = r's\)（右 Ore 条件）；
若 \(ra = 0\) 对某 \(a \in S\)，则存在 \(s \in S\) 使得 \(s r = 0\)（右可逆性条件），
则可以构造右分式环 \(RS^{-1}\)，其中的元素写作 \(r s^{-1}\)，且具有类似交换情形的运算规则。
Ore 局部化是经典的非交换局部化方法，能用于许多 Noether 环（如某些 enveloping algebra、量子群等），但不是所有乘法闭子集都满足 Ore 条件。

3. 为什么需要 Cohn 局部化？
当 \(S\) 不满足 Ore 条件时，不能直接做分式环，但仍可能希望将 \(S\) 中的元素“变成可逆的”，并得到一个新的环，这就要用更一般的方法——通用局部化（universal localization） 或 Cohn 局部化（P. M. Cohn 在 1971 年左右系统研究）。

Cohn 局部化的核心思想是：给定环 \(R\) 与一个矩阵集合 \(\Sigma\)（不一定是元素集合），构造一个环 \(R_\Sigma\) 和一个环同态 \(\lambda: R \to R_\Sigma\)，使得 \(\lambda\) 将 \(\Sigma\) 中所有矩阵映成 \(R_\Sigma\) 中的可逆矩阵，并且是“最通用的”这种同态（即任何满足这个性质的同态 \(R \to T\) 都唯一地通过 \(\lambda\) 分解）。
当 \(\Sigma\) 只包含 \(1\times 1\) 矩阵（即单个元素）时，如果这些元素组成的乘法闭子集满足 Ore 条件，那么 Cohn 局部化就退化成 Ore 局部化；否则会得到一个比普通分式环更复杂的结构，通常是非平凡的（可能出现新的关系）。

4. 构造与通用性质
设 \(\Sigma\) 是 \(R\) 上某些方阵的集合（不要求这些矩阵在 \(R\) 中可逆）。我们定义范畴：对象是环同态 \(f: R \to T\) 使得对每个 \(A \in \Sigma\)，矩阵 \(f(A)\) 在 \(T\) 中可逆（即 \(f(A)\) 作为矩阵在 \(T\) 上有逆）。Cohn 局部化 \(R \to R_\Sigma\) 是这个范畴的初始对象。

构造方法（草图）：
设 \(X_A\) 是一组与 \(A\) 同型的未定元矩阵变量，对每个 \(A \in \Sigma\) 引入形式等式

\[A X_A = I, \quad X_A A = I \]

（这里 \(A\) 是 \(n\times n\) 矩阵时，\(X_A\) 也是 \(n\times n\) 矩阵）。然后考虑 \(R\) 与这些 \(X_A\) 生成的自由乘积模去这些关系生成的理想，得到 \(R_\Sigma\)。注意：这样得到的环同态 \(R \to R_\Sigma\) 不一定是单的，有可能某些 \(R\) 中的元素被“杀死”。

5. 重要性质与应用

Cohn 局部化总是存在的（构造性给出），但可能很大（比如不一定平坦）。
若 \(\Sigma\) 是所有在某个模 \(M\) 上作用可逆的方阵的集合，那么 \(R_\Sigma\) 可以反映模 \(M\) 的“局部性质”。
在代数 \(K\)-理论中，Cohn 局部化用来构造局部化序列（用于 \(K_1\) 群）。
在模论中，Cohn 局部化与表现模（presented module） 的范畴局部化有关，可以用来处理非交换环上的“局部环”类似物。

6. 与 Ore 局部化的对比
Ore 局部化要求分母集满足 Ore 条件，此时局部化函子 \(M \mapsto M \otimes_R RS^{-1}\) 是正合函子（平坦性）。
Cohn 局部化不一定平坦，但适用范围更广，能处理分母集不满足 Ore 条件的情况。
Cohn 局部化在矩阵可逆的意义下更一般，它可以把某些非方阵（但可左/右可逆的矩阵）变成可逆矩阵，只需把它的左逆、右逆形式地添加进去。

总结
Cohn 局部化是一种将环中指定矩阵变成可逆矩阵的通用构造，特别适用于非交换环中不满足 Ore 条件的局部化需求。它牺牲了函子的正合性，但获得了更广泛的存在性和通用性，是处理非交换局部化问题的重要工具。

模的Cohn局部化我们先从最基础的定义开始。 1. 环的局部化回顾对一个交换环 \(R\) 和一个乘法闭子集 \(S \subseteq R\)（即 \(1 \in S\)，且对乘法封闭），可以构造局部化 \(S^{-1}R\)，这是通过形式分式 \(\frac{r}{s}\;(r \in R, s \in S)\) 构造的环，使得每个 \(s \in S\) 在 \(S^{-1}R\) 中可逆。对任意 \(R\)-模 \(M\)，也可以定义 \(S^{-1}M = S^{-1}R \otimes_ R M\)，这是一个 \(S^{-1}R\)-模。但在非交换环中，如果 \(S\) 含有零因子，直接模仿交换情形会遇到困难，比如分母与分子未必可交换、等式 \(\frac{r_ 1}{s_ 1} = \frac{r_ 2}{s_ 2}\) 的定义变得复杂（需要类似 \(t(s_ 1 r_ 2 - r_ 1 s_ 2)=0\) 对某个 \(t \in S\) 的条件）。为了对更一般的环（包括非交换环）进行局部化，需要更精细的条件。 2. Ore 局部化对于非交换环 \(R\) 与一个乘法闭子集 \(S\)，若 \(S\) 满足 Ore 条件：对任意 \(s \in S, r \in R\)，存在 \(s' \in S, r' \in R\) 使得 \(s'r = r's\)（右 Ore 条件）；若 \(ra = 0\) 对某 \(a \in S\)，则存在 \(s \in S\) 使得 \(s r = 0\)（右可逆性条件），则可以构造右分式环 \(RS^{-1}\)，其中的元素写作 \(r s^{-1}\)，且具有类似交换情形的运算规则。 Ore 局部化是经典的非交换局部化方法，能用于许多 Noether 环（如某些 enveloping algebra、量子群等），但不是所有乘法闭子集都满足 Ore 条件。 3. 为什么需要 Cohn 局部化？当 \(S\) 不满足 Ore 条件时，不能直接做分式环，但仍可能希望将 \(S\) 中的元素“变成可逆的”，并得到一个新的环，这就要用更一般的方法—— 通用局部化（universal localization）或 Cohn 局部化（P. M. Cohn 在 1971 年左右系统研究）。 Cohn 局部化的核心思想是：给定环 \(R\) 与一个矩阵集合 \(\Sigma\)（不一定是元素集合），构造一个环 \(R_ \Sigma\) 和一个环同态 \(\lambda: R \to R_ \Sigma\)，使得 \(\lambda\) 将 \(\Sigma\) 中所有矩阵映成 \(R_ \Sigma\) 中的可逆矩阵，并且是“最通用的”这种同态（即任何满足这个性质的同态 \(R \to T\) 都唯一地通过 \(\lambda\) 分解）。当 \(\Sigma\) 只包含 \(1\times 1\) 矩阵（即单个元素）时，如果这些元素组成的乘法闭子集满足 Ore 条件，那么 Cohn 局部化就退化成 Ore 局部化；否则会得到一个比普通分式环更复杂的结构，通常是非平凡的（可能出现新的关系）。 4. 构造与通用性质设 \(\Sigma\) 是 \(R\) 上某些方阵的集合（不要求这些矩阵在 \(R\) 中可逆）。我们定义范畴：对象是环同态 \(f: R \to T\) 使得对每个 \(A \in \Sigma\)，矩阵 \(f(A)\) 在 \(T\) 中可逆（即 \(f(A)\) 作为矩阵在 \(T\) 上有逆）。Cohn 局部化 \(R \to R_ \Sigma\) 是这个范畴的初始对象。构造方法（草图）：设 \(X_ A\) 是一组与 \(A\) 同型的未定元矩阵变量，对每个 \(A \in \Sigma\) 引入形式等式 \[ A X_ A = I, \quad X_ A A = I \] （这里 \(A\) 是 \(n\times n\) 矩阵时，\(X_ A\) 也是 \(n\times n\) 矩阵）。然后考虑 \(R\) 与这些 \(X_ A\) 生成的自由乘积模去这些关系生成的理想，得到 \(R_ \Sigma\)。注意：这样得到的环同态 \(R \to R_ \Sigma\) 不一定是单的，有可能某些 \(R\) 中的元素被“杀死”。 5. 重要性质与应用 Cohn 局部化总是存在的（构造性给出），但可能很大（比如不一定平坦）。若 \(\Sigma\) 是所有在某个模 \(M\) 上作用可逆的方阵的集合，那么 \(R_ \Sigma\) 可以反映模 \(M\) 的“局部性质”。在代数 \(K\)-理论中，Cohn 局部化用来构造局部化序列（用于 \(K_ 1\) 群）。在模论中，Cohn 局部化与表现模（presented module）的范畴局部化有关，可以用来处理非交换环上的“局部环”类似物。 6. 与 Ore 局部化的对比 Ore 局部化要求分母集满足 Ore 条件，此时局部化函子 \(M \mapsto M \otimes_ R RS^{-1}\) 是正合函子（平坦性）。 Cohn 局部化不一定平坦，但适用范围更广，能处理分母集不满足 Ore 条件的情况。 Cohn 局部化在矩阵可逆的意义下更一般，它可以把某些非方阵（但可左/右可逆的矩阵）变成可逆矩阵，只需把它的左逆、右逆形式地添加进去。总结 Cohn 局部化是一种将环中指定矩阵变成可逆矩阵的通用构造，特别适用于非交换环中不满足 Ore 条件的局部化需求。它牺牲了函子的正合性，但获得了更广泛的存在性和通用性，是处理非交换局部化问题的重要工具。