可测空间上的符号测度的分解唯一性（Decomposition Uniqueness of Signed Measures on Measurable Spaces）
我将为你系统讲解符号测度的分解唯一性。这个主题关注：给定一个可测空间上的符号测度，其分解（如 Jordan 分解、Hahn 分解、极分解等）在何种意义下唯一。我们将从符号测度的基本定义开始，逐步建立对分解唯一性的完整理解。
1. 符号测度的定义与背景
首先，设 \((X, \mathcal{F})\) 是一个可测空间，即 \(X\) 是集合，\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的 σ-代数。
- 一个符号测度（或称广义测度）是一个函数 \(\nu: \mathcal{F} \to [-\infty, +\infty]\)，满足：
(1) \(\nu(\emptyset) = 0\)；
(2) 可数可加性：对两两不交的集合 \(A_n \in \mathcal{F}\)，有
\[ \nu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \nu(A_n), \]
其中右边级数必须绝对收敛（避免结果依赖于求和顺序）。
- 符号测度允许取负值，但不允许同时取 \(+\infty\) 和 \(-\infty\)（即至少一边有限）。
为什么需要分解？
因为符号测度不是普通的非负测度，其正负部分会相互抵消。我们希望将其拆分为非负部分，以便利用测度论工具。
2. Hahn 分解及其唯一性
Hahn 分解是最基本的分解之一：
- 定义：对符号测度 \(\nu\)，若存在一对不交的可测集 \(P, N \in \mathcal{F}\) 使得：
\[ X = P \cup N, \quad P \cap N = \emptyset, \]
且对任意可测集 \(E\) 有
\[ \nu(E \cap P) \ge 0, \quad \nu(E \cap N) \le 0, \]
则称 \((P, N)\) 是 \(\nu\) 的一个 Hahn 分解。
- 存在性定理：任何符号测度都存在 Hahn 分解（证明通常通过构造上确界或使用 Radon-Nikodym 定理）。
- 唯一性问题：
- Hahn 分解在“零测修改”意义下唯一。具体地，若 \((P_1, N_1)\) 和 \((P_2, N_2)\) 是两个 Hahn 分解，则对任意可测集 \(E\) 有
\[ \nu(E \cap (P_1 \triangle P_2)) = 0 \quad \text{和} \quad \nu(E \cap (N_1 \triangle N_2)) = 0, \]
其中 \(\triangle\) 是对称差。
- 换言之，两个正部集合 \(P_1\) 和 \(P_2\) 的对称差是 \(\nu\)-零集（但注意：\(\nu\)-零集指其正、负变差测度均为零，见下一步）。
3. Jordan 分解及其唯一性
从 Hahn 分解可直接导出 Jordan 分解：
- 设 \((P, N)\) 是 Hahn 分解，定义两个非负测度：
\[ \nu^+(E) := \nu(E \cap P), \quad \nu^-(E) := -\nu(E \cap N). \]
则 \(\nu = \nu^+ - \nu^-\)，且 \(\nu^+\) 和 \(\nu^-\) 相互奇异（记为 \(\nu^+ \perp \nu^-\)）。这称为 Jordan 分解。
- 唯一性定理：
Jordan 分解是唯一的。也就是说，如果存在非负测度 \(\mu_1, \mu_2\) 使得 \(\nu = \mu_1 - \mu_2\) 且 \(\mu_1 \perp \mu_2\)，则必有 \(\mu_1 = \nu^+\) 和 \(\mu_2 = \nu^-\)。- 证明思路：假设有两组分解 \(\nu = \mu_1 - \mu_2 = \rho_1 - \rho_2\)，其中 \(\mu_1 \perp \mu_2, \rho_1 \perp \rho_2\)。选取相应支撑集，利用相互奇异性可推出 \(\mu_1 = \rho_1, \mu_2 = \rho_2\)。
4. 全变差测度与极分解的唯一性
从 Jordan 分解可定义全变差测度：
\[|\nu|(E) := \nu^+(E) + \nu^-(E). \]
这是一个非负测度，满足 \(|\nu|(E) = \sup \sum_{i=1}^n |\nu(E_i)|\)，其中上确界取遍 \(E\) 的所有有限可测分割。
- 此时，\(\nu\) 可写成
\[\nu(E) = \int_E f \, d|\nu|, \]
其中 \(f: X \to \mathbb{R}\) 是一个可测函数，满足 \(|f(x)| = 1\) 对 \(|\nu|\)-几乎处处成立。这称为符号测度的极分解。
- 唯一性：
- 全变差测度 \(|\nu|\) 是唯一确定的（由 Jordan 分解唯一性保证）。
- 密度函数 \(f\) 在 \(|\nu|\)-几乎处处意义下唯一（只需在支撑上满足 \(f = \pm 1\) 且符号与 \(\nu\) 的正负区域一致）。
5. 与 Lebesgue 分解的关系
若有两个符号测度 \(\nu\) 和 \(\mu\)（其中 \(\mu \ge 0\)），我们可以考虑 \(\nu\) 关于 \(\mu\) 的 Lebesgue 分解：
\[\nu = \nu_a + \nu_s, \]
其中 \(\nu_a \ll \mu\)（绝对连续），\(\nu_s \perp \mu\)（奇异）。
- 唯一性定理：Lebesgue 分解是唯一的。
- 证明：假设有两组分解 \(\nu = \nu_a + \nu_s = \nu_a' + \nu_s'\)，则 \(\nu_a - \nu_a' = \nu_s' - \nu_s\)，左边关于 \(\mu\) 绝对连续，右边与 \(\mu\) 奇异，从而两边均为零测度。
6. 符号测度的合成与唯一性条件总结
在实际应用中，我们经常将多种分解结合使用：
- Hahn 分解：在“零集修改”意义下唯一。
- Jordan 分解：绝对唯一（非负测度对唯一）。
- 全变差与极分解：全变差测度唯一，密度函数在几乎处处意义下唯一。
- Lebesgue 分解：对给定的参考测度 \(\mu\)，绝对连续部分和奇异部分唯一。
这些唯一性之所以重要，是因为它们保证了符号测度的标准表示形式，使得后续的运算（如微分、积分、对偶空间表示）具有良好定义。
7. 反例：为什么 Hahn 分解不是绝对唯一？
考虑 \(X = [0,1]\)，\(\mathcal{F}\) 为 Borel 集，\(\nu = \lambda - \delta_{1/2}\)，其中 \(\lambda\) 是 Lebesgue 测度，\(\delta_{1/2}\) 是点 \(1/2\) 处的 Dirac 测度。
- 一个 Hahn 分解可取 \(P = [0,1/2) \cup (1/2,1], N = \{1/2\}\)。
- 另一个可取 \(P' = [0,1/2) \cup (1/2,1] \cup \{1/2\}\)（若 \(\nu(\{1/2\}) = -1 \le 0\)，但此点包含在 \(P'\) 中会怎样？仔细验证：\(\nu(\{1/2\} \cap P') = -1 < 0\) 不符合正部定义，因此不行）。实际上，唯一性体现在：若将正部增加一个 \(\nu\)-零集（如单点），该点可能使得 \(\nu\) 取负值，从而破坏正性。但若取一个满足 \(\nu(E)=0\) 的集合从 \(N\) 移到 \(P\)，则得到新分解，且两个正部的对称差是 \(\nu\)-零集。这就是“几乎唯一”的含义。
8. 应用：Radon-Nikodym 导数的唯一性
若 \(\nu \ll \mu\)（\(\mu \ge 0\)），则存在唯一的可测函数 \(f\)（\(\mu\)-几乎处处确定）使得
\[\nu(E) = \int_E f \, d\mu. \]
这可以视为极分解在绝对连续情形下的特例，唯一性来自函数空间的等价类观点。
通过以上步骤，我们完成了对“可测空间上的符号测度的分解唯一性”的系统讲解。核心是：不同分解在不同层次上具有唯一性，这些唯一性构成了符号测度理论严谨性的基石。