量子力学中的Dyson级数

字数 3707 2025-12-14 23:48:39

量子力学中的Dyson级数

我们先从最基础的物理背景开始。Dyson级数是量子力学和量子场论中处理含时微扰论的核心数学工具。它的核心目标是：当一个量子系统的哈密顿量 \(H(t)\) 随时间变化，并且可以写成“一个容易求解的部分”加上“一个扰动部分”时，我们如何精确地计算系统状态随时间演化的算符（即时间演化算符）？

第一步：问题的数学表述

考虑一个量子系统，其哈密顿量为 \(H(t) = H_0 + V(t)\)。

\(H_0\) 是与时间无关的部分，通常其本征值和本征态已知，易于求解。例如，一个自由粒子或一个无相互作用的系统。
\(V(t)\) 是与时间可能相关的微扰部分，它代表了外部场或相互作用。

我们想要求解薛定谔方程：\(i\hbar \frac{d}{dt} |\psi(t)\rangle = H(t) |\psi(t)\rangle\)。
定义时间演化算符 \(U(t, t_0)\)，它将初始时刻 \(t_0\) 的状态演化到时刻 \(t\)：\(|\psi(t)\rangle = U(t, t_0) |\psi(t_0)\rangle\)。
这个算符满足方程：\(i\hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t, t_0) = H(t) U(t, t_0)\)，且初始条件为 \(U(t_0, t_0) = I\)（恒等算符）。

第二步：进入相互作用绘景

直接求解 \(U(t, t_0)\) 通常很困难。Dyson级数的关键第一步是切换到相互作用绘景（也称为Dirac绘景）。这个绘景的妙处在于，它把由 \(H_0\) 主导的“自由演化”从问题中分离出去，让我们专注于处理微扰 \(V(t)\)。

相互作用绘景中的态矢和算符定义如下：

态矢: \(|\psi_I(t)\rangle = e^{iH_0 (t - t_0)/\hbar} |\psi(t)\rangle\)。
这意味着，我们从原始薛定谔绘景的态 \(|\psi(t)\rangle\) 中，反向“旋转”掉由 \(H_0\) 引起的自由演化部分。
算符 (以 \(V\) 为例): \(V_I(t) = e^{iH_0 (t - t_0)/\hbar} V(t) e^{-iH_0 (t - t_0)/\hbar}\)。
微扰 \(V(t)\) 在相互作用绘景中变成了一个与时间相关的算符 \(V_I(t)\)。

在这样的定义下，相互作用绘景中的态矢 \(|\psi_I(t)\rangle\) 的演化只由相互作用部分决定：
\(i\hbar \frac{d}{dt} |\psi_I(t)\rangle = V_I(t) |\psi_I(t)\rangle\)。

第三步：定义相互作用绘景的时间演化算符并导出积分方程

类比地，我们定义相互作用绘景中的时间演化算符 \(U_I(t, t_0)\)，满足：
\(|\psi_I(t)\rangle = U_I(t, t_0) |\psi_I(t_0)\rangle\)。
它满足的方程是：\(i\hbar \frac{\partial}{\partial t} U_I(t, t_0) = V_I(t) U_I(t, t_0)\)，且 \(U_I(t_0, t_0) = I\)。

这个微分方程等价于一个积分方程：
\(U_I(t, t_0) = I - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} dt_1\ V_I(t_1) U_I(t_1, t_0)\)。
这个形式非常重要。它看上去只是把微分方程改写了一下，但它的结构是“解 \(U_I\) 出现在等号两边”。这种自洽的形式，允许我们通过迭代来求解。

第四步：迭代求解与Dyson级数的诞生

我们从积分方程出发，进行迭代：

零阶近似：将右边的 \(U_I(t_1, t_0)\) 简单地用 \(I\) 代入，得到一阶近似：
\(U_I^{(1)}(t, t_0) = I - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} dt_1\ V_I(t_1)\)。
一阶迭代：将 \(U_I^{(1)}\) 代回到原积分方程右边 \(U_I\) 的位置：
\(U_I(t, t_0) \approx I - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} dt_1\ V_I(t_1) + \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^2 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2\ V_I(t_1) V_I(t_2)\)。
注意第二个积分中，时间顺序是 \(t_1 \geq t_2\)。
不断重复这个过程，将得到越来越高阶的项。这个无穷级数就是Dyson级数：

\[U_I(t, t_0) = T \left\{ \exp\left[ -\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} d\tau\ V_I(\tau) \right] \right\} \]

其显式展开为：

\[U_I(t, t_0) = I + \sum_{n=1}^{\infty} \left( -\frac{i}{\hbar} \right)^n \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n\ V_I(t_1) V_I(t_2) \cdots V_I(t_n) \]

第五步：时序乘积 \(T\) 的作用与形式简化

你可能会注意到积分区域很复杂（\(t \ge t_1 \ge t_2 \ge \cdots \ge t_n \ge t_0\)）。为了使表达式更对称和易于处理，我们引入时序乘积算符 \(T\)。
时序乘积 \(T\) 的作用是：将一系列与时间相关的算符，按照时间从晚到早（从右到左）的顺序重新排列。例如：
\(T \{ V_I(t_1) V_I(t_2) \} = \begin{cases} V_I(t_1) V_I(t_2), & \text{如果 } t_1 > t_2 \\ V_I(t_2) V_I(t_1), & \text{如果 } t_2 > t_1 \end{cases}\)。

引入 \(T\) 后，Dyson级数中的每一项（比如第 \(n\) 项）可以改写为：

\[\left( -\frac{i}{\hbar} \right)^n \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t} dt_n\ \frac{1}{n!} T \left\{ V_I(t_1) V_I(t_2) \cdots V_I(t_n) \right\} \]

这里，所有积分变量的上限都是 \(t\)，下限都是 \(t_0\)，积分区域从原来的“时间有序单纯形”变成了简单的“超立方体”，但多了一个 \(1/n!\) 的因子。这个形式上的简化极大地便利了理论计算。

第六步：回到薛定谔绘景与物理意义

最后，我们通过相互作用绘景与薛定谔绘景的关系 \(|\psi(t)\rangle = e^{-iH_0 (t - t_0)/\hbar} |\psi_I(t)\rangle\)，可以得到原始绘景的总时间演化算符：

\[U(t, t_0) = e^{-iH_0 (t - t_0)/\hbar} U_I(t, t_0) = e^{-iH_0 (t - t_0)/\hbar} T \left\{ \exp\left[ -\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} d\tau\ V_I(\tau) \right] \right\} \]

总结与核心思想：
Dyson级数将复杂的时间演化算符，表达为微扰 \(V_I(t)\) 在不同时间点乘积的时序求和（积分）。它提供了一个系统性的、逐阶逼近的（微扰）计算方法。在量子场论中，它的每一项都对应着费曼图的展开，其中 \(n\) 阶项对应有 \(n\) 个相互作用顶点的图。因此，Dyson级数是连接量子力学微扰论、量子场论和费曼图方法的根本数学桥梁。

量子力学中的Dyson级数我们先从最基础的物理背景开始。Dyson级数是量子力学和量子场论中处理含时微扰论的核心数学工具。它的核心目标是：当一个量子系统的哈密顿量 \( H(t) \) 随时间变化，并且可以写成“一个容易求解的部分”加上“一个扰动部分”时，我们如何精确地计算系统状态随时间演化的算符（即时间演化算符）？第一步：问题的数学表述考虑一个量子系统，其哈密顿量为 \( H(t) = H_ 0 + V(t) \)。 \( H_ 0 \) 是与时间无关的部分，通常其本征值和本征态已知，易于求解。例如，一个自由粒子或一个无相互作用的系统。 \( V(t) \) 是与时间可能相关的微扰部分，它代表了外部场或相互作用。我们想要求解薛定谔方程：\( i\hbar \frac{d}{dt} |\psi(t)\rangle = H(t) |\psi(t)\rangle \)。定义时间演化算符 \( U(t, t_ 0) \)，它将初始时刻 \( t_ 0 \) 的状态演化到时刻 \( t \)：\( |\psi(t)\rangle = U(t, t_ 0) |\psi(t_ 0)\rangle \)。这个算符满足方程：\( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t, t_ 0) = H(t) U(t, t_ 0) \)，且初始条件为 \( U(t_ 0, t_ 0) = I \)（恒等算符）。第二步：进入相互作用绘景直接求解 \( U(t, t_ 0) \) 通常很困难。Dyson级数的关键第一步是切换到相互作用绘景（也称为Dirac绘景）。这个绘景的妙处在于，它把由 \( H_ 0 \) 主导的“自由演化”从问题中分离出去，让我们专注于处理微扰 \( V(t) \)。相互作用绘景中的态矢和算符定义如下：态矢 : \( |\psi_ I(t)\rangle = e^{iH_ 0 (t - t_ 0)/\hbar} |\psi(t)\rangle \)。这意味着，我们从原始薛定谔绘景的态 \( |\psi(t)\rangle \) 中，反向“旋转”掉由 \( H_ 0 \) 引起的自由演化部分。算符 (以 \( V \) 为例): \( V_ I(t) = e^{iH_ 0 (t - t_ 0)/\hbar} V(t) e^{-iH_ 0 (t - t_ 0)/\hbar} \)。微扰 \( V(t) \) 在相互作用绘景中变成了一个与时间相关的算符 \( V_ I(t) \)。在这样的定义下，相互作用绘景中的态矢 \( |\psi_ I(t)\rangle \) 的演化只由相互作用部分决定： \( i\hbar \frac{d}{dt} |\psi_ I(t)\rangle = V_ I(t) |\psi_ I(t)\rangle \)。第三步：定义相互作用绘景的时间演化算符并导出积分方程类比地，我们定义相互作用绘景中的时间演化算符 \( U_ I(t, t_ 0) \)，满足： \( |\psi_ I(t)\rangle = U_ I(t, t_ 0) |\psi_ I(t_ 0)\rangle \)。它满足的方程是：\( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} U_ I(t, t_ 0) = V_ I(t) U_ I(t, t_ 0) \)，且 \( U_ I(t_ 0, t_ 0) = I \)。这个微分方程等价于一个积分方程： \( U_ I(t, t_ 0) = I - \frac{i}{\hbar} \int_ {t_ 0}^{t} dt_ 1\ V_ I(t_ 1) U_ I(t_ 1, t_ 0) \)。这个形式非常重要。它看上去只是把微分方程改写了一下，但它的结构是“解 \( U_ I \) 出现在等号两边”。这种自洽的形式，允许我们通过迭代来求解。第四步：迭代求解与Dyson级数的诞生我们从积分方程出发，进行迭代：零阶近似：将右边的 \( U_ I(t_ 1, t_ 0) \) 简单地用 \( I \) 代入，得到一阶近似： \( U_ I^{(1)}(t, t_ 0) = I - \frac{i}{\hbar} \int_ {t_ 0}^{t} dt_ 1\ V_ I(t_ 1) \)。一阶迭代：将 \( U_ I^{(1)} \) 代回到原积分方程右边 \( U_ I \) 的位置： \( U_ I(t, t_ 0) \approx I - \frac{i}{\hbar} \int_ {t_ 0}^{t} dt_ 1\ V_ I(t_ 1) + \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^2 \int_ {t_ 0}^{t} dt_ 1 \int_ {t_ 0}^{t_ 1} dt_ 2\ V_ I(t_ 1) V_ I(t_ 2) \)。注意第二个积分中，时间顺序是 \( t_ 1 \geq t_ 2 \)。不断重复这个过程，将得到越来越高阶的项。这个无穷级数就是 Dyson级数： \[ U_ I(t, t_ 0) = T \left\{ \exp\left[ -\frac{i}{\hbar} \int_ {t_ 0}^{t} d\tau\ V_ I(\tau) \right ] \right\} \] 其显式展开为： \[ U_ I(t, t_ 0) = I + \sum_ {n=1}^{\infty} \left( -\frac{i}{\hbar} \right)^n \int_ {t_ 0}^{t} dt_ 1 \int_ {t_ 0}^{t_ 1} dt_ 2 \cdots \int_ {t_ 0}^{t_ {n-1}} dt_ n\ V_ I(t_ 1) V_ I(t_ 2) \cdots V_ I(t_ n) \] 第五步：时序乘积 \( T \) 的作用与形式简化你可能会注意到积分区域很复杂（\( t \ge t_ 1 \ge t_ 2 \ge \cdots \ge t_ n \ge t_ 0 \)）。为了使表达式更对称和易于处理，我们引入时序乘积算符 \( T \)。时序乘积 \( T \) 的作用是：将一系列与时间相关的算符，按照时间从晚到早（从右到左）的顺序重新排列。例如： \( T \{ V_ I(t_ 1) V_ I(t_ 2) \} = \begin{cases} V_ I(t_ 1) V_ I(t_ 2), & \text{如果 } t_ 1 > t_ 2 \\ V_ I(t_ 2) V_ I(t_ 1), & \text{如果 } t_ 2 > t_ 1 \end{cases} \)。引入 \( T \) 后，Dyson级数中的每一项（比如第 \( n \) 项）可以改写为： \[ \left( -\frac{i}{\hbar} \right)^n \int_ {t_ 0}^{t} dt_ 1 \int_ {t_ 0}^{t} dt_ 2 \cdots \int_ {t_ 0}^{t} dt_ n\ \frac{1}{n!} T \left\{ V_ I(t_ 1) V_ I(t_ 2) \cdots V_ I(t_ n) \right\} \] 这里，所有积分变量的上限都是 \( t \)，下限都是 \( t_ 0 \)，积分区域从原来的“时间有序单纯形”变成了简单的“超立方体”，但多了一个 \( 1/n ! \) 的因子。这个形式上的简化极大地便利了理论计算。第六步：回到薛定谔绘景与物理意义最后，我们通过相互作用绘景与薛定谔绘景的关系 \( |\psi(t)\rangle = e^{-iH_ 0 (t - t_ 0)/\hbar} |\psi_ I(t)\rangle \)，可以得到原始绘景的总时间演化算符： \[ U(t, t_ 0) = e^{-iH_ 0 (t - t_ 0)/\hbar} U_ I(t, t_ 0) = e^{-iH_ 0 (t - t_ 0)/\hbar} T \left\{ \exp\left[ -\frac{i}{\hbar} \int_ {t_ 0}^{t} d\tau\ V_ I(\tau) \right ] \right\} \] 总结与核心思想： Dyson级数将复杂的时间演化算符，表达为微扰 \( V_ I(t) \) 在不同时间点乘积的时序求和（积分）。它提供了一个系统性的、逐阶逼近的（微扰）计算方法。在量子场论中，它的每一项都对应着费曼图的展开，其中 \( n \) 阶项对应有 \( n \) 个相互作用顶点的图。因此，Dyson级数是连接量子力学微扰论、量子场论和费曼图方法的根本数学桥梁。