模的正合函子 好的，我们先来理解“函子”（Functor）这个概念，它是范畴论中的核心工具。 函子的定义 ：一个函子 F 是从一个范畴 C 到另一个范畴 D 的“映射”，它满足两个条件： 它将 C 中的每个对象 X 映射到 D 中的一个对象 F(X)。 它将 C 中的每个态射 f: X → Y 映射到 D 中的一个态射 F(f): F(X) → F(Y)。 并且这个映射需要保持态射的合成与恒等态射，即 F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f) 且 F(idₓ) = id_ F₍ₓ₎。 模范畴 ：我们考虑的范畴通常是“模范畴”。对于一个固定的环 R，所有左 R-模以及它们之间的模同态，构成一个范畴，记为 R-Mod。函子常常是在不同的模范畴（比如 R-Mod 到 S-Mod）之间，或者在同一个模范畴到阿贝尔群范畴（Ab）之间。 加性函子 ：如果一个函子 F: R-Mod → S-Mod 还满足 F(f + g) = F(f) + F(g)（即它保持态射的加法），那么它被称为 加性函子 。大多数模论中研究的函子，如 Hom 和张量积，都是加性的。一个关键性质是：加性函子将零态射映为零态射，将零对象（零模）映为零对象。 正合序列回顾 ：在模论中，一个序列的“正合性”指的是“像等于核”。具体来说，对于一个模同态的序列 L → M → N，我们说它在 M 处正合，如果第一个同态的像（Image）恰好等于第二个同态的核（Kernel）。长正合序列就是由这样在每一处都正合的短序列拼接而成。0 → A → B → C → 0 形式的短正合序列尤为重要，它表示 A 是 B 的子模，而 C 是 B 模去 A 的商模。 正合函子的定义 ：一个加性函子 F 被称为 正合函子 ，如果它将（短）正合序列映为（短）正合序列。这意味着，对于任意短正合序列 0 → A → B → C → 0，应用函子 F 后得到的序列 0 → F(A) → F(B) → F(C) → 0 仍然是正合的。 这蕴含了一个更强的性质：F 实际上保持 所有 正合序列的正合性，而不仅仅是短序列。 左正合与右正合函子 ：很多重要的函子不是完全正合的，但具有“半边”的正合性。 左正合函子 ：如果对任意正合序列 0 → A → B → C，应用函子 F 后，序列 0 → F(A) → F(B) → F(C) 仍然是正合的。也就是说，F 保持“左端”的正合性（保持单同态和核）。 Hom函子 （比如 Hom_ R(M, -) 对于固定模 M）是左正合函子的典型例子。 右正合函子 ：如果对任意正合序列 A → B → C → 0，应用函子 F 后，序列 F(A) → F(B) → F(C) → 0 仍然是正合的。也就是说，F 保持“右端”的正合性（保持满同态和余核）。 张量积函子 （比如 M ⊗_ R - 对于固定右 R-模 M）是右正合函子的典型例子。 完全正合、左正合、右正合的关系 ：一个函子是 正合函子 ，当且仅当它既是左正合的又是右正合的。判断一个函子是否正合，是研究其性质和应用的关键第一步。 正合函子的例子与重要性 ： 对于 域 上的向量空间范畴，任何加性函子都是正合的。这是因为向量空间的任何短正合序列都是分裂的，而加性函子保持直和。 在更一般的环上， 正合函子 相对少见。一个重要的例子是 正合列 的“分裂”性质所诱导的函子。更常见的例子来自特殊的模类： 如果模 P 是 投射模 ，那么函子 Hom_ R(P, -) 是正合的。 如果模 I 是 内射模 ，那么函子 Hom_ R(-, I) 是正合的。 如果模 F 是 平坦模 ，那么函子 F ⊗_ R - 是正合的。 正合函子的重要性在于，它能与同调代数中的核心构造（如 导出函子 ）完美配合。一个（左/右）正合函子，其“不正合”的那一部分可以通过取 投射分解 或 内射分解 来测量，从而产生 Tor 或 Ext 这样的导出函子。因此，正合函子是定义这些同调不变量和进行复杂计算的基石。 总结来说， 模的正合函子 是一个在模范畴之间、能够保持正合序列结构的加性函子。它分为左正合、右正合和完全正合三类，是连接模的局部性质与整体结构、并通向同调代数研究的核心桥梁。