线性变换 线性变换是连接两个向量空间的结构保持映射。为了理解它，我们首先需要明确它作用的对象和环境。 第一步：从向量空间与映射谈起 基础环境：向量空间 回忆一下，一个向量空间是一个集合，其中的元素（称为向量）可以进行加法和数乘（用标量，如实数或复数，去乘向量）运算，并且这些运算满足一系列公理（如结合律、分配律等）。例如，所有二维平面上的箭头构成的集合，或者所有次数不超过n的多项式构成的集合，都是向量空间。 基础概念：映射 映射（或函数）是两个集合之间的一种对应关系。对于集合A中的每一个元素，通过映射f，在集合B中都有唯一一个元素与之对应，记作 f: A -> B。 第二步：什么是线性变换？ 线性变换是一种特殊的映射，它发生在两个向量空间之间（可以是同一个向量空间），并且“保持”了向量空间的核心结构——即加法和数乘运算。 更精确地说，设V和W是同一个数域F上的两个向量空间。一个映射 T: V -> W 被称为 线性变换 ，如果它满足以下两个条件： 对于V中任意两个向量 u 和 v ，以及F中任意一个标量c，都有： 保持向量加法 ：T( u + v ) = T( u ) + T( v ) 保持标量乘法 ：T(c * u ) = c * T( u ) 简单来说，这意味着“先运算后映射”与“先映射后运算”得到的结果是一样的。线性变换不会扭曲空间的基本线性结构。 第三步：具体例子 让我们看几个例子来加深理解： 零变换 ：定义 T( v ) = 0 （W中的零向量），对于所有 v 属于V。这显然满足线性条件。 恒等变换 ：定义 T( v ) = v ，对于所有 v 属于V。这是一个从V到自身的线性变换，它什么都不改变。 旋转 ：在二维平面（向量空间R²）上，将所有向量绕原点逆时针旋转一个固定角度θ的操作，是一个线性变换。你可以验证，两个向量和的旋转等于它们各自旋转后的和；一个向量乘以常数后再旋转，等于先旋转再乘以常数。 缩放 ：定义 T(x, y) = (ax, by)，其中a和b是固定常数。这个变换将x坐标拉伸a倍，y坐标拉伸b倍。 微分运算 ：考虑所有可微函数构成的向量空间，求导操作 D(f) = f‘ 是一个线性变换。因为 (f+g)’ = f‘ + g’，且 (cf)’ = cf‘。 矩阵乘法 ：对于一个固定的m×n矩阵A，定义从Rⁿ到Rᵐ的变换 T( x ) = A x 。这是线性变换最核心、最普遍的例子。事实上，在有限维情况下，每一个线性变换都可以用矩阵来表示。 第四步：线性变换的核心性质 线性变换有两个非常重要的子空间： 核 ：也称为零空间。它是V中所有被T映射成W中零向量的向量构成的集合，即 Ker(T) = { v ∈ V | T( v ) = 0 }。 几何意义 ：核衡量了变换的“不可逆”程度。核中的向量在变换后“消失”了。核越大，说明被“压扁”到零向量的向量越多，信息损失越大。如果核只包含零向量，则称变换是 单射 （或一对一的）。 像 ：也称为值域。它是W中所有能被T映射到的向量构成的集合，即 Im(T) = { T( v ) ∈ W | v ∈ V }。 几何意义 ：像描述了变换所能“覆盖”的W中的范围。像空间越大，变换的“作用范围”越广。如果像等于整个W，则称变换是 满射 （或到上的）。 第五步：秩-零化度定理 这是一个将线性变换、其定义域、核和像的维数联系在一起的优美定理。 零化度 ：核的维数，记作 nullity(T)。 秩 ：像的维数，记作 rank(T)。 秩-零化度定理 指出：如果V是有限维的，那么有： dim(V) = rank(T) + nullity(T) 这个定理有深刻的几何解释：定义域V的“总维度”，等于被变换“压扁”掉的维度（零化度），加上变换后剩下的有效维度（秩）。这一定理是理解线性方程组解的结构、矩阵理论等问题的关键。