随机变量的变换的Hodges-Lehmann估计量 我们从一个基本问题开始：当我们有两个独立样本，分别来自两个不同的总体分布，我们如何估计这两个总体中位数的差异？一种直观想法是计算两个样本中位数的差，但这种方法没有充分利用所有数据信息，且统计性质不一定最优。Hodges-Lehmann估计量提供了一种更稳健、更高效的非参数估计方法。 基本概念与直观思想 考虑两个独立的随机样本：X₁, …, X_ m 来自分布F，Y₁, …, Y_ n 来自分布G。我们假设G是F的位置平移，即 G(y) = F(y - θ)，其中θ是我们想要估计的位置参数（例如，中位数之差）。 Hodges-Lehmann估计量的核心思想基于 两样本Wilcoxon秩和检验 。在Wilcoxon检验中，我们计算所有可能的“Y观测值减去X观测值”的差值：D_ ij = Y_ j - X_ i，其中 i=1,…,m, j=1,…,n。这会产生 m×n 个差值。 Hodges-Lehmann估计量 \(\hat{\theta} {HL}\) 就定义为所有这些差值 D_ ij 的 中位数 。即，\(\hat{\theta} {HL} = \text{median}\{Y_ j - X_ i: i=1,\dots,m; j=1,\dots,n\}\)。 计算与性质 计算步骤 ： 列出所有 m×n 个配对差值 D_ ij = Y_ j - X_ i。 将这些差值从小到大排序。 找出排序后差值序列的中位数。如果 m×n 是奇数，中位数就是中间那个数；如果是偶数，通常是中间两个数的平均值。 统计性质 ： 无偏性与相合性 ：在F和G仅差一个平移θ的假设下，估计量是θ的相合估计。对于对称分布，它通常是中位数差的无偏估计。 稳健性 ：因为它基于中位数，所以对离群值（异常值）不敏感，比基于均值差的估计（如两样本t检验的均值差）更稳健。 渐近正态性 ：在适当正则条件下，\(\hat{\theta}_ {HL}\) 是渐近正态的。其渐近方差为 \(1/(12 \gamma^2 (mn/(m+n)))\)，其中 \(\gamma = \int f^2(x) dx\)，f是F的概率密度函数。这个方差可以通过经验分布和核密度估计来估计，从而构造置信区间。 相对效率 ：对于正态分布数据，Hodges-Lehmann估计量的效率相对于样本均值差（t检验）约为95%。对于重尾或污染分布，其效率通常远高于均值差。 与Wilcoxon秩和检验的联系 这个估计量与两样本Wilcoxon秩和检验有内在的对偶关系。Wilcoxon检验统计量本质上是基于这些配对差值的符号秩。实际上，检验假设 H₀: θ=0 的接受域，与基于 \(\hat{\theta}_ {HL}\) 构造的置信区间是相容的。 我们可以利用这个对偶性来构造θ的置信区间。具体方法是，找到所有使得Wilcoxon秩和检验不拒绝原假设 H₀: θ=θ₀ 的θ₀值，这些值的集合就构成了θ的一个置信区间。这个区间可以通过排序后的差值 D_ ij 的分位数来确定。 单样本情形（对应Wilcoxon符号秩检验） 对于配对样本或单样本对称位置估计问题，存在对应的Hodges-Lehmann估计量。 设我们有样本 Z₁, …, Z_ n，来自一个关于中位数θ对称的分布。我们考虑所有可能的配对均值：W_ ij = (Z_ i + Z_ j)/2，其中 1 ≤ i ≤ j ≤ n。 单样本Hodges-Lehmann估计量定义为这些“Walsh平均” W_ ij 的中位数：\(\hat{\theta}_ {HL}^{(1)} = \text{median}\{(Z_ i + Z_ j)/2: 1 \le i \le j \le n\}\)。 它与 单样本Wilcoxon符号秩检验 相对应，用于估计对称分布的中心（中位数/均值）。 推广与注意事项 Hodges-Lehmann估计量可以推广到更一般的 位置-尺度模型 ，甚至某些回归模型中，成为稳健的估计方法。 计算量是其一个考虑因素，因为需要计算O(mn)或O(n²)个中间量。对于大样本，有高效的算法（如基于排序和分位数的算法）来计算中位数和置信区间。 它本质上估计的是“位移参数”，在对称分布下等于中位数差或均值差。在非对称分布下，它估计的是一个“伪位移”参数（即两分布所有配对差的中位数），其具体概率解释需谨慎对待。 总结来说， 随机变量的变换的Hodges-Lehmann估计量 是基于秩检验统计量构造的一类稳健位置估计量。它通过对来自不同总体的随机变量进行两两相减的变换，生成一组差值，再取其中位数作为总体位置差异的估计。这种方法巧妙地将非参数检验的思想用于参数估计，兼具稳健性和较高的统计效率，是非参数统计和稳健统计中的一个核心工具。