代数簇的周环（Chow ring） 要理解代数簇的周环，我们可以循序渐进地从几个基本概念开始，最后将它们整合起来。 第一步：从“代数簇的除子”到“有理等价” 除子 ：在代数几何中，研究一个代数簇（例如曲线、曲面）的几何性质时，我们经常需要研究其上的“子簇”。一维的子簇称为 曲线 ，余一维的子簇（即比整个簇低一维的子簇）称为 韦伊除子 。简单来说，一个韦伊除子就是一些低一维子簇的整系数形式和。例如，在曲面上，韦伊除子就是一些曲线的整系数线性组合。 有理等价 ：我们希望对除子进行分类。一个最基本、最自然的等价关系称为 有理等价 。直观上，两个除子称为有理等价，如果存在一个“族”将其中一个连续地形变到另一个。更精确地说，除子 \(D\) 和 \(D'\) 有理等价，如果它们的差 \(D - D'\) 是一个“主除子”，即由代数簇上某个有理函数的零点和极点定义的除子。所有有理等价于零的除子构成一个子群。我们把韦伊除子模去有理等价关系得到的商群称为 周群（Chow group） ，记作 \(A_ {* }(X)\)。它按子簇的维数进行分次。 第二步：周群的结构与相交配对 分次周群 ：对于一个 \(n\) 维代数簇 \(X\)，其周群是分次的：\(A_ {* }(X) = \bigoplus_ {i=0}^{n} A_ {i}(X)\)，其中 \(A_ {i}(X)\) 由 \(i\) 维子簇（模有理等价）生成。特别地，\(A_ {n}(X)\) 是0维子簇（即点的集合）的等价类，它与整数 \(\mathbb{Z}\) 有密切联系；\(A_ {n-1}(X)\) 就是韦伊除子类群。 相交理论 ：代数几何的一个核心问题是研究子簇如何相交。例如，平面上两条不同的直线通常相交于一个点。我们希望将这种几何相交进行精细化、代数化的定义，使得即使在“坏”的情况下（如子簇重叠），也能定义出一个良定的相交数。 周环的构造 ： 周环 \(A^{ }(X)\) 的构造目标，就是将分次周群 \(A_ { }(X)\) 与相交理论结合起来，形成一个环结构。这里我们通常使用上指标：\(A^{i}(X) = A_ {n-i}(X)\)，表示余维数为 \(i\) 的子簇的等价类。两个余维数分别为 \(i\) 和 \(j\) 的子簇，如果它们处于“一般位置”（即相交部分是预期的更低维数），它们的相交应该得到一个余维数为 \(i+j\) 的子簇。通过一系列移动引理（将子簇在有理等价下移动，使它们处于一般位置），我们可以良定地定义两个周群元素的 相交积 ：\(A^{i}(X) \times A^{j}(X) \to A^{i+j}(X)\)。这个乘积是双线性的、结合的，并且交换的（在代数几何中，这是经过证明的一个重要事实）。赋予了这种乘法结构的分次阿贝尔群 \(A^{* }(X) = \bigoplus_ {i=0}^{n} A^{i}(X)\) 就称为代数簇 \(X\) 的 周环 。 第三步：周环的性质与意义 几何信息的编码 ：周环是一个强大的工具，它编码了代数簇上子簇的“形状”和“相交”信息。环中的元素代表了子簇的等价类，乘法代表了它们的几何相交。 与上同调的比较 ：在复代数几何中，如果 \(X\) 是一个非奇异射影簇，那么周环到奇异上同调环（或别的上同调理论，如平展上同调）有一个自然的环同态。这个同态将代数子环对应到上同调类。 周猜想 （已对复数域上的情形被证明）断言，这个同态在有理数域上是同构。这表明，周环是研究代数簇拓扑和几何的一个纯代数模型。 应用 ：周环是相交理论的基础语言。许多重要的几何不变量（如曲线的亏格、曲面的相交数、Chern类等）都可以在周环中表述和计算。它是连接代数几何、拓扑和数论（例如，Arakelov理论中发展算术周环）的关键桥梁。 总结 ： 代数簇的周环 是一个分次交换环，其元素是代数簇上子簇的有理等价类，其乘法由子簇的几何相交定义。它系统地将代数簇的几何相交信息代数化，是研究代数簇整体性质和分类问题的核心工具之一。