拉普拉斯方程 (Laplace’s Equation) 的基本解 (Fundamental Solution)
好的，我将为您讲解“拉普拉斯方程的基本解”这一词条。我会从最基础的概念开始，循序渐进地阐明其定义、性质、推导、物理意义及应用。
第一步：从拉普拉斯方程本身出发
首先，我们需要明确核心对象。三维空间中的拉普拉斯方程形式为：
\[\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 \]
其中，\(\Delta = \nabla^2\) 是拉普拉斯算子，\(u(x, y, z)\) 是待求的函数。满足此方程的（二次连续可微的）函数称为调和函数。在n维欧几里得空间 \(\mathbb{R}^n\) 中，方程写为 \(\Delta u = 0\)。
问题引入：在物理学中（如静电学、引力场、稳态热传导），我们经常遇到的不是齐次的拉普拉斯方程，而是带有源项（或电荷分布、热源）的泊松方程：
\[\Delta u = f \]
其中 \(f\) 是给定的函数（源密度）。求解这类方程，一个强有力的工具是格林函数法。而格林函数的核心构造模块，就是基本解。
第二步：基本解的直观定义与物理动机
基本解的物理想法非常直接：它描述的是一个位于空间某一点的单位点源所产生的“场”。例如：
- 在静电学中，它对应一个位于原点、电量为 \(1/(4\pi\varepsilon_0)\) 的点电荷在自由空间（无边界）中产生的电势。
- 在稳态热传导中，它对应位于原点的一个单位点热源产生的温度分布。
数学上，我们希望找到一个函数 \(\Phi(\mathbf{x})\)（其中 \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\)），它能够满足这样一个方程：方程右边的源不再是普通函数，而是一个集中在原点的、强度为1的“点源”。这种“点源”的数学模型就是狄拉克δ函数 \(\delta(\mathbf{x})\)。
因此，基本解 的严格定义是：
定义：拉普拉斯算子 \(\Delta\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 中的基本解 \(\Phi(\mathbf{x})\) 是如下方程在广义函数（分布）意义下的解：
\[\Delta \Phi = \delta(\mathbf{x}) \]
其中 \(\delta(\mathbf{x})\) 是狄拉克δ函数，满足 \(\delta(\mathbf{x}) = 0 \ (\mathbf{x} \neq 0)\) 且 \(\int_{\mathbb{R}^n} \delta(\mathbf{x}) d\mathbf{x} = 1\)。
关键理解：
- 在原点 (\(\mathbf{x}=0\))，\(\Phi\) 本身是奇异的（趋于无穷大）。
- 在原点的补集 (\(\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\)) 上，因为 \(\delta(\mathbf{x}) = 0\)，所以基本解满足齐次拉普拉斯方程：\(\Delta \Phi = 0\)。也就是说，除了原点这个奇点，它处处是调和函数。
- 原点处的奇异性恰好“携带”了单位点源的全部信息。
第三步：推导基本解的具体形式
推导的关键在于利用问题的对称性。方程 \(\Delta \Phi = \delta(\mathbf{x})\) 是旋转对称的（各向同性的）。因此，我们寻求一个径向对称的解，即 \(\Phi(\mathbf{x}) = \Phi(r)\)，其中 \(r = |\mathbf{x}| = \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}\) 是到原点的距离。
在n维空间中，拉普拉斯算子在球坐标下的径向部分为：
\[\Delta \Phi = \frac{1}{r^{n-1}} \frac{d}{dr} \left( r^{n-1} \frac{d\Phi}{dr} \right) \]
当 \(r > 0\) 时，方程 \(\Delta \Phi = 0\) 变为：
\[\frac{d}{dr} \left( r^{n-1} \frac{d\Phi}{dr} \right) = 0 \]
对此积分一次：
\[r^{n-1} \frac{d\Phi}{dr} = C_1 \quad (C_1为常数) \]
解得：
\[\frac{d\Phi}{dr} = \frac{C_1}{r^{n-1}} \]
再次积分，得到通解形式：
\[\Phi(r) = \begin{cases} C_1 \ln r + C_2, & n=2, \\ \frac{C_1}{2-n} r^{2-n} + C_2, & n \geq 3. \end{cases} \]
通常我们取 \(C_2=0\)（因为基本解是“差一个常数”意义下确定的）。常数 \(C_1\) 需要通过“单位点源”条件来确定。这个条件体现在对方程 \(\Delta \Phi = \delta\) 在包含原点的小球 \(B_\epsilon\) 上积分。
确定常数：在 \(\mathbb{R}^n\) 中，对任意以原点为中心的小球 \(B_\epsilon\)，应用散度定理：
\[\int_{B_\epsilon} \Delta \Phi \, dV = \int_{B_\epsilon} \delta(\mathbf{x}) \, dV = 1 \]
另一方面，
\[\int_{B_\epsilon} \Delta \Phi \, dV = \int_{\partial B_\epsilon} \frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf{n}} \, dS \]
这里 \(\mathbf{n}\) 是外法向，在球面上也就是径向方向 \(\mathbf{e}_r\)，所以 \(\frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf{n}} = \frac{d\Phi}{dr}\)。
代入 \(\frac{d\Phi}{dr} = C_1 / r^{n-1}\)，在球面 \(r=\epsilon\) 上，这个值是常数 \(C_1 / \epsilon^{n-1}\)。球面 \(\partial B_\epsilon\) 的面积为 \(n\omega_n \epsilon^{n-1}\)，其中 \(\omega_n\) 是n维单位球的体积（例如，\(\omega_2 = \pi, \omega_3 = 4\pi/3\)）。
因此，
\[\int_{\partial B_\epsilon} \frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf{n}} \, dS = \left( \frac{C_1}{\epsilon^{n-1}} \right) \cdot (n\omega_n \epsilon^{n-1}) = C_1 n\omega_n \]
令其等于1，得到：
\[C_1 = \frac{1}{n\omega_n} \]
其中，\(n\omega_n\) 是单位球面的表面积。
最终结果：
\[\boxed{\Phi(\mathbf{x}) = \begin{cases} \frac{1}{2\pi} \ln|\mathbf{x}|, & n=2, \\ -\frac{1}{(n-2)n\omega_n} |\mathbf{x}|^{2-n}, & n \geq 3. \end{cases}} \]
在三维空间 (\(n=3, \omega_3=4\pi/3, n\omega_n=4\pi\))，得到最常见的物理公式：
\[\Phi(\mathbf{x}) = -\frac{1}{4\pi |\mathbf{x}|} \]
这正是点电荷电势的表达式（相差一个物理常数因子）。在二维空间，基本解是对数形式，对应无限长线电荷产生的电势。
第四步：基本解的核心性质与物理意义
- 奇异性：在原点 \(|x|=0\) 处，基本解趋于无穷大。这是点源模型的必然结果。
- 衰减性：在三维及更高维，当 \(|x| \to \infty\) 时，\(\Phi(\mathbf{x}) \to 0\)。在二维，\(\ln |x| \to \infty\)，这反映了二维与三维在无穷远处性质的差异。
- 卷积表示解：基本解最重要的应用在于，它允许我们通过卷积构造出泊松方程 \(\Delta u = f\) 在全空间 (\(\mathbb{R}^n\)) 上的一个特解。具体公式为：
\[ u(\mathbf{x}) = (\Phi * f)(\mathbf{x}) = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(\mathbf{x} - \mathbf{y}) f(\mathbf{y}) \, d\mathbf{y} \]
从物理上理解，这就是叠加原理的体现：将分布源 \(f(\mathbf{y})\) 看成无数个点源 \(f(\mathbf{y})d\mathbf{y}\) 的叠加，每个点源产生的场由基本解 \(\Phi(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) 给出，总的场就是它们的积分（叠加）。
4. 格林函数的基石：对于有界区域上的边值问题（如狄利克雷或诺伊曼问题），我们需要的是格林函数 \(G(\mathbf{x}, \mathbf{y})\)。格林函数可以看作是在点 \(\mathbf{y}\) 处放置单位点源，并在边界条件下（如 \(G=0\) 在边界上）所产生的场。它的构造通常可以写为：
\[ G(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \Phi(\mathbf{x} - \mathbf{y}) + h(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \]
其中，\(h(\mathbf{x}, \mathbf{y})\) 是一个在区域内调和的正则函数，其作用是修正基本解，使其满足给定的齐次边界条件。因此，基本解是构造格林函数的“自由空间”部分。
第五步：总结与深化
拉普拉斯方程的基本解是偏微分方程理论中的一个核心概念。它扮演了多重角色：
- 点源的响应函数：是线性算子 \(\Delta\) 的“脉冲响应”。
- 构造特解的工具：通过卷积，可以求解非齐次方程（泊松方程）。
- 格林函数的组成部分：是求解有界区域边值问题的关键元素。
- 位势理论的起点：由基本解可以定义牛顿位势、单层位势和双层位势，这些是位势理论的基本研究对象，用于将边值问题转化为边界积分方程。
理解基本解，就掌握了用积分表示求解线性偏微分方程的一把钥匙。从自由空间的基本解出发，通过镜像法、积分方程等方法对其进行修正以适应边界，是数学物理方程中一个系统而强大的方法论。