量子力学中的Weyl-Kodaira理论 我将为你系统性地讲解Weyl-Kodaira理论，这是一个在量子力学谱理论中至关重要的数学框架。 理论起源与基本问题 Weyl-Kodaira理论是赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）和广平小平（Kunihiko Kodaira）发展的数学理论，最初为了处理奇异Sturm-Liouville算子的谱分解问题。在量子力学中，许多重要哈密顿量（如库仑势、谐振子等）对应的是无界区域或奇异系数下的微分算子，这些算子的谱分析需要超越经典Sturm-Liouville理论的方法。 奇异Sturm-Liouville算子 考虑形式为： L = -(d/dx)[ p(x)d/dx ] + q(x) 的微分算子，定义在区间I⊆ℝ上。当区间I无界（如 [ 0,∞)或(-∞,∞)），或势函数q(x)在边界附近奇异时，我们称L为奇异Sturm-Liouville算子。量子力学中的径向薛定谔方程是典型例子：在球坐标下，角动量项在原点产生奇异性。 极限点与极限圆分类 这是Weyl的核心贡献。对于奇异端点，Weyl证明只有两种情况： 极限点情形：对每个复数λ，方程(L-λ)u=0在端点附近只有一个（精确到常数倍）平方可解（L²）解 极限圆情形：所有解都在端点附近平方可解 这个分类至关重要，因为它决定了边界条件需要如何规定才能得到自伴算子。量子力学中，哈密顿量必须是自伴的以确保实谱和幺正演化。 Weyl的谱分解定理 Weyl证明了奇异Sturm-Liouville算子L（在适当边界条件下）允许谱表示： f(x) = ∫σ(L) φ_ λ(x) d[ F(λ)f ] 其中σ(L)是L的谱，φ_ λ是广义本征函数（对连续谱），F是谱测度。这推广了有限区间情形下基于本征函数展开的傅里叶级数，允许处理连续谱。 Kodaira的广义本征函数展开 小平广平（Kodaira）完善了Weyl的工作，建立了严格的广义本征函数展开理论。他证明存在谱测度ρ(λ)和广义本征函数族{e(x,λ)}使得： f(x) = ∫ e(x,λ) dρ(λ) f̂(λ) 其中变换f→f̂是等距的L²同构。量子力学中，这对应坐标表象与能量表象（或动量表象）之间的幺正变换。 Titchmarsh-Kodaira公式 这个关键公式给出了谱测度的显式表达式： dρ(λ) = (1/π) lim_ {ε→0⁺} Im[ G(x,x;λ+iε) ] dλ 其中G是格林函数（微分算子的预解式核）。在实际计算中，这允许通过分析预解式在实轴附近的极限行为来获得谱分解。 在量子力学中的应用 a) 库仑势问题：氢原子哈密顿量的连续谱对应电离态，Weyl-Kodaira理论提供了处理束缚态和连续态的统一框架 b) 散射理论：在连续谱部分，广义本征函数对应于散射态，理论提供了计算散射振幅的数学基础 c) 完整谱分解：对于既有离散谱（束缚态）又有连续谱（散射态）的哈密顿量，理论给出了统一的展开定理 d) 谐振子势：虽然谱纯离散，但在坐标表象中波函数的展开可视为该理论的特例 与Stone谱定理的关系 Weyl-Kodaira理论提供了Stone谱定理在微分算子情形下的具体实现。Stone定理断言自伴算子有谱分解，而Weyl-Kodaira理论实际上构造出了这个分解，特别提供了广义本征函数的具体形式和变换的积分核。 现代发展 理论已扩展到高阶微分算子、矩阵系数系统（如Dirac算子）和某些偏微分算子情形。在量子力学中，它构成了分析薛定谔算子谱的基础工具，特别是在涉及连续谱的问题中，如固体物理中的能带结构计算和散射问题的严格处理。