图的符号控制与符号全控制数
字数 5834 2025-12-14 20:46:05

图的符号控制与符号全控制数

我将为您讲解图的符号控制与符号全控制数，这是一个将控制集概念与符号函数相结合的研究方向，在资源分配、监控网络等领域有应用。

让我们从一个经典的优化问题开始。假设有一个通信网络，其中每个节点（顶点）可以是发送站、接收站或中继站。我们希望用最少的“主控站”（可发送正或负信号）来部署，使得网络中的每个节点（或每条通信链路）受到的“净信号”强度不低于某个阈值。如何用数学来建模这种“既有正向影响又有负向影响”的控制问题？这就需要引入符号控制函数。

首先，回想“控制”的基本概念。在图 \(G = (V, E)\) 中，一个顶点子集 \(D \subseteq V\) 称为一个控制集，如果 \(V\) 中每个顶点要么在 \(D\) 中，要么至少有一个邻居在 \(D\) 中。控制数 \(\gamma(G)\) 是控制集的最小大小。这个概念是“二元”的：一个顶点要么被控制（属于 \(D\) 或有邻居在 \(D\) ），要么不被控制。但在许多实际场景中，影响可以是正向的（如促进、激活）或负向的（如抑制、干扰）。为了量化这种“带符号的影响”，我们引入符号控制函数。

第一步：定义符号控制函数
图的符号控制函数是一个从顶点集 \(V\) 到集合 \(\{-1, 1\}\) 的函数 \(f: V \rightarrow \{-1, 1\}\)。对任意顶点 \(v \in V\)，函数值 \(f(v) = 1\) 表示在 \(v\) 处部署一个“正向”控制单元， \(f(v) = -1\) 表示部署一个“负向”控制单元。这个函数对每个顶点 \(v\) 产生的权重定义为：

\[f[v] = f(v) + \sum_{u \in N(v)} f(u) \]

其中 \(N(v)\) 是顶点 \(v\) 的邻域（与 \(v\) 相邻的所有顶点）。这个权重 \(f[v]\) 可以理解为顶点 \(v\) 从其自身和所有邻居处接收的“净控制信号”。

第二步：符号控制数与符号全控制数的定义
现在，我们可以根据对权重 \(f[v]\) 的要求，定义两种主要的符号控制参数。

  1. 符号控制数: 如果符号控制函数 \(f\) 满足条件：对每个顶点 \(v \in V\)，都有 \(f[v] \ge 1\)，则称 \(f\) 为图 \(G\) 的一个符号控制函数。其权重定义为 \(w(f) = \sum_{v \in V} f(v)\)。图的符号控制数，记作 \(\gamma_s(G)\)，是所有符号控制函数的最小权重，即：

\[ \gamma_s(G) = \min \{ w(f) \mid f \text{ 是 } G \text{ 的符号控制函数} \} \]

注意，因为 \(f(v) \in \{-1, 1\}\)，权重 \(w(f)\) 可以是负数。条件 \(f[v] \ge 1\) 保证了每个顶点（包括那些被赋值为 -1 的顶点）从自身及其邻域获得的净控制信号至少为 1。这提供了一种鲁棒的控制形式，允许使用负权重来抵消一些邻居的负贡献，但总和仍需达标。

  1. 符号全控制数: 如果我们要求控制不仅覆盖顶点自身，也“覆盖”其关联的边所代表的交互关系，就得到了符号全控制函数。函数 \(f: V \rightarrow \{-1, 1\}\) 是图 \(G\) 的一个符号全控制函数，如果对每个顶点 \(v \in V\)，有 \(f[v] \ge 2\)。这里权重 \(f[v]\) 的定义与符号控制中相同。图的符号全控制数，记作 \(\gamma_{st}(G)\)，定义为所有符号全控制函数的最小权重：

\[ \gamma_{st}(G) = \min \{ w(f) \mid f \text{ 是 } G \text{ 的符号全控制函数} \} \]

条件 \(f[v] \ge 2\) 比符号控制更严格。直观上，这可以理解为要求每个顶点处的“控制冗余”或“安全边际”更高，例如在网络中要求每个节点接收的信号强度至少为 2，以对抗潜在的干扰或衰减。

第三步：与经典控制概念的关系与一个基本例子
让我们通过一个具体例子来理解这些定义，并与经典控制数对比。
考虑一个路径图 \(P_3\)，其顶点依次标记为 \(v_1, v_2, v_3\)，边为 \(v_1v_2\) 和 \(v_2v_3\)。

  • 经典控制: 最小控制集可以是 \(\{v_2\}\)，因为 \(v_2\) 控制自身，\(v_1\) 和 \(v_3\) 是 \(v_2\) 的邻居。所以控制数 \(\gamma(P_3) = 1\)。
  • 符号控制: 我们尝试寻找符号控制函数 \(f\)。设 \(f(v_1)=a, f(v_2)=b, f(v_3)=c\)，其中 \(a, b, c \in \{-1, 1\}\)。
  • 条件 \(f[v_1] = a + b \ge 1\)
  • 条件 \(f[v_2] = b + a + c \ge 1\)
  • 条件 \(f[v_3] = c + b \ge 1\)
    我们需要最小化 \(w(f) = a+b+c\)。
    可以验证，赋值 \((a, b, c) = (1, -1, 1)\) 满足所有条件：
  • \(f[v_1] = 1 + (-1) = 0\)？不，这等于0，小于1，不满足条件！所以这个赋值无效。
    实际上，要使 \(f[v_1] \ge 1\) 且 \(f[v_3] \ge 1\)，由于 \(a, c \in \{-1, 1\}\)，必须有 \(a=b=1\) 或 \(b=c=1\)。假设 \(a=b=1\)，则 \(f[v_1]=2\)。为了满足 \(f[v_3] = c + 1 \ge 1\)，只需 \(c \ge 0\)，而 \(c \in \{-1, 1\}\)，所以 \(c\) 可以是 1 或 -1。我们检查 \(c=-1\) 时，\(f[v_2] = 1 + 1 + (-1) = 1 \ge 1\)，满足。此时 \(w(f)=1+1+(-1)=1\)。
    另一种赋值 \((a,b,c)=(1,1,1)\) 给出 \(w(f)=3\)。
    因此，最小的权重是 1，所以 \(\gamma_s(P_3) = 1\)。
    注意：虽然权重是1，但函数 \(f\) 包含了一个赋值为 -1 的顶点 (v3)。这展示了符号控制允许使用“负”资源，只要净效果达标，有时能获得比经典控制更小的“总部署成本”（权重）。
  • 符号全控制: 对同一图 \(P_3\)，条件变为 \(f[v_i] \ge 2\)。
    尝试赋值 \((a,b,c) = (1, 1, 1)\):
  • \(f[v_1] = 1+1=2\)
  • \(f[v_2] = 1+1+1=3\)
  • \(f[v_3] = 1+1=2\)
    全部满足。此时 \(w(f) = 3\)。
    能否找到更小的权重？如果尝试引入 -1，比如 \((1,1,-1)\)，则 \(f[v_3] = -1+1=0 < 2\)，不满足。\((1,-1,1)\) 则 \(f[v_1]=0, f[v_2]=1\) 都不满足。所以 \((1,1,1)\) 是唯一可行的（在同构意义下），因此 \(\gamma_{st}(P_3)=3\)。
    这个例子清晰地展示了符号全控制比符号控制要求更严格，因此其数值通常更大。

第四步：基本性质与下界
从定义可以直接推导出一些基本不等式关系。对于任意图 \(G\)：

  1. \(\gamma_{st}(G) \ge \gamma_s(G)\)。因为符号全控制函数的要求（\(f[v] \ge 2\)）比符号控制函数（\(f[v] \ge 1\)）更强，所以满足前者的函数集合是后者的子集，其最小权重不可能更小。
  2. \(\gamma_s(G) \le \gamma(G)\)。这是因为任何一个经典控制集 \(D\) 可以诱导一个符号控制函数：令 \(f(v)=1\) 当 \(v \in D\)，否则 \(f(v)=-1\)。对于任意顶点 \(v\)：
  • 如果 \(v \in D\)，则 \(f[v] \ge f(v)=1 \ge 1\)。
  • 如果 \(v \notin D\)，由于 \(D\) 是控制集，\(v\) 至少有一个邻居 \(u \in D\)，所以 \(f(u)=1\)，那么 \(f[v] \ge f(u)=1 \ge 1\)。
    因此 \(f\) 是符号控制函数，且其权重 \(w(f) = |D| - (|V|-|D|) = 2|D| - |V|\)。由于 \(\gamma_s(G)\) 是所有符号控制函数的最小权重，自然有 \(\gamma_s(G) \le 2\gamma(G) - |V|\)。结合 \(\gamma(G) \le |V|/2\) 对一些图类成立，可以得到更精细的关系，但总体上 \(\gamma_s(G)\) 可以比 \(\gamma(G)\) 小（甚至为负），如我们将在下一点看到。
  1. \(\gamma_s(G)\) 可以是负值。考虑一个完全图 \(K_n\)（n个顶点两两相连）。定义函数 \(f\)，对任意顶点 \(v\)，令 \(f(v) = -1\)。则对任意顶点 \(v\)，有 \(f[v] = (-1) + \sum_{u \in N(v)} (-1) = -1 - (n-1) = -n\)。这远小于1，不满足条件。我们需要找到一个可行的。实际上，对于 \(K_n\)，可以证明 \(\gamma_s(K_n) = 2 - n\) (当 \(n \ge 2\))。例如，取一个顶点 \(u\) 令 \(f(u)=1\)，其余 \(n-1\) 个顶点令 \(f(v) = -1\)。则：
  • 对 \(u\): \(f[u] = 1 + (n-1)*(-1) = 2 - n\)。为了使 \(f[u] \ge 1\)，需要 \(2-n \ge 1\)，即 \(n \le 1\)，这不成立（n≥2）。所以这个简单的赋值不工作。实际上，需要更平均地分配。可以证明，最优赋值是：令 \(\lceil n/3 \rceil\) 个顶点赋值为1，其余赋值为-1。计算可得 \(\gamma_s(K_n) = 2\lceil n/3 \rceil - n\)，当 \(n\) 较大时，这是一个负数。这表明，在高度连通的图中，利用“负控制”单元来抵消成本，可以使总权重（总部署“净值”）为负，这在经济或资源分配模型中意味着“净收益”。

第五步：研究问题与复杂性
对符号控制数的研究主要围绕以下几个方面：

  1. 上下界估计: 对于给定的图类（如树、正则图、平面图、乘积图等），寻找 \(\gamma_s(G)\) 和 \(\gamma_{st}(G)\) 用图的基本参数（如顶点数 \(n\)、边数 \(m\)、最小度 \(\delta\) 等）表示的上、下界。例如，已知对任意 n 阶图 G，有 \(\gamma_s(G) \ge -\frac{n}{3}\)（一个下界）。
  2. 极值图刻画: 确定达到理论下界或上界的图的结构特征。例如，哪些图满足 \(\gamma_s(G) = -\frac{n}{3}\)？
  3. 算法与复杂性: 计算给定图 G 的 \(\gamma_s(G)\) 或 \(\gamma_{st}(G)\) 是 NP-难问题。这意味着没有已知的多项式时间精确算法（除非 P=NP）。因此，研究重点是：
    • 近似算法: 设计能在多项式时间内找到权重接近最优值的符号控制函数的算法。
    • 精确指数时间算法: 对于顶点数不多的图，使用分支定界、动态规划等方法精确计算。
    • 特殊图类上的多项式时间算法: 对于树、二部图、区间图等具有特殊结构的图，往往可以设计出高效算法。
  4. 与其它图参数的关系: 探索符号控制数与图的其它不变量（如图的度、连通度、谱半径、着色数等）之间的不等式关系。

第六步：应用举例
符号控制的概念在以下场景有直观解释：

  • 监控网络: 每个监控摄像头（顶点）可以设置为“正常监视模式”(+1) 或“节电/屏蔽模式”(-1)。要求每个位置（顶点）从自身及其邻居摄像头的综合监控强度不低于某个阈值。最小化总运行成本（+1和-1的代数和可能代表能耗净值）。
  • 社会网络中的意见形成: 每个个体（顶点）持有积极(+1)或消极(-1)观点。每个个体最终表现出的态度（权重）受自身及其邻居影响。符号控制函数可以看作是需要部署的最少“意见领袖”（及其观点倾向），以确保整个网络最终每个节点的“净态度”偏向积极（≥1）。
  • 资源分配与博弈: 在存在合作与竞争关系的网络中，正向和负向的分配可以代表支持与抑制。符号控制数给出了实现全局最低限度正向影响所需的最小“净资源”配置。

总结一下：
您已经学习了图的符号控制与符号全控制数的核心定义，通过一个简单路径图的例子理解了其计算和与经典控制的区别，了解了其基本性质、可正可负的权重特性，以及相关的主要研究问题和应用背景。这个领域将离散优化与符号函数结合，为图论中的控制理论提供了一个富有弹性和实用性的扩展框架。

图的符号控制与符号全控制数 我将为您讲解图的符号控制与符号全控制数，这是一个将控制集概念与符号函数相结合的研究方向，在资源分配、监控网络等领域有应用。 让我们从一个经典的优化问题开始。假设有一个通信网络，其中每个节点（顶点）可以是发送站、接收站或中继站。我们希望用最少的“主控站”（可发送正或负信号）来部署，使得网络中的每个节点（或每条通信链路）受到的“净信号”强度不低于某个阈值。如何用数学来建模这种“既有正向影响又有负向影响”的控制问题？这就需要引入符号控制函数。 首先，回想“控制”的基本概念。在图 \( G = (V, E) \) 中，一个顶点子集 \( D \subseteq V \) 称为一个 控制集 ，如果 \( V \) 中每个顶点要么在 \( D \) 中，要么至少有一个邻居在 \( D \) 中。控制数 \( \gamma(G) \) 是控制集的最小大小。这个概念是“二元”的：一个顶点要么被控制（属于 \( D \) 或有邻居在 \( D \) ），要么不被控制。但在许多实际场景中，影响可以是正向的（如促进、激活）或负向的（如抑制、干扰）。为了量化这种“带符号的影响”，我们引入符号控制函数。 第一步：定义符号控制函数 图的 符号控制函数 是一个从顶点集 \( V \) 到集合 \( \{-1, 1\} \) 的函数 \( f: V \rightarrow \{-1, 1\} \)。对任意顶点 \( v \in V \)，函数值 \( f(v) = 1 \) 表示在 \( v \) 处部署一个“正向”控制单元， \( f(v) = -1 \) 表示部署一个“负向”控制单元。这个函数对每个顶点 \( v \) 产生的 权重 定义为： \[ f[ v] = f(v) + \sum_ {u \in N(v)} f(u) \] 其中 \( N(v) \) 是顶点 \( v \) 的邻域（与 \( v \) 相邻的所有顶点）。这个权重 \( f[ v ] \) 可以理解为顶点 \( v \) 从其自身和所有邻居处接收的“净控制信号”。 第二步：符号控制数与符号全控制数的定义 现在，我们可以根据对权重 \( f[ v ] \) 的要求，定义两种主要的符号控制参数。 符号控制数 : 如果符号控制函数 \( f \) 满足条件：对每个顶点 \( v \in V \)，都有 \( f[ v] \ge 1 \)，则称 \( f \) 为图 \( G \) 的一个 符号控制函数 。其权重定义为 \( w(f) = \sum_ {v \in V} f(v) \)。图的 符号控制数 ，记作 \( \gamma_ s(G) \)，是所有符号控制函数的最小权重，即： \[ \gamma_ s(G) = \min \{ w(f) \mid f \text{ 是 } G \text{ 的符号控制函数} \} \] 注意，因为 \( f(v) \in \{-1, 1\} \)，权重 \( w(f) \) 可以是负数。条件 \( f[ v ] \ge 1 \) 保证了每个顶点（包括那些被赋值为 -1 的顶点）从自身及其邻域获得的净控制信号至少为 1。这提供了一种鲁棒的控制形式，允许使用负权重来抵消一些邻居的负贡献，但总和仍需达标。 符号全控制数 : 如果我们要求控制不仅覆盖顶点自身，也“覆盖”其关联的边所代表的交互关系，就得到了 符号全控制函数 。函数 \( f: V \rightarrow \{-1, 1\} \) 是图 \( G \) 的一个 符号全控制函数 ，如果对每个顶点 \( v \in V \)，有 \( f[ v] \ge 2 \)。这里权重 \( f[ v] \) 的定义与符号控制中相同。图的 符号全控制数 ，记作 \( \gamma_ {st}(G) \)，定义为所有符号全控制函数的最小权重： \[ \gamma_ {st}(G) = \min \{ w(f) \mid f \text{ 是 } G \text{ 的符号全控制函数} \} \] 条件 \( f[ v ] \ge 2 \) 比符号控制更严格。直观上，这可以理解为要求每个顶点处的“控制冗余”或“安全边际”更高，例如在网络中要求每个节点接收的信号强度至少为 2，以对抗潜在的干扰或衰减。 第三步：与经典控制概念的关系与一个基本例子 让我们通过一个具体例子来理解这些定义，并与经典控制数对比。 考虑一个路径图 \( P_ 3 \)，其顶点依次标记为 \( v_ 1, v_ 2, v_ 3 \)，边为 \( v_ 1v_ 2 \) 和 \( v_ 2v_ 3 \)。 经典控制 : 最小控制集可以是 \( \{v_ 2\} \)，因为 \( v_ 2 \) 控制自身，\( v_ 1 \) 和 \( v_ 3 \) 是 \( v_ 2 \) 的邻居。所以控制数 \( \gamma(P_ 3) = 1 \)。 符号控制 : 我们尝试寻找符号控制函数 \( f \)。设 \( f(v_ 1)=a, f(v_ 2)=b, f(v_ 3)=c \)，其中 \( a, b, c \in \{-1, 1\} \)。 条件 \( f[ v_ 1 ] = a + b \ge 1 \) 条件 \( f[ v_ 2 ] = b + a + c \ge 1 \) 条件 \( f[ v_ 3 ] = c + b \ge 1 \) 我们需要最小化 \( w(f) = a+b+c \)。 可以验证，赋值 \( (a, b, c) = (1, -1, 1) \) 满足所有条件： \( f[ v_ 1 ] = 1 + (-1) = 0 \)？不，这等于0，小于1，不满足条件！所以这个赋值无效。 实际上，要使 \( f[ v_ 1] \ge 1 \) 且 \( f[ v_ 3] \ge 1 \)，由于 \( a, c \in \{-1, 1\} \)，必须有 \( a=b=1 \) 或 \( b=c=1 \)。假设 \( a=b=1 \)，则 \( f[ v_ 1]=2 \)。为了满足 \( f[ v_ 3] = c + 1 \ge 1 \)，只需 \( c \ge 0 \)，而 \( c \in \{-1, 1\} \)，所以 \( c \) 可以是 1 或 -1。我们检查 \( c=-1 \) 时，\( f[ v_ 2 ] = 1 + 1 + (-1) = 1 \ge 1 \)，满足。此时 \( w(f)=1+1+(-1)=1 \)。 另一种赋值 \( (a,b,c)=(1,1,1) \) 给出 \( w(f)=3 \)。 因此，最小的权重是 1，所以 \( \gamma_ s(P_ 3) = 1 \)。 注意 ：虽然权重是1，但函数 \( f \) 包含了一个赋值为 -1 的顶点 (v3)。这展示了符号控制允许使用“负”资源，只要净效果达标，有时能获得比经典控制更小的“总部署成本”（权重）。 符号全控制 : 对同一图 \( P_ 3 \)，条件变为 \( f[ v_ i ] \ge 2 \)。 尝试赋值 \( (a,b,c) = (1, 1, 1) \): * \( f[ v_ 1 ] = 1+1=2 \) * \( f[ v_ 2 ] = 1+1+1=3 \) * \( f[ v_ 3 ] = 1+1=2 \) 全部满足。此时 \( w(f) = 3 \)。 能否找到更小的权重？如果尝试引入 -1，比如 \( (1,1,-1) \)，则 \( f[ v_ 3] = -1+1=0 < 2 \)，不满足。\( (1,-1,1) \) 则 \( f[ v_ 1]=0, f[ v_ 2]=1 \) 都不满足。所以 \( (1,1,1) \) 是唯一可行的（在同构意义下），因此 \( \gamma_ {st}(P_ 3)=3 \)。 这个例子清晰地展示了符号全控制比符号控制要求更严格，因此其数值通常更大。 第四步：基本性质与下界 从定义可以直接推导出一些基本不等式关系。对于任意图 \( G \)： \( \gamma_ {st}(G) \ge \gamma_ s(G) \)。因为符号全控制函数的要求（\( f[ v] \ge 2 \)）比符号控制函数（\( f[ v ] \ge 1 \)）更强，所以满足前者的函数集合是后者的子集，其最小权重不可能更小。 \( \gamma_ s(G) \le \gamma(G) \)。这是因为任何一个经典控制集 \( D \) 可以诱导一个符号控制函数：令 \( f(v)=1 \) 当 \( v \in D \)，否则 \( f(v)=-1 \)。对于任意顶点 \( v \)： 如果 \( v \in D \)，则 \( f[ v ] \ge f(v)=1 \ge 1 \)。 如果 \( v \notin D \)，由于 \( D \) 是控制集，\( v \) 至少有一个邻居 \( u \in D \)，所以 \( f(u)=1 \)，那么 \( f[ v ] \ge f(u)=1 \ge 1 \)。 因此 \( f \) 是符号控制函数，且其权重 \( w(f) = |D| - (|V|-|D|) = 2|D| - |V| \)。由于 \( \gamma_ s(G) \) 是所有符号控制函数的最小权重，自然有 \( \gamma_ s(G) \le 2\gamma(G) - |V| \)。结合 \( \gamma(G) \le |V|/2 \) 对一些图类成立，可以得到更精细的关系，但总体上 \( \gamma_ s(G) \) 可以比 \( \gamma(G) \) 小（甚至为负），如我们将在下一点看到。 \( \gamma_ s(G) \) 可以是负值。考虑一个完全图 \( K_ n \)（n个顶点两两相连）。定义函数 \( f \)，对任意顶点 \( v \)，令 \( f(v) = -1 \)。则对任意顶点 \( v \)，有 \( f[ v] = (-1) + \sum_ {u \in N(v)} (-1) = -1 - (n-1) = -n \)。这远小于1，不满足条件。我们需要找到一个可行的。实际上，对于 \( K_ n \)，可以证明 \( \gamma_ s(K_ n) = 2 - n \) (当 \( n \ge 2 \))。例如，取一个顶点 \( u \) 令 \( f(u)=1 \)，其余 \( n-1 \) 个顶点令 \( f(v) = -1 \)。则： 对 \( u \): \( f[ u] = 1 + (n-1)* (-1) = 2 - n \)。为了使 \( f[ u] \ge 1 \)，需要 \( 2-n \ge 1 \)，即 \( n \le 1 \)，这不成立（n≥2）。所以这个简单的赋值不工作。实际上，需要更平均地分配。可以证明，最优赋值是：令 \( \lceil n/3 \rceil \) 个顶点赋值为1，其余赋值为-1。计算可得 \( \gamma_ s(K_ n) = 2\lceil n/3 \rceil - n \)，当 \( n \) 较大时，这是一个负数。这表明，在高度连通的图中，利用“负控制”单元来抵消成本，可以使总权重（总部署“净值”）为负，这在经济或资源分配模型中意味着“净收益”。 第五步：研究问题与复杂性 对符号控制数的研究主要围绕以下几个方面： 上下界估计 : 对于给定的图类（如树、正则图、平面图、乘积图等），寻找 \( \gamma_ s(G) \) 和 \( \gamma_ {st}(G) \) 用图的基本参数（如顶点数 \( n \)、边数 \( m \)、最小度 \( \delta \) 等）表示的上、下界。例如，已知对任意 n 阶图 G，有 \( \gamma_ s(G) \ge -\frac{n}{3} \)（一个下界）。 极值图刻画 : 确定达到理论下界或上界的图的结构特征。例如，哪些图满足 \( \gamma_ s(G) = -\frac{n}{3} \)？ 算法与复杂性 : 计算给定图 G 的 \( \gamma_ s(G) \) 或 \( \gamma_ {st}(G) \) 是 NP-难问题。这意味着没有已知的多项式时间精确算法（除非 P=NP）。因此，研究重点是： 近似算法 : 设计能在多项式时间内找到权重接近最优值的符号控制函数的算法。 精确指数时间算法 : 对于顶点数不多的图，使用分支定界、动态规划等方法精确计算。 特殊图类上的多项式时间算法 : 对于树、二部图、区间图等具有特殊结构的图，往往可以设计出高效算法。 与其它图参数的关系 : 探索符号控制数与图的其它不变量（如图的度、连通度、谱半径、着色数等）之间的不等式关系。 第六步：应用举例 符号控制的概念在以下场景有直观解释： 监控网络 : 每个监控摄像头（顶点）可以设置为“正常监视模式”(+1) 或“节电/屏蔽模式”(-1)。要求每个位置（顶点）从自身及其邻居摄像头的综合监控强度不低于某个阈值。最小化总运行成本（+1和-1的代数和可能代表能耗净值）。 社会网络中的意见形成 : 每个个体（顶点）持有积极(+1)或消极(-1)观点。每个个体最终表现出的态度（权重）受自身及其邻居影响。符号控制函数可以看作是需要部署的最少“意见领袖”（及其观点倾向），以确保整个网络最终每个节点的“净态度”偏向积极（≥1）。 资源分配与博弈 : 在存在合作与竞争关系的网络中，正向和负向的分配可以代表支持与抑制。符号控制数给出了实现全局最低限度正向影响所需的最小“净资源”配置。 总结一下 ： 您已经学习了图的符号控制与符号全控制数的核心定义，通过一个简单路径图的例子理解了其计算和与经典控制的区别，了解了其基本性质、可正可负的权重特性，以及相关的主要研究问题和应用背景。这个领域将离散优化与符号函数结合，为图论中的控制理论提供了一个富有弹性和实用性的扩展框架。